1、识别“费马点” 思路快突破解题的成功取决于多种因素，其中最基本的有：解题的知识因素、解题的能力因素、解题的经验因素和解题的非智力因素，这也就是我们常说的解题基本功可见解题的知识因素是第一位的，足以说明它的重要性下面我们从解题的知识因素上关注两道中考题的思路获取例 1 （2010 湖南永州）探究问题：（1）阅读理解：如图（ A） ，在已知ABC 所在平面上存在一点 P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点 P 为ABC 的费马点，此时 PAPB PC 的值为ABC 的费马距离.如图（ B） ，若四边形 ABCD 的四个顶点在同一圆上，则有 ABCDBCDAACBD .此为托勒密定理.（2）知识
2、迁移：请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图（C） ，已知点 P 为等边 ABC 外接圆的 上任意一点.求证：PBPCPA.ABC根据（ 2）的结论，我们有如下探寻 ABC（其中A、B、C 均小于 120）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图（D） ，在ABC 的外部以 BC 为边长作等边 BCD 及其外接圆；第二步：在 上任取一点 P，连结 PA、PB、PC、PD.易知 PAPBPCPA（PBPC ）ABCPA ；第三步：请你根据（1）中定义，在图（D）中找出 ABC 的费马点 P，并请指出线段 的长度即为ABC 的费马距离.（3）知识应用：2010 年 4 月，我国西南地区出现了罕见的持
3、续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水.已知三村庄 A、B、C 构成了如图（E）所示的ABC（其中 A、B、 C 均小于 120） ，现选取一点 P 打水井，使从水井 P 到三村庄 A、B、C 所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值.思路探求：（2）知识迁移 问，只需按照题意套用托勒密定理，再利用等边三角形三边相等，将所得等式两边都除以等边三角形的边长，即可获证. 问，借用 问中对于费马点的定义结论容易获解. （3）知识应用，模仿（2）的图形，先构造正三角形，由（ 2）中的结论，再计算 AD 即为最小距离.简解：（2）证明：由
4、托勒密定理可知 PBACPC ABPA BCABC 是等边三角形 ABACBCPBPCPAPD AD（3）解：如图，以 BC 为边长在 ABC 的外部作等边 BCD，连接 AD，则知线段 AD 的长即为ABC 的费马距离.BCD 为等边三角形， BC4，CBD60，BD BC4.ABC30， ABD=90.在 RtABD 中， AB3，BD4AD 5（km ）2ABD2从水井 P 到三村庄 A、B、C 所铺设的输水管总长度的最小值为 5km.点评：此题集阅读理解、创新探究、实际应用于一体，题型新颖别致，综合考查自主探究、创新应用能力，是一道不可多得的好题.命题者设置成递进式问题，后续问题的思路
5、获取、求解都靠对上一结论的解读、利用，这也是近年“课题学习”考查的一大风向，值得重视. 如果说例 1 只是以“费马点”为课题学习的素材进行了考查，为了帮助同学们更好的理解三角形的费马点，我们补充几点：（ 1） 平 面 内 一 点 P 到 ABC 三 顶 点 的 之 和 为 PA+PB+PC， 当 点 P 为 费 马 点 时 ， 距 离 之 和最 小 . 特 殊 三 角 形 中 ： (2)三 内 角 皆 小 于 120的 三 角 形 ， 分 别 以 AB， BC， CA， 为 边 ， 向 三 角 形 外 侧 做 正 三 角形 ABC1， ACB1， BCA1， 然 后 连 接 AA1， BB1，
6、 CC1， 则 三 线 交 于 一 点 P， 则 点 P 就 是 所 求的 费 马 点 . (3)若 三 角 形 有 一 内 角 大 于 或 等 于 120 度 ， 则 此 钝 角 的 顶 点 就 是 所 求 . (4)当 ABC 为 等 边 三 角 形 时 ， 此 时 外 心 与 费 马 点 重 合 .可见，永州卷这道考题对于费马点只是以课题学习为问题载体，考得比较直截了当；巧合的是2010 年福建宁德一道考题对这个知识考查显得隐蔽了，请看：例 2 （2010 福建宁德）如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆
7、时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM、CM. 求证：AMBENB； 当 M 点在何处时， AMCM 的值最小；当 M 点在何处时， AMBMCM 的值最小，并说明理由； 当 AMBMCM 的最小值为 时，求正方形的边长.13EA DB CNM思路探求：略； 要使 AMCM 的值最小，根据“两点之间线段最短 ”，需设法将 AMCM 转化为一条线段，连接 AC 即可获取； 要使 AMBMCM 的值最小，由例 3 积累的知识经验：点 M 应该是ABC 的费马点.由例3 中（2）的求解示范，只要连接 CE 即可获得 CE 为 AMBMCM 的值最小.这样获到 M 点至少帮助我们在思路获取上提高了
8、效率.理由说明供助于第（1）问的全等获得 BM=BN，将三条线段转化到 CE 上去，问题化为两点之间线段最短.根据题意，添加辅助线，构造直角三角形，过 E 点作 EFBC 交 CB 的延长线于 F. 设正方形的边长为 x，则 BF x，EF .在 RtEFC 中，由勾股定理得（ ） 2（ xx） 223 x3，解得即可 .213简答：略；当 M 点落在 BD 的中点时，AMCM 的值最小. 如图，连接 CE，当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AMBMCM 的值最小. 理由如下：连接 MN.由知，AMB ENB，AMEN.MBN60 ，MBNB，FEA DB CNMBMN 是等边三角形.BMMN.AMBMCM ENMNCM. 根据“两点之间线段最短” ，得 ENMNCMEC 最短当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AMBMCM 的值最小，即等于 EC 的长. 过 E 点作 EFBC 交 CB 的延长线于 F， EBF 90 6030.设正方形的边长为 x，则 BF x，EF .23在 RtEFC 中， EF2FC 2EC 2， （ ） 2（ xx） 2 . 3213解得，x （舍去负值）. 正方形的边长为 .点评：本题中“AMBM CM 的值最小”如果没有费马点的知识积累，会在探究点 M 的位置上花费不少时间，这对紧张的考试来说，势必造成“隐性失分”
