1、有限元素分析簡介,工程分析 有限元素分析基本概念 有限元素分析應用步驟,工程分析,何謂工程 工程(Engineering)是一項職業，經由學習、經驗、實作所獲得數學及自然科學的知識，應用在發展各種模式便能經濟地、有效地運用大自然的材料及能源，以增進人類的福祉。 何謂工程分析 工程分析(Engineering Analysis)則是欲達成工程目的的一個過程。,工程分析的步驟,實際問題(real problem) 由一個實際問題，首先必須對遭遇的問題須有明確的定義，並預定擬分析之目標(analysis objectives) 。 數學模式化(mathematical modeling) 根據問題定
2、義(problem definition)及預設之分析目標，由已知的知識，架構所擬分析標的物之數學模型(mathematical model)，此過程稱之數學模式化。,工程分析的步驟(續),推導系統方程式(Derivation of governing equation) 有了數學模型，則可應用自然科學，由觀察、經驗、學習所得之數學模式，推導該數學模型的系統方程式，此描述數學模型之系統方程式，可由簡單的線性方程式(linear equation) 、線性聯立方程組、微分方程式(ordinary equation)，到複雜之偏微分方程式(partial differential equation
3、)等。,工程分析的步驟(續),求解(solution) 由得到之系統方程式，運用各種數學方法 ，可以是解析方法(analytical method)，可以是半解析法(semi-analytical method)或是各種值方法(numerical method)，如有限元素法(finite element method)、有限差分法(finite difference method)等，求得系統方程式之解 (solution) 。 解釋(interpretation) 對於求解過程中，所得到的解，工程人員必須驗証求解方法之正確性，也要對求解之結果與實際問題之物理現象相比較，以判斷所得的解之合理
4、性與正確性。,工程分析的步驟(續),評估(evaluation) 所分析之結果，也要依前述步驟逐項探討，所擬分析之目標是否能解決所遭遇之問題，架構數學模式過程中之假設是否合理，推導方程式式是否正確，求解過程是否正確，分析結果是否合理等，應做一整體性之評估。 報告(reporting) 完成一項工程分析，最重要的還在將此分析過程的步驟、方法、經驗、結果及評估，撰寫成報告或者做口頭報告(presentation)，公諸於世以供他人參考，也是工程人員之貢獻。,有限元素分析發展歷史,1943年Courant為提出此概念的第一人，他在1940年初期以分段的多項式內差法(piecewise polynom
5、ial interpolation)去求解一個扭轉問題 1950年Boeing公司以三角形應力元素(triangular stress elements)模擬飛機翅膀 1960年Clough首先提出Finite Element 這個名詞 1960年以後，Finite Element Method開始被應用到其他如熱傳分析、流力分析等領域 1967年Zienkiewicz和Cheung出版第一本討論有限元素分析的專書 1971年ANSYS第一個商用版本問世,有限元素分析應用領域,結構分析(structural analysis) 靜力分析(static analysis) 模態分析(modal
6、analysis) 簡諧響應分析(harmonic analysis) 暫態動態分析(transient dynamic analysis) 頻譜分析(spectrum analysis) 挫曲分析(buckling analysis) 非線性分析(nonlinear analysis) 其他 :破壞力學、複合材料、疲勞分析,有限元素分析應用領域(續),熱傳分析(thermal analysis) 溫度與熱應力分析(temperature and thermal stress analysis) 穩態與暫態分析(steady state and transient analysis) 流場分析
7、(fluid analysis) 磁場分析(magnetic analysis) 音場分析(acoustic analysis) 混合場分析(coupled-field analysis),有限元素分析基本概念,有限元素分析基本概念 有限元素分析(finite element analysis)係將一結構分成許多微小之單元，此單元稱為元素(element)，每一元素可有若干節點(node)，而每一點可有若干自由度，在結構力學分析，此自由度廣泛定義包括三個方向位移 (displacement)及三個方向之角位移(angular displacement)，由力學分析可求得每一個元素之平衡方程式，
8、由於結構必須滿足連續性(continuity)條件，因此可連結各別元素之平衡方程式，以得到整體結構之平衡方程式，進而可求得結構之受負荷後之位移變形，內進一步求得結構應力、應變等，以完成結構之力學分析。,有限元素分析重要名詞,元素 依據不同形式的結構，如桁架、樑、板、柱、殼等，以及結構體之特性，可架構不同形式的元素，以適用於各種類型的結構。不論何種形式之 元素，每一個元素係由若干節點所組成，元素之定義須說明元素形狀、節點位置及數目，和每一節點之自由度。 節點 依據不同形式的元素，節點可有下列形式，每一個節點都必須定義其自由度。 角節點(corner node) 邊節點(side node) 面節
9、點(face node) 體內節點(body node),有限元素分析重要名詞(續),自由度 在力學分析，以直角座標系為例，一個節點可有 3個方向位移(u,v,w)及3個方向角位移(qx, qy,qz) 元素種類 為分析各種不同形式，不同特性之結構，有各種形式之元素發展做結構分析，依形狀區分有 線形元素 面型元素 立體元素,有限元素分析重要名詞(續),線形元素 如桁架(truss)元素、樑(beam)元素，介面(interface)或接觸(contact)元素，依應用場合又可概分為，一維、二維或平面、及三維或立體之線形元素。基本上不論是一維、二維或三維，線形元素均呈一線段形式，依實際結構特性，
10、可選用不同維度(dimension)之元素，通常線形元素都只有角點，每一節點之自由度則由所考慮的維度而定，會有不同之自由度定義。需注意的是同樣維度之線形元素其自由度也依元素特性而定。,有限元素分析重要名詞(續),面型元素 典型之平面型元素 ，依形狀可分為三角形(triangle)及四邊形(quadrilateral)元素，儘管形狀相同之平面型元素，可以有不同數目及不同位置之節點定義。節點可座落於角頂點、邊點及平面之中間點。有關節點之自由度又依應用場合，如平面結構、板結構、殼結構，其自由度之定義將會不同。,有限元素分析重要名詞(續),立體元素 所有的結構可以說都是立體的，原則上任何結構都可以以立
11、體元素作分析，然而基於分析成本、電腦能力等因素，可以依結構特性作二維或一維之簡化分析。常見之立體元素，依形狀區分有角錐體(tetrahedron)及立方體(hexahedron)元素，不論何種形狀立體元素，均可依需要定義角節點、邊節點或體內節點。一般立體元素節點之自由度定義為三個方向位移，及三個角位移，共六個自由度之立體元素。,有限元素分析應用步驟,範例1.實際問題 中心孔方形版，長度L ，寬度L ，厚度h ，兩端各受夾持，承受拉伸及壓縮之往復拉力p(t)=F*sin(2*pi*f*t),F為力之大小， f為頻率,有限元素分析應用步驟(續),2.數學模式化 欲架構數學模式，須完整的描述結構之幾
12、何形狀，負荷狀態及邊界條件。假設兩端夾持力是均勻分佈，又為薄板，可假設該板呈平面壓力(plane stress)狀態，,P=F/(L*h),有限元素分析應用步驟(續),3.架構有限元素模型 該板為薄板，呈平面應力(plane stress)狀態，故可採用平面元素，又其中心孔之方形板幾何負荷狀況，呈上下左右對稱，所以可只取1/4個板架構有限元素模型(finite element model) ，在左邊及下邊分別為對稱面、水平方向及垂直方向位移必須分別為零。欲完整之架構有限元素模型，應該選擇適當元素形式，並決定結構分割元素大小，在此選擇線性平面四邊形元素，採自由分割(free mesh)模式可得到
13、有限元素分析模型,有限元素分析應用步驟(續),4.求解 有限元素分析之求解過程都不簡，然而由於有限元素分析套裝軟體之普遍性，不論繪圖能力、求解速度，均適用於各種問題，因此若套裝軟體可依所架構之有限元素模型求得其正確解，應注意的是此正確解，乃是該有限元素模型之正確解，不代表是數學模型的正確解，也不代表是實際問題之正確解,有限元素分析應用步驟(續),5.解釋說明分析結果 對所求得之結果，以結構靜力分析為例，通常會觀察位移變形及應力分佈情形，由變形位移可觀察完全符合所設定之邊界條件即左邊及下邊之對稱面，由x方向正向應力分佈圖，可知在孔附近有應力集中現象，在中心孔上方有最大之應力值，在左邊對稱面，應力
14、等高線呈鉛垂線，符合對稱面邊界條件，應力梯度(stress gradient)為零之物理現象，而在下邊應力等高線並非呈鉛垂線，所以此有限元素模型之解，恐怕還不夠正確，有必要再進一步做收斂性分析。vonMises應力係基於畸應變能破壞理論(distortion energy failure theory)所得之，適用於鋼鐵之延展性材料之靜力破壞分析，最大主應力則適用於如鑄鐵等脆性材料之靜力破壞分析，或一般用於做進一步之疲勞破壞分析。,有限元素分析應用步驟(續),6.評估 數學模式化之過程是否合理? 理念有限元素模型是否正確? 所架構之實際有限元素模型是否吻合理念有限元素模型? 該有限元素模型之解
15、是否夠精確?是否要進行收斂性分析? 所得之解是否吻合實際問題之物理現象?是否合乎分析目標之要求? 所得之解與其他分析之比較驗証，正確性如何?,有限元素分析應用步驟(續),7.報告 摘要 前言 問題描述與分析目標 理論分析或實驗分析 有限元素筷型說明 分析結果與討論 結論 參考文獻,有限元素法分析步驟綜合,建立結構體之有限元素模型(finite element model)，決定擬使用之元素，決定結構體之元素分割(mesh)，定義己知的邊界條件， 即位移限制，定義已知的外力負荷。 定義所使用元素之元素勁度矩陣及其元素平衡方程式。 應用上一步驟所得之元素平衡方程式到結構體之每一個元素。,有限元素法
16、分析步驟綜合(續),組合所有元素之元素勁度矩陣，以得到結構之勁度矩陣，亦即組合所有的元素平衡方程式，以得到結構之平衡方程式，此結構平衡方程式為線性聯立方程組。 代入己知的邊界條件，即位移限制，以及外力負荷條件，在此步驟，須注意的是ag及fg兩個向量之值，呈對應關係，當位移已知，則外力為未知；當外力已知，則位移為未如。因此，由結構平衡方程式，得n個方程式，可以求n個未如數，此n個未知數包括未知之節點位移及未知之節點外力。,有限元素法分析步驟綜合(續),求解結構之平衡方程式，可求得結構節點位移向量ag及結構節點外力向量fg ， 通常稱此節點位移及節點外力為有限元素分析之初始結果(primary r
17、esults) 。 求解二次結果(secondary results)，在結構靜力分析通常有興趣的結果為應變及應力，可由固體力學分析，可進一步分別求得結構體之應變場及應力場，以做為結構之破壞與設計分析。,較知名之有限元素分析軟體,NASTRAN ANSYS ALGOR ABAQUS COSMOS I-DEAS,應用有限元素分析軟體之步驟,前處理(pre-processing) 求解(solution) 後處理(post-processing),前處理(pre-processing),定義所擬使用之元素形式 定義元素所需之材料性質 定義元素所需之幾何性質 建構實際結構之有限元素模型分割,有限元素
18、模型分割方法,直接架構法(direct generation) 首先須定義節點之座標位置 再定義一個元素由那些節點所組成 定義節點及元素除了直接定義外，一般軟體提供複製的功能，可快速的定義出有限元素模型之分割 此法一般適用於簡單形狀之有限元素模型 分析人員必須先有詳細的元素與節點座標位置之規劃,有限元素模型分割方法(續),實體模型架構法(solid modeling) 首先建構幾何模型(geometry model) 此幾何模型僅為輔助便於架構有限元素模型之分割 一般有所謂由下而上(bottom-up)及由上而下(top-down)兩種繪圖建構幾何模型的方式,由下而上(bottom-up)法,
19、定義點(point)之座標 再定義由點連成線(line)或弧(arc) 再定義由數個線組成面(area) 最後由數個面可定義體積(volume),由上而下(top-down)法,先定義產生固定之幾何形狀，如矩形、圓形、立力體、球體、圓柱等 ，一般稱為初始元件(primitive) 或以所謂表面模型法(surface modeling)，如引伸(dragging)、旋轉(rotating)等方式產生幾何表面或物體 其次再對所建構之幾何元體進行布林運算(Boolean operation)，作邏輯加減運算以組合成所需之幾何模型,有限元素模型分割方法(續),一般商用套裝軟體皆可使用由上而下或由下而上
20、的方式架構幾何模型 也可利用其他CAD軟體，繪製幾何模型，再透過圖形介面檔案，如原始圖形交換檔 IGES (Initial Graphics Exchange Specification)傳入 IGES檔為一種文字檔，定義了各種幾何實體形狀之標準格式，以供各種CAD/CAM/CAE軟體間，幾何圖形之互換與溝通，以減少重複幾何圖形之建構。 當建立了完整之幾何模型，接著要定義結構之有限元素模型的元素尺寸控制(mesh control) 最後再進行分割(meshing)的動作，以得到所需要之有限元索模型及其元索分割,求解(solution),當完成有限元素模型分割之架構後，尚須設定位移限制及外力負荷
21、 一般軟體提供之設定方式也有兩種，一是直接在節點或元素上設定位移限制及外力負荷，一是將位移限制及外力負荷設定在所建構之幾何模型上 不論採用何種方式，都必須正確的設定，以符合理念有限元素模型之要求。 當完成位移限制及外力負荷設定即可進行求解工作,求解(solution)(續),雖然實際求解過程繁雜，對應用軟體分析之工程人員卻相當單純 若能了解求解過程，則對軟體實際進行那些工作，對於除錯(debug)有很大的幫助。 求解過程實際上包含了計算每個元素勁度矩陣，再求得整體結構之結構勁度矩陣，再代入所設定之位移限制及外力負荷條件，最後再求解聯立方程組，以得到所有節點位移及節點外力之初始結果 進一步求得如
22、應力及應變等二次結果。,後處理(post-processing),主要將分析結果做進一步之處理 由於分析結果一般有龐大的數據資料，有賴具有強大的繪圖功能之後處理器(post-processor) 對分析結果作圖形顯示及列印，以供後續分析結果之解釋評估與製作報告，以及分析結果之再運算，取代後續之人工計算，並提供數據資料之 顯示與列印。,如何增進學習CAE軟體操作之效率及正確之使用,了解工程分析之步驟。 了解有限元素分析之應用步驟。 了解有限元素法之理論分析。 了解應用有限元素分析軟體之步驟。,CAE分析人員需具備之能力,了解軟體之分析能力。 了解軟體所提供之元素形式及相關之設定參數。 了解軟體架構有限元素模型的方法。 了解軟體建構幾何模型的方法。 了解軟體設定位移限制及外力負荷條件之方法。 了解軟體求解之方式。 了解軟體所提供繪圖、顯示與列印功能。 了解軟體後處理器之計算能力。 了解軟體與硬體，如印表機、繪圖機、電腦等之搭配能力。,
