1、单因素试验 的方差分析,在工农业生产和科研活动中，我们经常遇到这样的问题：影响产品产量、质量的因素很多，例如影响农作物的单位面积产量有品种、施肥种类、施肥量等许多因素。我们要了解这些因素中哪些因素对产量有显著影响，就要先做试验，然后对测试结果进行分析，作出判断。方差分析就是分析测试结果的一种方法。,引 言,基 本 概 念,试验指标试验结果。,可控因素在影响试验结果的众多因素中，可人为控制的因素。,水平可控因素所处的各种各种不同的状态。每个水平又称为试验的一个处理。,单因素试验如果在一项试验中只有一个因素改变，其它的可控因素不变，则该类试验称为单因素试验。,引例,例1 （灯丝的配料方案优选）某灯
2、泡厂用四种配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡，在每批灯泡中作随机抽样，测量其使用寿命（单位：小时），数据如下：,灯泡的使用寿命试验指标,灯丝的配料方案试验因素（唯一的一个）,四种配料方案（甲乙丙丁）四个水平,因此，本例是一个四水平的单因素试验。,引 例,用X1，X2，X3，X4分别表示四种灯泡的使用寿命，即为 四个总体。假设X1，X2，X3，X4相互独立，且服从方差 相同的正态分布，即XiN（i，2）（i=1，2，3，4）,本例问题归结为检验假设 H0：1= 2= 3= 4 是否成立,我们的目的是通过试验数据来判断因素 A 的不同水平对试验指标是否有影响。,设 A 表示欲考察的因素，它的 个不同
3、水平，对应的指标视作 个总体 每个水平下,我们作若干次重复试验： （可等重复也可不等重复），同一水平的 个结果，就是这个总体 的一个样本：,单因素试验的方差分析,单因素试验资料表,纵向个体间的差异称为随机误差（组内差异），由试验造成；横向个体间的差异称为系统误差（组间差异），由因素的不同水平造成。,由于同一水平下重复试验的个体差异是随机误差，所以设：,其中 为试验误差，相互独立且服从正态分布,线性统计模型,单因素试验的方差分析的数学模型,具有方差齐性。,相互独立，从而各子样也相互独立。,首先，我们作如下假设：,即,令 （其中 ）称为一般平均值。,称为因素A的第 个水平 的效应。,则线性统计模型
4、变成,于是检验假设：,等价于检验假设：,显然有：,整个试验的均值,考察统计量,经恒等变形，可分解为：,其中,反映的是各水平平均值偏离总平均值的偏离程度。,如果H0 成立，则SSA 较小。,若H0成立，则,总离差平方和,见书P168,其中,这里,反映的是重复试验种随机误差的大小。,表示水平Ai的随机误差； 表示整个试验的随机误差,若假设 成立，则,由P106定理5.1可推得：,将 的自由度分别记作,则,（记 ，称作均方和）,（各子样同分布）,则,（记 ，称作均方和）,对给定的检验水平 ，由,得H0 的拒绝域为：,F 单侧检验,结论：方差分析实质上是假设检验，从分析离差平方和入手，找到F统计量，对
5、同方差的多个正态总体的均值是否相等进行假设检验。单因素试验中两个水平的均值检验可用第七章的T检验法。,思考：为什么此处只做单侧检验？,（1）若 ，则称因素的差异极显著（极有统计意义），或称因素A的影响高度显著，这时作标记 ；,约 定,（2）若 ，则称因素的差异显著（差异 有统计意义），或称因素A的影响显著，作标记 ；,（3）若 ，则称因素A有一定影响，作标记（ ）；,（4）若 ，则称因素A无显著影响（差异无统计意义）。,注意：在方差分析表中，习惯于作如下规定：,简便计算公式：,其中,同一水平下观测值 之和,所以观测 值之和,例2 P195 2 以 A、B、C 三种饲料喂猪，得一个月后每猪 所增体重（单位：500g）于下表，试作方差分析。,解：,解：,不同的饲料对猪的体重的影响极有统计意义。,列方差分析表,例2的上机实现步骤,1、输入原始数据列，并存到A，B，C列；,2、选择StatANOVAone-way(unstacked),不同的饲料对猪的体重的影响极有统计意义。,定理 在单因素方差分析模型中，有,如果H0不成立，则,所以，,即H0不成立时，,有大于1的趋势。,所以H0为真时的小概率事件应取在F值较大的一侧。,
