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类型成才之路选修2-2之1-1-2 (39).ppt

  • 上传人:sjmd695
  • 文档编号:4172357
  • 上传时间:2018-12-12
  • 格式:PPT
  • 页数:55
  • 大小:736KB
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    1、23 数学归纳法,理解数学归纳法的概念,掌握数学归纳法的证题步骤,本节重点:数学归纳法的原理及步骤 本节难点:用数学归纳法证题的步骤、技巧,在应用数学归纳法的过程中: 第步,验证nn0时结论成立的n0不一定为1,根据题目要求,有时可为2、3等 第步,证明nk1时命题也成立的过程中,一定要用到归纳假设,否则就不是数学归纳法 这两个步骤缺一不可,前一步是递推的基础,后一步是递推的依据,缺了哪一步得出的结论也是错误的 另外,归纳假设中要保证n从第一个数n0开始,即假设nk(kn0)时结论成立,括号内限制条件改为kn0就错了,用数学归纳法证明中一个关键问题就是要抓住项数和项的增减变化,如证明恒等式和不

    2、等式中,n1时究竟有几项,从nk到nk1的过渡到底项有哪些变化,添了几项,减了几项,1数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (归纳奠基)证明当n取 时命题成立 (归纳递推)假设 ,第一个值n0(n0N*),nk(kn0,kN*)时命题成立,,证明当nk1时命题也成立,2应用数学归纳法时特别注意: (1)用数学归纳法证明的对象是与 有关的命题 (2)在用数学归纳法证明中,两个基本步骤缺一不可,正整数n,点评 证明过程的关键是第二步由nk到nk1的过渡,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝nk1证明目标的表达式变形,分析 按照数学归纳法的步骤证明,在由nk到nk1的推证过

    3、程中应用了放缩技巧,使问题简单化,这是利用数学归纳法证明不等式的常用技巧之一,点评 用数学归纳法证明不等式时常常要用到放缩法,即在归纳假设的基础上,通过放大或缩小技巧变换出要证明的目标不等式,例3 求证:an1(a1)2n1能被a2a1整除,nN*,aR. 分析 证明整除性问题的关键是“凑项”,即采用增项、减项、拆项和因式分解等手段,凑出nk时的情形,从而利用归纳假设使问题得以解决,证明 (1)当n1时,a11(a1)211a2a1,命题显然成立 (2)假设当nk(kN*)时,ak1(a1)2k1能被a2a1整除,则当nk1时,ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1

    4、)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1. 由归纳假设知,上式能被a2a1整除,故当nk1时命题也成立 由(1),(2)知,对一切nN*,命题都成立,点评 对于多项式A,B,如果ABC,C也是多项式,那么A能被B整除在推证nk1时,为了凑出归纳假设,采用了“加零分项”技巧:a(a1)2k1a(a1)2k1.另外,在推证nk1命题也成立时,还可以用整除的定义,将归纳假设表示出来,假设nk时,ak1(a1)2k1能被a2a1整除,则ak1(a1)2k1(a2a1)q(a)(q(a)为多项式),,所以(a1)2k1(a2a1)q(a)ak1,

    5、所以nk1时,ak2(a1)2k1 ak2(a1)2(a1)2k1 ak2(a1)2(a2a1)q(a)ak1 ak2(a1)2(a2a1)q(a)(a1)2ak1 (a1)2(a2a1)q(a)ak1(a2a1), 显然能被a2a1整除,即nk1时,命题亦成立,求证:当n为正奇数时,xnyn能被xy整除 证明 (1)显然,当n1时,命题成立,即x1y1能被xy整除 (2)假设当n2k1(kN*)时命题成立,即(xy)能整除x2k1y2k1则当n2k1时, x2k1y2k1x2x2k1x2y2k1x2y2k1y2y2k1 x2(x2k1y2k1)(xy)(xy)y2k1,xy能整除(x2k1y

    6、2k1) 又xy能整除(xy)(xy)y2k1 (xy)能整除(x2k1y2k1) 由(1)、(2)可知当n为正奇数时,xnyn能被xy整除.,例4 平面内有n个圆,其中每两个圆都交于两点,且无三个及以上的圆交于一点,求证:这n个圆将平面分成n2n2(nN*)个区域 分析 本题关键是弄清第k1个圆与前k个圆的交点个数,以及这些交点又将第k1个圆分成了多少段弧,每一段弧又是怎样影响平面区域的划分的,证明 (1)当n1时,1个圆将平面分成2个区域,命题显然成立 (2)假设当nk(kN*)时命题成立,即k个圆将平面分成k2k2个区域则当nk1时,第k1个圆交前面k个圆于2k个点,这2k个点将第k1个

    7、圆分成2k段弧,每段弧将各自所经过的区域一分为二,于是增加了2k个区域,所以这k1个圆将平面分成k2k22k个区域,即(k1)2(k1)2个区域,故当nk1时,命题也成立 由(1)、(2)可知,对一切nN*,命题都成立,点评 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素从k个变成k1个时,所证的几何量将增加多少,这需用到几何知识或借助于几何中图形来分析,在实在分析不出来的情况下,将nk1和nk分别代入所证的式子,然后作差,即可求出增加量,然后只需稍加说明即可,这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧,例5 是否存在常数a,b,c使等式1(n212)2(n222)n(n2n2)an4bn

    8、2c对一切正整数n成立?证明你的结论 分析 先取n1,2,3探求a,b,c的值,然后用数学归纳法证明对一切的nN*,a,b,c所确定的等式都成立,点评 本题是探索性命题,它通过观察归纳猜想证明这一完整的思路过程去探索和发现问题,并证明所得结论的正确性,这是非常重要的一种思维能力,已知数列an的第一项a15且Sn1an(n2,nN*), (1)求a2,a3,a4,并由此猜想an的表达式; (2)用数学归纳法证明an的通项公式 解析 (1)a2S1a15, a3S2a1a210, a4S3a1a2a3551020, 猜想an52n2(n2,nN*),一、选择题 1用数学归纳法证明12(2n1)(n

    9、1)(2n1)时,在验证n1成立时,左边所得的代数式是( ) A1 B13 C123 D1234 答案 C 解析 当n1时,2n12113,所以左边为123.故应选C.,答案 D,答案 B,答案 1234 解析 当n1时,n34, 所以等式左边为1234.,5用数学归纳法证明某个命题时,左边为12342345n(n1)(n2)(n3),从nk到nk1左边需增加的代数式为_ 答案 (k1)(k2)(k3)(k4) 解析 当nk时,左边12342345k(k1)(k2)(k3) 当nk1时,左边12342345k(k1)(k2)(k3)(k1)(k2)(k3)(k4),所以从nk到nk1左式应增加(k1)(k2)(k3)(k4),

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