1、抽样方法教案【基础知识导引】1理解简单随机抽样的概念，会用简单随机抽样（抽签法、随机数表法）从总体中抽取样本。2理解什么是系统抽样，会用系统抽样从总体中抽取样本。3理解分层抽样的概念，会用分层抽样从总体中抽取样本。【教材内容全解】数理统计学的核心问题是如何根据样本的情况对总体的情况作出一种推断。这里包括两类问题：一类是如何从总体中抽取样本；另一类是如何根据对样本的整理、计算和分析，对总体的情况作出判断。本节介绍了三种基本的抽样方法。1简单随机抽样简单随机抽样在本章既是重点又是难点。简单随机抽样是抽样中最简单的一种模型，它是本节另两种抽样方法，乃至更复杂的抽样方法的基础。（1）关于简单随机抽样的
2、定义，我们可以从以下几个方面来理解。它要求被抽取样本的总体的个体数有限。这样，就便于对其中各个个体被抽取的概率进行分析。它是从总体中逐个地进行抽取。这样，就便于在抽样实践中进行操作。它是不放回抽样。由于抽样实践中多采用不放回抽样，使其具有较广泛的实用性，而且由于所抽取的样本中没有被重复抽取的个体，便于进行有关的分析和计算。它是一种等概率抽样。不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的概率相等，而且在整个抽样过程当中，各个个体被抽取的概率相等，从而保证了这种抽样方法的公平性。（2）进行简单随机抽样时， “每次抽取一个个体时任一个体 a 被抽到的概率”与“在整个抽样过程中个体 a 被抽到的概
3、率”不是一回事。例如在课本所讲的从含有 6 个个体的总体中抽取一个容量为 2 的样本的例子中，总体中的某一个个体 a 在第 1 次抽取时被抽到的概率为 ，在第 1 次未被抽到、而第 2 次被抽到的概率为 ，而在整个抽样过6 56程中，它被抽到的概率为 。因而，当用简单随机抽样从含有 N 个个体的总体中抽取一个3容量为 n 的样本时，在整个抽样过程中每个个体被抽取的概率都相等，即等于 。n（3）实施简单随机抽样，主要有两种方法：抽签法和随机数表法。抽签法比较简单。对于随机数表法我们首先要理解，随机数表并不惟一；其次，只要符合各个位置上等概率地出现其中各个数的要求，就可以构成随机数表。一般来说，统
4、计工作者常用计算机来生成随机数表。利用随机数表进行抽样时，应按照如下三个步骤：第一步，将总体中的个体编号（由于需要编号，如果总体中的个体数太多，采用随机表法进行抽样就显得不太方便了） 。这里的所谓编号，实际上是编数字号码。例如将 100 个个体编号成：00，01，02，99。而不是编号成：0，1，2，99。以便于运用随机数表。此外，将起始号码选为 00，而不是 01，可使 100 个个体都可用两位数字号码表示。第二步，选定开始的数字。为了保证所选定数字的随机性，应在面对随机数表之前就指出开始数字的纵横位置。第三步，获取样本号码。为了便于操作，特别是为了知道所抽取的每一个号码是否与前面得到的号码
5、重复，可将总体中所有个体的数字号码先按顺序列出，每抽出一个号码，就在列出的号码中做一个记号，这样就知道后面得到的号码是否曾被取出，最后做了记号的这些号码就可以看成是依次从总体中抽取的各个个体的号码。2系统抽样（1）对系统抽样我们可以从以下三个方面来理解：系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，因为这时采用简单随机抽样显得不方便。系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段进行抽样时，采用的是简单随机抽样。与简单随机抽样一样，系统抽样也属于等概率抽样。（2）课本中指出，当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，使剩下的个体数能被样
6、本容量整除，然后再按系统抽样进行。这时在整个抽样过程中每个个体被抽取的概率仍然相等。这是一个难点，试举一例说明：以从个体数为 1003 的总体中抽取一个容量为 50 的样本为例，从总体中剔除 3 个个体时，其中每个个体不被剔除的概率是 ，对剩下的 1000 个个体采用系统抽样时，每个个体被抽103取的概率是 。因此，在整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率是：20153P（3）本课重点是系统抽样的要领的理解及如何用系统抽样获得样本。结合具体实例我们自己可以归纳出系统抽样的操作步骤（见课本 P20） 。3分层抽样（1）分层抽样在内容上与系统抽样是平行的。对于分层抽样的概念我们可以从以下三个方面来理
7、解：分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；在每一层抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样；分层抽样也是等概率抽样。（2）由于分层抽样充分利用自身的特点，使样本具有较好的代表性，而且在各层抽样时，可以根据具体情况采取不同的抽样方法，因此分层抽样在实践中有着非常广泛的应用。（3）分层抽样学完后，课本中列表说明三种抽样方法的区别与联系。对这张表，我们必须明确以下几个方面：在三种抽样方法中，简单随机抽样是最基本、最简单的抽样方法，其他两种抽样方法都是建立在它的基础之上的。三种抽样方法的共同点是它们都是等概率抽样，体现了抽样的公平性。三种抽样方法各有特点和适用范围，在抽样实践中要根据具体情况选取相
8、应的抽样方法。【难题巧解点拨】例 1 现有 30 个零件，需从中抽取 10 个进行检查，问如何采用简单随机抽样得到一个容量为 10 的样本？分析 简单随机抽样适合总体个数较少的情况，本题中总体个数只有 30 个，所以具有可行性。解法一（抽签法）：先将 30 个零件编号：1，2，3，30，并把号码写在形状，大小相同的号签上（号签可以用小球、卡片、纸条等制作） ，然后将这 30 个号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌。抽签时，每次从中抽出 1 个号签，连续抽 10 次，就得到一个容量为 10 的样本。解法二（随机数表法）：第一步，将 30 个零件编号 00，01，02，29。第二步，在随机数表中任选
9、一数开始，如从第 7 行第 9 的数 06 开始。第三步，从 06 开始向右读，读到 8829，删去；继续向右读，得到 04，将它取出；继续下去，又得到 21，25，12，随后的两位数号码是 06，由于它前面已取出，将它去掉；再继续下去，又得到 01，16，19，10，07。至此，10 个样本的号码已取得。于是，所要抽取的样本号码是：06，04，21，25，12，01，16，19，10，07。点拨 使用随机数表法时，选取开始读的数是任意的，读数的方向也是随机的，可以向右，也可以向左，向上或向下等。在每两位地读数过程中，得到一个两位数字号码，在去掉其中不合要求和与前面重复的号码后，其中依次出现的
10、号码可以看成是依次从总体中抽取的各个个体的号码。例 2 人们打桥牌时，将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌，这时，开始按次序起牌，对任何一家来说，都是从 52 张总体中抽取 13 张的样本。问这样的抽样方法是否为简单随机抽样？分析 简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取。而这里只是随机地确定了起始张，这时其他各张虽然是逐张起牌的，但其实各张在谁手里已被确定了，所以不是简单随机抽样，据其“等距”起牌的特点，应将其归纳为系统抽样。答：不是简单随机抽样，是系统抽样。点拨 逐张随机抽取与随机确定一张为起始牌后逐张起牌不是一回事。本题的关键只要抓住“等距”的特点就不难确定是属于哪类抽样。例 3 某校有
11、在校高中生共 1600 人，其中高一学生 520 人，高二学生 500 人，高三学生 580 人。如果想通过抽查其中的 80 人，来调查学生的消费情况，考虑到学生的年级高低消费情况有明显差别，而同一年级内消费情况差异较少，问应采用怎样的抽样方法？高三学生中应抽查多少人？分析 由题意知，三个年级学生消费差异明显，是分层抽样的依据。解 因不同年级的学生消费情况有明显差别，所以应采用分层抽样。因为 520：500：580=26：25：29，于是将 80 分成 26：25：29 的三部分，设三部分各抽个体数分别为 26x，25x，29x，由 26x+25x+29x=80 得 x=1，所以高三学生中应抽
12、查 29人。点拨 本题由于只问采用何种抽样方法，因而不必回答如何抽样的过程，认真审题，答其所问，这是审题时应该注意的。例 4 为了了解某大学一年级新生英语学习的情况，拟从 503 名大学一年级学生中抽取 50 名作为样本，如何采用系统抽样方法完成这一抽样？分析 由题设条件可知总体的个数为 503，样本的容量为 50，不能整除，可采用随机抽样的方法从总体中剔除 3 个个体，使剩下的个体数 500 能被样本容量 50 整除，然后再采用系统抽样方法。解 第一步，将 503 名学生用随机方式编号为 1，2，3，503。第二步，用抽签法或随机数表法，剔除 3 个个体，这样剩下 500 名学生，对剩下的5
13、00 名学生重新编号，或采用补齐号码的方式。第三步，确定分段间隔 k， 将总体分为 50 个部分，每一部分包括 10 个05个体，这时，每 1 部分的个体编号为 1，2，10；第 2 部分的个体编号为11，12，20；依此类推，第 50 部分的个体编号为 491，492，500。第四步，在第 1 部分用简单随机抽样确定起始的个体编号，例如是 5。第五步，依次在第 2 部分，第 3 部分，第 50 部分，取出号码为 15，25，495这样得到一个容量为 50 的样本。点拨 总体中的每个个体，都必须等可能地入样，为了实现“等距”入样且又等概率，因此，应先剔除，再“分段” ，后定起始位。采用系统抽样，是为了减少工作量，提高其可操作性，减少人为的误差。
