1、 第 1 页 共 5 页 1在平面直角坐标系中，求下列方程经过伸缩变换Error!后的方程(1)2x3y0；(2) x2y 21.【解】 由伸缩变换Error!得到Error!(1)将代入 2x3y0，得到经过伸缩变换后的方程为 xy0，所以，经过伸缩变换Error!后，直线 2x3y 0 变成直线 xy0.(2)将代入 x2y 21，得 1.所以，经过伸缩变换 Error!后，方x 24 y 29程 x2y 21 变成 1.x24 y292伸缩变换的坐标表达式为Error!曲线 C 在此变换下变为椭圆x 2 1.求曲线 C 的方程y 216【解】 把Error!代入 x 2 1，y 216得
2、 x2y 21，即曲线 C 的方程为 x2y 21.3设 F：(x1) 2( y1) 21 在Error!的伸缩变换下变为图形 F，求 F的方程【解】 由Error!得Error!所以(x1) 2(y1) 21 变换为( x1)132(y 1) 21，即 (y 1) 21，所以 F的方程是 (y 1)x 329 x 32921.4双曲线 1 经过伸缩变换能化为等轴双曲线 x2y 21 吗？x216 y29第 2 页 共 5 页 【解】 双曲线方程 1 可以化为( )2( )21.令Error!则x216 y29 x4 y3x 2y 21.所以双曲线 1 可以通过伸缩变换化为等轴双曲线x216
3、y29x2y 21，具体步骤是：按伸缩系数 向着 y 轴进行伸缩变换，再将曲线按伸缩14系数 向着 x 轴进行伸缩变换135已知 G 是ABC 的重心，经过伸缩系数 k 向着 x 轴(或 y 轴)的伸缩变换后，得到 G和AB C.试判断 G是否为A B C的重心【解】 设 ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(x1，y 1)、B (x2，y 2)、C(x 3，y 3)，则 G( ， )经过伸缩系数 k 向着 x 轴的伸缩变换后，得到x1 x2 x33 y1 y2 y33ABC 的三个顶点及点 G的坐标分别为 A(x 1，ky 1)、B (x 2，ky 2)，C( x3，ky 3)，G( ，k )
4、由于 AB C的重心坐标为x1 x2 x33 y1 y2 y33( ， )，所以 G仍然是ABC 的重心同理可证，x1 x2 x33 ky1 ky2 ky33若伸缩变换向着 y 轴方向， G同样也是 ABC的重心6已知：ABC 经过伸缩变换Error!(k 0，且 k1)后，得到ABC .求证：ABC和ABC 相似，且面积比为 k2.【证明】 设 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)，则A(kx 1，ky 1)、B(kx 2，ky 2)所以 AB kx1 kx22 ky1 ky22|k| x1 x22 y1 y22|k| AB.第 3 页 共 5 页 同理可得 AC|k|AC，BC|k|B
5、C，所以ABCABC，所以AA，SABC (|k|AB)(|k|AC)sin A12k 2 (ABAC)sin Ak 2SABC.127设 P1、P 2 是直线 l 上的两点，点 P 是 l 上不同于 P1、P 2 的任意一点，则存在一个实数 ，使 PP 2，称 为点 P 分有向线段 P1P2 所成比设P1P P1(x1，y 1)、P 2(x2，y 2)，点 P 分有向线段 P1P2 所成比为 ，经过伸缩变换后，点P1、P 2 和 P 分别变为 P1 、P 2和 P.求证：P 1、P 2和 P三点依然共线，且 P 分有向线段 P1P 2所成比等于 .【证明】 设 P(x0，y 0)，由 ，得(
6、x 0x 1，y 0y 1)P1P PP2 (x2 x0，y 2y 0)，所以Error!设给定伸缩变换为Error!则有P1(k 1x1，k 2y1)、P 2(k 1x2，k 2y2)、P(k 1 ，k 2 )x1 x21 y1 y21 (k 1 k 1x1，k 2 k 2y1)( ， )，P1 P x1 x21 y1 y21 k1x2 x11 k2y2 y11 (k 1x2k 1 ，k 2y2k 2 )( ， )，P P2 x1 x21 y1 y21 k1x2 x11 k2y2 y11 所以 .P1 P P P2 所以 P1、P 2和 P三点依然共线，且 P分有向线段 P1P 2所成比等于
7、 .第 4 页 共 5 页 教师备选8在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线 1 的图形：x216 y29(1)x 轴与 y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为 y 轴上单位长度的 2 倍；(3)x 轴上的单位长度为 y 轴上单位长度的 倍12【解】 (1)建立平面直角坐标系，使 x 轴与 y 轴具有相同的单位长度，双曲线 1 的图形如下：x216 y29(2)如果 x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的 ，双12曲线 1 的图形如下：x216 y29(3)如果 y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的 ，双12曲线 1 的图形如下：x216 y29第 5 页 共 5 页
