1、 第 1 页 共 6 页 一、选择题1用数学归纳法证明“2 nn21 对于 nn 0 的正整数 n 都成立”时,这一步证明中的起始值 n0 应取( )A2 B3 C5 D6【解析】 当 n4 时,2 nn21.故 n0 应取 5.【答案】 C2某个与正整数 n 有关的命题,如果当 nk(k N 且 k1) 时命题成立,则一定可推得当 nk 1 时,该命题也成立现已知 n5 时,该命题不成立,那么应有( )A当 n4 时该命题成立B当 n6 时该命题成立C当 n4 时该命题不成立D当 n6 时该命题不成立【解析】 若 n4 时命题成立,由递推关系知 n5 时命题成立,与题中条件矛盾, n4 时,
2、该命题不成立【答案】 C3记凸 k 边形的内角和为 f(k),则凸 k1 边形的内角和 f(k1)f(k)( )( )A. B2C2 D. 32【解析】 nk 到 nk 1 时,内角和增加 .【答案】 B4已知 12333 243 3n3 n1 3 n(nab)c 对一切nN 成立,则 a,b,c 的值为( )第 2 页 共 6 页 Aa ,bc Babc12 14 14Ca 0,bc D不存在这样的 a,b,c14【解析】 等式对任意 nN 都成立,当 n 1,2,3 时也成立即Error!解得Error!【答案】 A二、填空题5用数学归纳法证明:设 f(n)1 ,则 nf(1)f (2)1
3、2 13 1nf( n1) nf (n)(n N ,且 n2)第一步要证明的式子是_【解析】 n2 时,等式左边2f(1),右边2f(2)第一步要证明的式子是:2f(1) 2f (2)【答案】 2f(1)2f (2)6用数学归纳法证明“nN ,n(n1)(2n1) 能被 6 整除”时,某同学证法如下:(1)n1 时 1236 能被 6 整除,n1 时命题成立(2)假设 nk 时成立,即 k(k1)(2 k1)能被 6 整除,那么 nk1 时,(k 1)(k2)(2k 3)( k1)(k 2)k(k 3)k(k 1)(k2) (k1)( k2)( k3)k、k1、k2 和 k1、k2、k 3 分
4、别是三个连续自然数其积能被 6 整除故 nk1 时命题成立综合(1)、(2),对一切 n N ,n(n1)(2n1)能被 6 整除这种证明不是数学归纳法,主要原因是_【答案】 没用上归纳假设第 3 页 共 6 页 三、解答题7证明:1 22 23 24 2(2n1) 2(2n) 2n(2 n1)【证明】 (1)当 n1 时,左边1 22 23,右边1(211) 3,等式成立(2)假设 nk(k1,kN )时,等式成立,就是122 23 24 2(2k 1)2(2k) 2k(2 k1)当 nk1 时,122 23 24 2(2k 1)2(2k) 2(2k 1) 2(2 k2) 2k(2k1)(2
5、k1) 2(2 k2) 2k(2k1)(4k3)(2 k25k 3) (k1)2( k1)1,所以 nk1 时等式也成立综合(1)(2)可知,等式对任何 nN 都成立8已知 f(n) (2n7)3 n9,是否存在自然数 m,使得对任意 nN ,都能使 m 整除 f(n)?如果存在,求出最大的 m 值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由【解】 存在,m36.证明如下:(1)当 n1 时, f(1)36,能被 36 整除;(2)假设当 n k(kN ,且 k1)时,f(k )能被 36 整除,即 f(k)(2 k7)3 k9 能被 36 整除,则当 nk1 时,f (k1)2(k1)73 k1
6、9 3(2k7)3 k918(3 k1 1)第 4 页 共 6 页 由归纳假设 3(2k7)3 k9能被 36 整除,而 3k 11 是偶数,所以18(3k1 1)能被 36 整除,所以 f(k1)能被 36 整除由(1)(2),得 f(n)能被 36 整除,由于 f(1)36,故能整除 f(n)的最大整数是36,即 m36.9设数列 an的前 n 项和为 Sn,且方程 x2a nxa n0 有一根为Sn1,n1,2,3,.(1)求 a1,a 2;(2)猜想数列S n的通项公式,并给出严格证明【解】 (1)S n1 是方程 x2a nxa n0 的一个根,(Sn1) 2a n(Sn1) a n
7、0,(Sn1) 2a nSn0,当 n 1 时, a1 ,12当 n2 时,a 2 .16(2)由(1)知 S1a 1 ,n 2 时,(S n1) 2(S nS n1 )Sn0, Sn12.12 Sn 1此时当 n2 时,S 2 ;当 n3 时,S 3 ;12 12 2312 23 34由猜想可得,S n ,n1,2,3,.nn 1下面用数学归纳法证明这个结论第 5 页 共 6 页 当 n1 时,a 1S 1 ,显然成立12假设当 nk(k N ,且 k1)时结论成立,即 Sk .kk 1当 nk1 时,由 知 Sk1 ,12 SkSk1 .12 kk 1 k 1k 2 k 1k 1 1当 n
8、 k1 时式子也成立综上,S n ,n1,2,3,对所有正整数 n 都成立nn 1教师备选10已知ABC 的三边长是有理数(1)求证:cos A 是有理数;(2)求证:对任意正整数 n,cos nA 和 sin Asin nA 都是有理数【证明】 (1)由 AB、BC、AC 为有理数及余弦定理知 cos A是有理数AB2 AC2 BC22ABAC(2)用数学归纳法证明 cos nA 和 sin Asin nA 都是有理数当 n1 时,由(1)知 cos A 是有理数,从而有 sin Asin A1cos 2A 也是有理数假设当 nk (k1) 时,cos kA 和 sin Asin kA 都是有理数当 nk1 时,由cos(k1) Acos Acos kAsin Asin kA,sin Asin(k1)Asin A(sin Acos kAcos Asin kA )第 6 页 共 6 页 (sin Asin A)cos kA(sin Asin kA )cos A,由和归纳假设,知 cos(k1)A 与 sin Asin(k1)A 都是有理数即当 nk1 时,结论成立综合、可知,对任意正整数 n,cos nA 和 sin Asin nA 都是有理数