1、第一章 解三角形一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1如图，为了测量某障碍物两侧 A，B 间的距离(此障碍物阻挡了 A，B 之间的视线) ，给定下列四组数据，测量时应当用数据A B,ab ,aC D b【答案】C【解析】由余弦定理 知，需要测量数据 故选 C22cosABaba,2某观察站 C 与两灯塔 A， B 的距离分别为 300 米和 500 米，测得灯塔 A 在观察站 C 北偏东 30，灯塔 B在观察站 C 正西方向，则两灯塔 A，B 间的距离为A500 米 B600 米C700 米 D800 米【答案】C【解析】在 中，由余弦定理得 AB2=5002+300
2、22500300cos120=490000，B所以 AB=700（米） 故选 C3如图，某工程中要将一长为 100m、倾斜角为 75的斜坡改造成倾斜角为 30的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长A100 m B100 m2 3C50( )m D200m26【答案】A【解析】设坡底需加长 xm，由正弦定理得 ，解得 x=100 m故选 A10sin3i(7530)x24三角形的两边长分别为 3 和 5，其夹角 的余弦值是方程 的根，则该三角形的面积为26A6 B1C8 D10【答案】A5 九章算术 “勾股”章有一题：“今有二人同立甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几
3、何?”大意是说：“已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为 7，乙的速度为 3，乙一直向东走，甲先向南走 10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇甲、乙各走了多少步? ”请问乙走的步数是A B92 152C D1 49【答案】C【解析】设甲和乙相遇时间为 ，那么甲和乙走过的路程构成直角三角形，有 ，x22(3)10(7)xx解得 （舍）或 ，当 时，乙走了 步，甲走了 步，故选0x3.5.3.5107.54.C6在 中，已知 A=30，a=8 ，b=8 ，则 的面积为B ABCA B1632C 或 16 D 或3216【答案】D7已知钝角三角形 ABC的面积为12S， AB， 2C，
4、则 AA 2 B 1C 5 D 5【答案】D【解析】由题可得 ，因为 ， ，所以 ，所以11sin22SABC1AB2C2sinB或 若 ，则 ，即 ，故 ，与4B34cos41A是钝角三角形矛盾，不符合题意；所以 ，则 ，即AC32 3cos54故选 D58如图所示，为了测量河对岸电视塔 CD 的高度，小王在点 A 处测得塔顶 D 的仰角为 30，塔底 C 与 A的连线同河岸成 15角，小王向前走了 1200m 到达 M 处，测得塔底 C 与 M 的连线同河岸成 60角，则电视塔 CD 的高度为A 602mB 603mC 20mD 203m【答案】A【解析】在 中， ， ，M 60154CA
5、18620AMC由正弦定理得 ，即 ，解得 sinsi23在 中，因为 ，所以 ACD taAC3D3tan60602CAD故选 A二、填空题：请将答案填在题中横线上9如图，线段 AB，CD 分别表示甲、乙两楼，ABBD，CDBD ，从甲楼顶部 A 处测得乙楼顶部 C 处的仰角为 =30，测得乙楼底部 D 的俯角 =60，已知甲楼的高 AB=24 米，则乙楼的高_米CD【答案】32【解析】ED= AB=24 米，在 中，CAD= =90，AECD，DE =24 米，ACD 则 AD= 16 (米)，则 (米)学 ！ 24sini60DE332coscs0ADC10江岸边有一炮台高 30m，江中
6、有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得两船的俯角分别为 45和 60，而且两条船与炮台底部连线成 30角，则两条船相距 _m【答案】 103【解析】画出图形，如图， 为炮台， 为两船的位置由题意得OA,MNm， ， ， 在 中， =30OA45M60ANO30MNRt AONtan60Am在 中， ，所以 m；在 中，由余弦定理1Rt 45 M得 ，即 ，所以两条船相距 m22Ncos311311在希腊数学家海伦的著作测地术中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长可求三角形的面积若三角形的三边长为 ， ， ，则其面积 ()()Spabpc，其中abc1(2pab)c已知在 AB
7、C 中， ， ，当其面积 S取最大值时62ABC_sinA【答案】35三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤12如图，为了测量 、 两点间的距离，选取同一平面上 、 两点，测出四边形 各边的长度ACBDABCD(单位： )： ， ， ， ，且 与 互补，求 、 两点m50B80350A间的距离【答案】 、 两点间的距离为 700 ACm【解析】在 中，由余弦定理得 ；ACD222503340cosACAD在 中，由余弦定理得 B222889B又 与 互补，所以 ，即 ，DcosD2340AC20AC解得 ，故 、 两点间的距离为 700 70ACCm13如图，在四边形 ABCD 中
8、，已知ADB=BCD=75，ACB=BDC=45，DC= 3（1）求 AB 的长；（2）求四边形 ABCD 的面积【答案】 （1） ；（2） 5634（2） = ADBDsin75= 同理， = ABDS 21432BCDS 43所以四边形 ABCD 的面积 6ABDCS 14在 C 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 2cos()14cosBCab（1）求角 A的值；（2）若 3a， B 的面积34S，求 ， 的值bc【答案】 （1） ；（2） 3A3bc【解析】 （1）因为 ，所以 ，cos()14osBCB2cos2sin14cosBCBC即 ，即 ，因为 ，所以 2cos()2
9、A0A3（2）因为 ， ，所以由余弦定理可得 ，3a29bc又三角形 的面积 ，所以 ，联立解得 ABC34S13sin24c3bc15如图， ， ， 三地有直道相通， 5AB千米， C千米， 4B千米现甲、乙两警员同时从 地出发匀速前往 地，经过 t小时，他们之间的距离为 ()ft（单位：千米） 甲的路线是 AB，速度是 5千米/小时，乙的路线是 C，速度是 8千米/小时，乙到达 地后原地等待，设 时，乙1t到达 C地（1）求 与 的值；1t()f（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米当 时，求 ()ft的表达式，并判断 ()ft在1t1,t上的最大值是否超过 3？并说明理由学！ 【答案】 （1） ， 千米；（2）见解析h8t14()8ft【解析】 （1）由题意可得 ，设此时甲运动到点 ，则 千米，1hACtv乙 P1358Avt甲所以 千米2 2154() cos3()8ftPPA（2）当 时，乙在 上的 点，设甲在 点，178tCBQ所以 ， ，8QBAtt5t所以2 22cos(78)(5)(78)50.8()ftPPBtt ；25418当 时，乙在 点不动，设此时甲在点 ，所以 718tBP5()fBAtPt综上， ，易知当 时， ，2375418,()7,ttft318t341()0,8ft故 f(t)的最大值没有超过 3The End 下 节 见
