1、1灵活运用反证法反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，它是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾,其原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明适合用反证法证明的命题：否定性命题；惟一性命题；至多、至少型命题；明显成立的命题；直接证明有困难的命题反证法应用极为广泛，在平面几何、立体几何、解析几何等方面都有应用，本文选择几个有代表性的应用，举例加以介绍一、证明几何量之间的关系例 1 已知：四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AD、BC
2、的中点， )(21CDABEF求证： CDAB/证明：假设 AB 不平行于 CD。如图，连结 AC，取 AC 的中点 G，连结 EG、FGE，F，G 分别是 AD、BC、AC 的中点， E/， 21； ABG/， 21AB 不平行于 CD，GE 和 GF 不共线，GE、GF、EF 组成一个三角形 ， 但 EFCDABGF)(21 与矛盾 /例 2 直线 PO与平面 相交于 ，过点 O在平面 内引直线 OA、 B、 C，A求证： 证明：假设 PO 不垂直平面 作 H并与平面 相交于 H，此时 H，O 不重合，连结 OH由 P 作 E于 E， BF于 F，根据三垂线定理可知， A， OA，PO 是
3、公共边， Rtt， 又 H， EtFt， 因此，OH 是 AOB的平分线同理可证，OH 是 C的平分线但是，OB 和 OC 是两条不重合的直线，OH 不可能同时是 AOB和 C的平分线，产生矛盾 P上面所举的例子，用直接证法证明都比较困难，尤其是证两条直线是异面直线，常采用反证法A BCDE FGa OPABCEF H2二、证明“唯一性”问题在几何中需要证明符合某种条件的点、线、面只有一个时，称为“唯一性”问题例 3 过平面 上的点 A 的直线 a，求证： a是唯一的证明：假设 a不是唯一的，则过 A 至少还有一条直线 b， ， b是相交直线， ， 可以确定一个平面 设 和 相交于过点 A 的
4、直线 c a， b， c， 这样在平面 内，过点 A 就有两条直线垂直于 c，这与定理产生矛盾所以， 是唯一的关于唯一性的问题，在几何中有，在代数、三角等学科中也有这类题目用直接证法证明相当困难，因此一般情况下都采用间接证法即用反证法或同一法证明，用反证法证明有时比同一法更方便三、证明不可能问题几何中有一类问题，要证明某个图形不可能有某种性质或证明具有某种性质的图形不存在它们的结论命题都是以否定形式出现的，若用直接证法证明有一定的困难而它的否定命题则是某个图形具有某种性质或具有某种性质的图形存在，因此，这类问题非常适宜用反证法例 4 求证：抛物线没有渐近线证明：设抛物线的方程是 pxy2( 0)假设抛物有渐近线，渐近线的方程是 ba，易知 ， 都不为 0因为渐近线与抛物线相切于无穷远点，于是方程组 baxyp2)2(1的两组解的倒数都是 0将（2）代入（1），得 )(2xpx （3）设 1， 2是（3）的两个根，由韦达定理，可知 221)(abx， 21abx则 0)(22121 p， （4）301221bax， （5）由（4）、（5），可推得 p，这于假设 0p矛盾所以，抛物线没有渐近线关于不可能问题是几何中最常见也是非常重要的一种类型由于它的结论是以否定形式出现，采用直接证法有困难，所以这类问题一般都使用反证法加以证明
