1、课时作业 (十七) 均值不等式A 组(限时：10 分钟)1设 x，yR，且 xy5，则 3x3 y的最小值是 ( )A10 B6 3C4 D186 3解析：3 x0,3y0，3 x 3y2 2 2 18 .3x3y 3x y 35 3答案：D2如果 log3mlog 3n4，那么 mn 的最小值是( )A4 B43C9 D18解析：m0，n0，由 log3mlog 3nlog 3mn4，mn81.mn2 18.mn答案：D3已知第一象限的点(a，b)在直线 2x3y10 上，则 的最小值为( )2a 3bA24 B25C26 D27解析：因为第一象限的点(a，b)在直线 2x3y10 上，所以
2、有 2a3b10，a0，b0，即 2a3b1，所以 (2a3b) 49 132 25，当且仅当2a 3b (2a 3b) 6ba 6ab 6ba6ab ，即 ab 时取等号，所以 的最小值为 25，选 B.6ba 6ab 15 2a 3b答案：B4设常数 a0，若 9x a1 对一切正实数 x 成立，则 a 的取值范围a2x为_解析：x0，a0，9x 6a，当且仅当 9x ，即 x 时取等号a2x a2x a3从而由原不等式对 x0 恒成立得 6aa1，a .15答案： 15， )5已知函数 ylog a(x1)1(a0，且 a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在一次函数 y mxn 的图象上
3、，其中 m，n0，求 的最小值1m 2n解：由题意，得点 A(2,1)，则 12mn，又 m，n0，所以 1m 2n 2m nm4 42 8.22m nn nn 4mn 4当且仅当 ，即 m ，n 时取等号，则 的最小值为 8.nm 4mn 14 12 1m 2nB 组(限时：30 分钟)1设 x，y 满足 x4y40，且 x，y 都是正数，则 lgxlgy 的最大值是( )A40 B10C4 D2解析：x 4y40 且 x0，y0，xy x4y 2100，当且仅当14 14(x 4y2 )x4y20 时取等号，lgxlgy lg(xy)lg100 2，lg xlgy 的最大值为 2.答案：D
4、2若 a，bR，且 ab0，则 2a2 b的最小值是 ( )A2 B3C4 D5解析：ab0，ba，2 a0,2b0， 2 a2 b2 a2 a 2 a 2，当且 仅当12a2a1 时，即 a0，b0 时取等号， 2 a2 b的最小 值为 2.答案：A3已知 00，则 x(33x) 3x(1 x )3 2 ，当且仅当 x1x，即 x 时(x 1 x2 ) 34 12取等号答案：A4若正数 x， y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值是( )A. B.245 285C5 D6解析：x 3y5xy， 1.15y 35x3x4y(3x4y) 2 5.(15y 35x) 45 95 3x5y
5、12y5x 135 3x5y12y5x 135 125当且仅当 ，即 x 2y 时取“” 3x5y 12y5x答案：C5小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a 0，所以 a，即 va.故2aba b 2ab a2 aba b ab a2a b a2 a2a b 2aba b选 A.答案：A6已知函数 yx 4 (x1)，当 xa 时，y 取得最小值 b，则9x 1ab( )A3 B2C3 D8解析：yx4 x1 5，9x 1 9x 1因数 x1，所以 x10， 0.9x 1所以由均值不等式得 y x1 52 51，9x 1 x 1 9x 1当且仅当 x 1 ，即(x 1) 29，所以
6、 x13，x2 时取等号，所以9x 1a2，b 1， ab3， 选 C.答案：C7已知 x0，则 的最大值为_xx2 4解析：因为 ，又 x0 时， x 2 4，当且仅当 x ，即xx2 4 1x 4x 4x x4x 4xx2 时取等号，所以 00，y0 ，lgx lgy1，则 z 的最小值为 _2x 5y解析：由已知条件 lgxlgy1，可得 xy10.则 2 2，故 min2，当且仅当 2y5x 时取等号又 xy10，2x 5y 10xy (2x 5y)即 x2， y5 时取等号成立答案：29建造一个容积为 8 m3，深为 2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为 12
7、0 元和 80 元，则水池的最低总造价为_元解析：设池底的长和宽分别为 a，b，则 2ab8，ab 4，总造价 y(2a2b)280120ab320(ab)4803202 4801 760(当且仅当 ab2 abm 时取等号) 答案：1 76010已知 a，b，c 均为正数， a，b，c 不全相等求证： abc.bca acb abc证明：a0，b0，c0， 2 2c，bca acb abc2ab 2 2a，acb abc a2bcbc 2 2b.bca abc bcaabc又 a，b，c 不全相等，故上述等号至少有一个不成立 abc.bca acb abc11已知 ab0，求 a2 的最小值
8、16ba b解：ab0， ab0.b(a b) 2 .(a b b2 ) a24当且仅当 abb，即 a2b 时，等号成立ya 2 a 2 2 16，16ba b 64a2 a264a2当且仅当 a2 ，即 a2 时，等号成立64a2 2故当 a2 ，b 时，a 2 有最小值 16.2 216ba b12如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为 72 dm2(图中阴影部分) ，上下空白各宽 2 dm，左右空白各宽 1 dm，求四周空白部分面积的最小值解：设阴影部分的高为 x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是 y dm2.72x由题意，得 y( x4) 7282 822 56.当且(72x 2) (x 144x) x144x仅当 x 即 x12 时等号成立144x
