1、1运用反证法要善于“制造”矛盾反证法是间接证明的一种基本方法，是从反面的角度思考问题的证明方法，是解决某些“疑难”问题的有力工具反证法就是先假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，依靠矛盾推翻假设,从而证明原命题成立的. 反证法的应用非常广泛,用反证法证明命题“若 p 则 q”时，我们常常需要“制造”以下四种“矛盾”.一.与原命题的条件矛盾；例 1.组装甲、乙、丙三种产品，需要 A,B,C 三种零件，每件甲产品用零件 A,C 各 2 个；每件乙产品用零件 A 2 个，零件 B 1 个；每件丙产品用 B,C 各 1 个，如组装 10 件甲，8 件乙，5 件丙，则剩下 2 个 A 零件，1
2、 个 B 零件，C 零件都恰好用完，试证无论如何改变甲、乙、丙的件数，都不会将零件 A，B，C 用完解:假设组装甲 x 件，乙 y 件，丙 z 件，零件 A,B,C 恰好用完，则有方程组58102zy解得 31527zyx，方程组的解均为非整数，与题设矛盾，即假设错误，所以原命题成立点评: 本题的结论是“不论怎样改变甲、乙、丙的件数，都不会将零件 A,B,C 用完”, A,B,C 不能用完的情况有多种，而结论的反面是“零件 A，B,C 都恰好用完”，这只有一种确定的情况，即三种零件的剩余数皆为零，因此从反面出发，较易证通过推理得到的结果与题设矛盾.练习:1.设 SA、SB 是圆锥 SO 的两条
3、母线，O 是底面圆心，C 是 SB 上一点。求证：AC 与平面SOB 不垂直。证明: 假设 AC平面 SOB， 直线 SO 在平面 SOB 内， ACSO， SO底面圆 O， SOAB， SO平面 SAB， 平面 SAB底面圆 O，这显然出现矛盾，所以假设不成立。即 AC 与平面 SOB 不垂直。2.若函数 f(x)在区间a,b上是增函数求证：方程 f(x)=0 在区间a,b上至多有一个实根证明：假设方程 f(x)=0 在区间a,b上有两个实根 x1 ,x2.则 f(xl）=f(x 2）=0,这与函数 f (x)在区间a,b上是增函数矛盾故方程 f(x)=0 在区间a,b上至多有一个实根二.与
4、假设矛盾例 2.求证：抛物线没有渐近线.SCA OB2分析: 本题已知条件太少,直接证明难度太大,可以运用反证法.证明：设抛物线的方程是 pxy2( 0)。假设抛物有渐近线，渐近线的方程是 ba，易知 、 都不为 0。因为渐近线与抛物线相切于无穷远点，于是方程组 baxyp2)2(1的两组解的倒数都是 0。将（2）代入（1），得 )(2xpx（3）设 1、 2是（3）的两个根，由韦达定理，可知 221)(abx， 21abx则 0)(22121 p， （4）02121bax， （5）由（4）、（5），可推得 p，这于假设 0p矛盾。所以，抛物线没有渐近线。点评: 利用假设作条件,经过推理论证,
5、得出的结论与假设矛盾.练习:1.设函数 f(x)对于定义域内任意实数都有 f(x)0,且 f(xy)=f(x)f(y)成立求证：对于定义域内的任意 x 都有 f(x)0.解析: 假设满足题设条件的任意 x,f(x)0 不成立，即存在某个 x0，有 f(x0)0,这与假设 f(x0)0 成立2.求证：抛物线上任意取四点所组成的四边形不可能是平行四边形证明：如图，设抛物线方程为 y2=ax(a0)，A(x 1，y 1）,B(x 2,y2）C(x 3, y3）,D(x4,y4）是抛物线上的不同四点，则有 i=axi, axi2（i=1，2，3，4），于是，3121212 yaayxkAB 同理 23
6、ykBC, 43ykCD, 41yakDA.假定 ABCD 是平行四边形，则 kAB =kCD , kBC =kDA，从而得 yl =y3 , y2=y4，进而得x1=x3，x 2=x4，于是 A、C 重合,B,D 重合，这与 A,B,C,D 是抛物线上不同的四点的假设相矛盾故 ABCD 不可能是平行四边形三.导出一个恒假命题例 3. 已知 p3 +q3=2，求证：p+q2.分析：本题已知为 p、 q 的三次幂，而结论中只有 p、q 的一次幂，应考虑到求立方根，同时用放缩法，但很难证，故考虑反证法证明：假设 p+q2，那么 p2-q，p 3(2-q) 3=8-12q+6q2-q3将 p3 +q
7、3=2，代入得 6q2-12q+60，所以 21)1(2)( a，同理 12)(cb, a,4三式相加得 23，矛盾，即假设错误，所以原命题成立四.这与定理(公理)产生矛盾例 4.过平面 上的点 A 的直线 a，求证： a是唯一的。证明：假设 a不是唯一的，则过 A 至少还有一条直线 b， 、 b是相交直线， 、 可以确定一个平面 。设 和 相交于过点 A 的直线 c。 a， b， a， b。这样在平面 内，过点 A 就有两条直线垂直于 c，这与定理产生矛盾。所以， 是唯一的。点评: 本题利用假设,经过推证,与公理、定理产生矛盾。适宜用反证法证明的数学命题结论本身是以否定形式出现的一类命题关于
8、唯一性、存在性的命题结论是以“至多”“至少”等形式出现的命题结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题练习:1.求证：两条相交直线有且只有一个交点证明: 假设结论不成立，则有两种情况：或者没有交点，或者不只一个交点(1)如果直线 a.b 没有交点，那么 ab,这与已知矛盾；(2)如果直线 a.b 不只有一个交点，则至少交于点 P,P，这样经过两点 P, P就有两条直线 a.b,这与两点确定一条直线矛盾由(1)和(2)可知，假设错误，所以，两条相交直线有且只有一个交点2.求证：直线与圆至多有两个交点证明 如图所示，假设直线 l与圆 O 至少有三个交点 A,B,C，取 AB,BC 中点 D,E,连OD,OE,则 ODAB,EOBC,于是 OD , OE l，这与过直线外一点能且只能作该直线的一条垂线相矛盾，所以假设不成立，故直线与圆至多有两个交点
