1、2.2.2 等差数列的前 n 项和教学分析 在本节教学中，应让学生融入问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、活动、探索、交流、反思，来认识和理解等差数列的求和内容在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆猜想，学会探究在教法上，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析问题的能力和积极思维、追求新颖的创新意识三维目标 1通过经历等差数列求和公式的发现、探究过程，掌握等差数列前 n 项和公式的推导及应用，会利用等差数列通项公式与前 n 项和
2、的公式研究 Sn的最值2学会常用的数学方法和体现出的数学思想，促进学生的思维水平的发展通过例题及其变式例题的训练，进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式3通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学 于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并用数学知识解决问题重点难点 教学重点：掌握等差数列的前 n 项和公式；会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的问题，能用多种方法解决数列求和问题教学难点：对等差数列求和公式的深刻理解及其灵活应用教学过程导入新课 思路 1.(情境导入)我们在日常生活中常常遇到这样的事情：(可利用多媒体课件或幻灯片)有一
3、堆钢管放置如图 1，请你帮助管理人员算一算一共有钢管多少根？求图 2 共有多少朵花？当然一根根地数钢管或一朵朵地数小花能算出来，但有没有更好的方法呢？若让你求出第 100 层的钢管数或让你求出第 100 个圆圈上的小花数，那么你怎样求呢？这实际上就是等差数列的求和问题，由此展开新课图 1图 2思路 2.(事例导入)关于“加薪的学问”有一报道如下：在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两个加工资的方案，一是每年年末加 1 000 元；二是每半年结束时加 300 元请选一种，一般不擅长数学的，很容易选择前者因为一年加 1 000 元总比两个半年共加 600 元要多其实，由于加工资是累计的，时间稍
4、长，往往第二种方案更有利例如，在第二年的年末，依第一种方案可以加得 1 0002 0003 000(元)；而第二种方案在第一年加得(300600)元，第二年加得 90012002 100(元)，总数也是 3 000 元但到第三年，第一种方案可得 1 0002 0003 0006 000(元)，第二种方案则为3006009001 2001 5001 8006 300(元) ，比第一种方案多了 300 元第四年、第五年会更多因此，你若在该公司干三年以上，则应选择第二种方案以上材料的正确解答恰是我们要研究的数列求和问题，由此导入新课(1)教师出示幻灯投影 1.印度泰姬陵(Taj Mahal)是世界七
5、大建筑奇迹之一，所在地是阿格拉市泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有 100 层(如下图)，奢华之程度，可见一斑你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？(该问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学生步入探讨高斯算法的阶段)(2)教师出示幻灯投影 2.高斯是伟大的数学家、天文学家高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“现在给大家出道题目：12100？”过了两分钟，正当大家在：123；336；461
6、0；算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1231005 050.”你知道高斯是如何算出答案的吗？(3)根据问题(1)(2)你能探究出等差数列的求和公式吗？(4)等差数列的前 n 项和公式有什么结构特征？(5)怎样运用这两个公式解决数列求和问题？高斯的这种算法，就是等差数列求和的方法，也就是我们将要探究的等差数列的前 n 项和问题现在，我们再来探究前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案，在图中我们取下第 1 层到第 21层，得到下图，则下图中第 1 层到第 21 层一共有多少颗宝石呢？这是求“12321”奇数个项的和的问题，高斯的方法不能用了要是偶数项的数求和就好首尾配成对了高斯的这种“首尾配
7、对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们是否有简单的方法来解决这个问题呢？我们发现用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形平行四边形中的每行宝石的个数均为 22 个，共 21 行则三角形中的宝石个数就是 . 1 21 212这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，很有创意，用数学式子表示就是：12321，2120191，这就是我们数学中一种求和的重要方法“倒序相加法” 探究了以上两个实际问题的求和，学生对数学求和问题有了一定的认识，比较以上两种探究过程学生自然会思考能否把“倒序相加法”推广到任意一个等差数列呢？这种类比的联想就是思维智慧的闪现为了降低难度，教
8、师可先与学生一起探究 123n 的问题，得到如下算式：1 2 3 n1 nn n1 n2 2 1(n1) (n1) (n1) (n1) (n1)可知 123n . n 1 n2再进一步探究，等差数列a n的前 n 项和的问题，让学生明白 Sn就表示a n的前 n 项和，即Sna 1a 2a 3a n，根据倒序相加法可得如下算式：Sn a1 a2 a3 an，Sn an an1 an2 a1，2Sn (a1a n) (a2a n1 ) (a3a n2 ) (ana 1).根据上节课等差数列的性质有 a1a na 2a n1 a 3a n2 a na 1.所以，2S nn(a 1a n)由此可得等
9、差数列a n的前 n 项和公式：这就是说，等差数列的前 n 项和等于首末两项的和与项数乘积的一半将等差数列的通项公式 ana 1(n1)d 代入上式，可得等差数列a n前 n 项和的另一公式：以上两种推导过程都很精彩，一是用的“倒序相加法” ，二是用的基本量来转化为用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前 n 项求和的两种不同的公式这两种求和公式都很重要，都称为等差数列的前 n 项和公式从以上探究我们可以看出这两个公式是可以转化的，从结构特征看，前一个公式反映了等差数列任意的第 项与倒数第 项的和等于首项与末项的和这个内在性质；后一个公式反映了等差数列的前 n 项和与它的首项、公差之间的
10、关系，而且是关于 n 的“二次函数” ，可以与二次函数进行比较两个公式从不同角度反映了数列的性质两个公式的共同点是需要知道 a1和 n，不同点是前者还需知 an，后者还需要知道 d.从方程角度看两公式共涉及 5 个元素：a 1，d，n，a n，S n，教师要点拨学生注意这 5 个元素，其中a1，d 称为基本元素因为等差数列的首项 a1，公差 d 已知，则此数列完全确定，因此等差数列中不少问题都可转化为求基本元素 a1和 d 的问题，这往往要根据已知条件列出关于 a1，d 的方程组，再解这个方程组求出 a1，d.讨论结果：(1) (3)略(4)前一个公式的结构特征是可与梯形面积公式(上底下底)高
11、2 相类比，上底就是等差数列的首项 a1，下底是第 n 项 an，高是项数 n；后一个公式是二次函数的形式(5)运用这两个公式解题时要让学生明确解方程或方程组的思路Error!例 1 计算：(1)123n；(2)135(2n1)；(3)2462n；(4)123456(2n1)2n.变式训练已知等差数列a n满足 a2a 44，a 3a 510，则它的前 10 项的和 S10等于( )A138 B135 C95 D23例 2(教材本节例 2)例 3 已知一个等差数列的前 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1 220，由此可以确定求其前 n 项和的公式吗？变式训练设 Sn为等差数列a n
12、的前 n 项和，S 414，S 10S 730，求 S9.例 4 已知数列a n的前 n 项和为 Snn 2 n，求这个数列的通项公式这个数列是等差数列吗？如果12是，它的首项与公差分别是什么？变式训练已知数列a n的前 n 项和 Sn n2 n，求数列a n的通项公式32 2052Error!1本节的小结由学生来完成，首先回顾总结本节都学习了哪些内容？(两个重要的等差数列求和公式)通过等差数列的前 n 项和公式的推导，你都从中学到了哪些数学思想方法？(数列倒序相加法)对你今后的学习有什么启发指导？2你是怎样从方程的角度来理解等差数列求和公式的？又是怎样从等差数列的性质来理解等差数列的求和公式的？上节学习的等差数列的通项与本节学习的等差数列的求和公式有什么联系？本节的重要题型是什么？Error!课本习题 22 A 组 8、9.
