1、24.1 函数的零点学习目标 1.理解函数零点的概念.2.会求一次函数、二次函数的零点.3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与 x 轴交点的横坐标之间的关系知识点 函数零点的概念思考 1 函数的“零点”是一个点吗？思考 2 函数一定都有零点吗？梳理 1.函数的零点如果函数 y f(x)在实数 处的值_，即_，则 叫做这个函数的零点2方程、函数、图象之间的关系方程 f(x)0_函数 y f(x)的图象_ 函数 y f(x)_3二次函数的零点与相应一元二次方程根的关系判别式 0 0 0二次函数y ax2 bx c(a0)的图象一元二次方程ax2 bx c0 的根有两相异实根x1， x2(x1
2、 x2)有两相等实根x1 x2b2a 没有实根二次函数y ax2 bx c 的零有两个零点 x1， x2有一个二重零点x1 x2没有零点点类型一 求函数的零点例 1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1)f(x)8 x27 x1；(2) f(x) .x2 4x 12x 2反思与感悟 求函数零点的两种方法(1)代数法：求方程 f(x)0 的实数根(2)几何法：对于不易求根的方程 f(x)0，可以将它与函数 y f(x)的图象联系起来，图象与 x 轴的交点的横坐标即为函数的零点跟踪训练 1 求下列函数的零点(1)f(x) x2 ；1x(2)y( ax1)( x2)类型二 函数零点个数的判
3、断例 2 已知函数 f(x)| x22 x3| a，求实数 a 取何值时函数 f(x)| x22 x3| a，有两个零点；有三个零点引申探究 若 f(x) x22| x| a1 有四个不同的零点，求 a 的取值范围反思与感悟 判断函数零点个数的三种方法(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点(2)利用函数的图象画出 y f(x)的图象，判断它与 x 轴交点的个数，从而判断零点的个数(3)转化为两个函数图象交点问题例如，函数 F(x) f(x) g(x)的零点个数就是方程 f(x) g(x)的实数根的个数，也就是函数 y f(x)的图象与 y g(x)的图象交点的个数跟踪训
4、练 2 已知 aR，讨论关于 x 的方程| x26 x8| a 的实数解的个数类型三 函数零点性质的应用例 3 已知关于 x 的二次方程 ax22( a1) x a10 有两个根，且一个根大于 2，另一个根小于 2，试求实数 a 的取值范围反思与感悟 解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论跟踪训练 3 已知关于 x 的二次方程 x22 mx2 m10.若方程有两根，其中一根在区间(1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求 m 的取值范围1下列各图象表示的函数中没有零点的是( )2函数 y
5、 x24 的图象与 x 轴的交点坐标及其函数的零点分别是( )A(0，2)；2 B(2,0)；2C(0，2)；2 D(2,0)；23如果二次函数 y x2 mx m3 有两个不同的零点，则 m 的取值范围是( )A(2,6) B2,6C(，2)(6，) D2,64若函数 f(x) x2 ax b 的零点是 2 和4，则 a_， b_.5若 f(x) ax b(b0)有一个零点是 3，则函数 g(x) bx23 ax 的零点是_1函数的零点实质上是函数图象与 x 轴交点的横坐标，方程 f(x) g(x)的根是函数y f(x)与 y g(x)的图象交点的横坐标，也是函数 y f(x) g(x)的零
6、点2函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础答案精析问题导学知识点 思考 1 不是，函数的“零点”是一个数，一个使 f(x)0 的实数 x.实际上是函数y f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标思考 2 不是只有函数的图象与 x 轴有公共点时，才有零点梳理 1等于零 f( )0 2.有实数根 与 x 轴有交点 有零点题型探究例 1 解 (1)存在因为 f(x)8 x27 x1(8 x1)( x1)，所以方程8 x27 x10 有两个实根 和 1，18即函数 f(x)8 x27 x1 的零点是 和 1.18(2)存在令
7、 f(x)0，即 0，x2 4x 12x 2解方程得 x6( x2 舍去)，所以函数 f(x) 的零点是6.x2 4x 12x 2跟踪训练 1 解 (1) f(x) x2 ，1x x0.令 f(x)0，即 x310， x1， f(x) x2 的零点为 1.1x(2)当 a0 时，令 y0 得 x2.当 a0 时，令 y0 得 x 或 x2.1a当 a 时，函数的零点为2；12当 a 时，函数的零点为 ，2.12 1a综上所述：当 a0 或 时，零点为2；12当 a0 且 a 时，零点为 ，2.12 1a例 2 解 令 h(x)| x22 x3|和 g(x) a，分别作出这两个函数的图象如图所示
8、，它们交点的个数即函数 f(x)| x22 x3| a 的零点个数若函数有两个零点，则 a0 或 a4.若函数有三个零点，则 a4.引申探究 解 令 f(x)0，得 a12| x| x2.令 y1 a1， y22| x| x2. f(x) x22| x| a1 有四个不同的零点， y1 a1， y22| x| x2的图象有四个不同的交点画出函数 y2| x| x2的图象，如图所示观察图象可知，0 a11，所以 1 a2.跟踪训练 2 解 令 f(x)| x26 x8|， g(x) a，在同一坐标系中画出 f(x)与 g(x)的图象，如图所示，f(x)|( x3) 21|.下面对 a 进行分类讨
9、论，由图象得，当 a1 或 a0 时，原方程实数解的个数为 2.例 3 解 令 f(x) ax22( a1) x a1，依题意知，函数 f(x)有两个零点，且一个零点大于 2，一个零点小于 2. f(x)的大致图象如图所示：则 a 应满足Error!或Error!即Error!或Error!解得 0 a5， a 的取值范围为(0,5)跟踪训练 3 解 由已知抛物线 f(x) x22 mx2 m1 的图象与 x 轴的交点分别在区间(1,0)和(1,2)内，画出示意图，得Error!Error! m ，故 m 的取值范围是( ， )56 12 56 12当堂训练1D 2.B 3.C 4.2 8 5.0，1
