1、阶段复习课直线与圆核心速填一、两直线的位置关系 1求直线斜率的基本方法(1)定义法:已知直线的倾斜角为 ,且 90 ,则斜率 ktan_.(2)公式法:已知直线过两点 P1(x1,y 1),P 2(x2,y 2),且 x1x 2,则斜率kError!.2判断两直线平行的方法(1)若不重合的直线 l1 与 l2 的斜率都存在,且分别为 k1,k 2,则k1k 2l 1l 2.(2)若不重合的直线 l1 与 l2 的斜率都不存在,其倾斜角都为 90,则 l1l 2.3判断两直线垂直的方法(1)若直线 l1 与 l2 的斜率都存在,且分别为 k1,k 2,则 k1k21l 1l 2.(2)已知直线
2、l1 与 l2,若其中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,则 l1l 2.二、直线方程1直线方程的五种形式名称 方程 常数的几何意义 适用条件点斜一般yy 0k (x x0) (x0, y0)是直线上的一 直线不垂直于 x 轴情况个定点,k 是斜率式 斜截式ykxbk 是斜率,b 是直线在y 轴上的截距直线不垂直于 x 轴一般情况Error!Error!(x1, y1),(x 2,y 2)是直线上的两个定点直线不垂直于 x 轴和 y轴两点式 截距式Error!Error!1a,b 分别是直线在 x 轴,y 轴上的两个非零截距直线不垂直于 x 轴和 y轴,且不过原点一般式AxBy C0A
3、,B 不同时为 0A,B,C 为系数 任何情况2.常见的直线系方程(1)经过两条直线 l1:A 1xB 1yC 10,l 2:A 2xB 2yC 20 交点的直线系方程为 A1xB 1yC 1(A 2xB 2yC 2)0,其中 是待定系数在这个方程中,无论 取什么实数,都不能得到 A2xB 2yC 20,因此它不能表示直线 l2.(2)平行直线系方程:与直线 AxByC0(A,B 不同时为 0)平行的直线系方程是 AxBy 0( C)(3)垂直直线系方程:与直线 AxByC0(A,B 不同时为 0)垂直的直线系方程是 BxAy 0.三、圆的方程(1)圆的标准方程:(x a) 2(yb) 2r
4、2.(2)圆的一般方程:x 2y 2DxEyF 0(D 2E 24F0)(3)若圆经过两已知圆的交点或一已知圆与一已知直线的交点,求圆的方程时可用相应的圆系方程加以求解:求两圆 C1:x 2y 2D 1xE 1yF 10,C 2:x 2y 2D 2xE 2yF 20 交点的圆系方程为 x2y 2 D1xE 1yF 1 (x2y 2D 2xE 2yF 2)0( 为参数,1),该方程不包括圆 C2;过圆 C:x 2y 2Dx EyF0 与直线 l:Ax ByC0 交点的圆系方程为 x2y 2Dx Ey F (AxBy C )0( 为参数,R )四、直线与圆的位置关系1直线与圆位置关系的判断方法(1
5、)几何法:设圆心到直线的距离为 d,圆的半径长为 r.若 dr,则直线和圆相交;若 dr,则直线和圆相切;若 dr,则直线和圆相离(2)代数法:联立直线方程与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,其判别式为 ,0直线与圆相切;0直线与圆相交;0直线与圆相离2过圆外一点(x 0,y 0)与圆相切的切线方程的求法当切线斜率存在时,设切线方程为 yy 0k(xx 0),化成一般式kxyy 0kx 00,利用圆心到直线的距离等于半径长,解出 k;当切线斜率存在时,设切线方程为 yy 0k(xx 0),与圆的方程(xa)2(y b)2r 2 联立,化为关于 x 的一元二次方程,利用判别式为 0
6、,求出 k.当切线斜率不存在时,可通过数列结合思想,在平面直角坐标系中作出其图象,求出切线的方程3圆中弦长的求法(1)直接求出直线与圆或圆与圆的交点坐标,再利用两点间的距离公式求解(2)利用圆的弦长公式 l |x1x 2|(其中 x1,x 2 为两交点的横坐标)(3)利用垂径定理:分别以圆心到直线的距离 d、圆的半径 r 与弦长的一半Error!为线段长的三条线段构成直角三角形,故有 l2.4圆与圆的位置关系: (1)利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系(2)若圆 C1:x 2y 2D 1xE 1yF 10 与圆 C2:x 2y 2D 2xE 2yF 20相交则两圆方程相减
7、后得到的新方程:(D 1D 2)x(E 1E 2)y(F 1F 2)0 表示的是两圆公共弦所在直线的方程体系构建题型探究两直线的位置关系已知两条直线 l1:axby40 和 l2:( a 1)xyb0,求满足下列条件的 a,b 的值(1)l1l 2 且 l1 过点( 3,1);(2)l1l 2,且坐标原点到这两条直线的距离相等解 (1) l1l2,a(a1) b0, 又 l1过点( 3,1) ,3a b40.解组成的方程组得Error!(2)l2 的斜率存在,l 1l2,直线 l1 的斜率存在k1k 2,即Error!1a.又坐标 原点到这两条直线的距离相等, l1l2,l1,l2 在 y 轴
8、 上的截距互为 相反数,即Error!(b)由联立,解得Error! 或 Error!经检验此时的 l1 与 l2 不重合,故所求值为Error!或Error!规律方法 已知两直 线 l1:A1xB 1yC 10 和 l2:A2xB 2yC 20,(1)对于 l1l 2 的问题,先由 A1B2A 2B10 解出其中的字母值,然后代回原方程检验这时的 l1 和 l2 是否重合,若重合,舍去.(2)对于 l1l 2 的问题,由 A1A2B 1B20 解出字母的值即可.提醒:利用斜率的两点式时,注意斜率不存在的情况.跟踪训练1已知 A(1,2),B(1,0),C(2,1),若平面 ABC 内一点 D
9、 满足CDAB ,且 CBAD,则点 D 的坐标为( )A( 2,3) B(2,3)C(2,3) D(2,3)D 设 D(x,y),由 CDAB,且 CBAD,知 kCDkAB1,k CBk AD,则Error!解得Error!即 D(2,3),故选 D.2已知直线 l1 经过点 A(3,a),B (a2,3),直线 l2 经过点 A(3,a),C(6,5),且 l1l 2,求实数 a 的值. 【导学号:07742333】解 当直线 l1 的斜率不存在 时, a23,解得 a5.此时 A(3,5),C(6,5),直 线 l2 的斜率为 0,满足 l1l2.当直线 l1 的斜率存在 时,直线 l
10、1 的斜率 k1 Error!,直线 l2 的斜率 k2Error! Error!,l1l2,k1k2Error! Error!1, a0.综上,实数 a 的值为 0 或 5.直线方程过点 P(1,0),Q(0,2)分别作两条互相平行的直线,使它们在 x 轴上截距之差的绝对值为 1,求这两条直线的方程. 【导学号:07742334】解 当两条直线的斜率不存在时,两条直 线的方程分 别为 x1,x0,它们在 x 轴上截距之差的 绝对值为 1,满足题意;当直线的斜率存在时,设其斜率为 k,则两条直线的方程分别为 yk (x1),ykx 2.令 y0,分别得 x1,xError!.由题意得Error
11、!1,即 k1.则直线的方程为 yx 1,yx 2,即 xy10,x y 2 0.综上可知,所求的直线方程为 x1, x0,或 xy10,x y20.规律方法 求直线方程时,要根据给定条件,选择恰当的方程,常用以下两种方法求解:(1) 直接法:直接 选取适当的直线方程的形式,写出结果;(2)待定系数法:先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程,再由直线满足的另一个条件求出待定系数,从而求得方程.跟踪训练3求与直线 yError! xError!垂直,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 24 的直线 l 的方程解 由直线 l 与直线 yError!xError!垂直,可设直线方程为yError!
12、x b,则直线 l 与 x 轴, y 轴上的截距分别为x0Error!b,y 0b.又因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 24,所以 SError!|x 0|y0|24,即Error!Error!|b|24,b 236.解得 b6 或 b6.故所求直线的方程为 y Error!x6 或 yError!x6,即 3x4y240 或 3x4y240.直线对称问题的求法已知直线 l:y3x 3,试求:(1)点 P(4,5)关于直线 l 的对称点的坐标;(2)直线 l 关于点 A(3,2)对称的直线方程解 (1)设点 P 关于直线 l 的对称点为 P(x,y),则 PP的中点 M 在直线 l 上,
13、且直线 PP垂直于直线 l.即Error!解得Error!P点的坐标为(2,7) (2)设直线 l 关于点 A(3,2)对称的直线为 l3,则直线 l 上任一点 P(x1,y1)关于点 A 的 对称点 P3(x3,y3)一定在直 线 l3 上,反之也成立Error!解得Error!代入 l 的方程后,得 3x3y 3170.即 l3 的方程为 3xy 170.规律方法 1中心对称(1)两点关于点对称:设 P1(x1,y1),P(a,b),则 P1(x1,y1)关于 P(a,b)对称的点为 P2(2ax 1,2by 1),即 P 为线段 P1P2 的中点(2)两直线关于点 对称:设直线 l1,l
14、2 关于点 P 对称,这时其中一条直线上任一点关于点 P 对称的点在另外一条直线上,必有 l1l2,且 P 到 l1、l2 的距离相等2轴对称两点关于直线对称:设 P1,P2 关于直线 l 对称, 则直线 P1P2 与 l 垂直,且P1P2 的中点在 l 上跟踪训练4在直线 l:3xy 10 上求一点 P,使得:(1)P 到 A(4,1)和 B(0,4)的距离之差最大;(2)P 到 A(4,1)和 C(3,4)的距离之和最小解 (1)如图,B 关于 l 的对称点 B(3,3)直线 AB的方程为 2xy90,由Error!解得Error!即 P(2,5)(2)如图,C 关于 l 的对称点 CEr
15、ror!,由图象可知:|PA|PC| |AC|.当 P 是 AC与 l 的交点 P Error!时“”成立,PError!.圆的方程根据条件求下列圆的方程:(1)求经过 A(6,5),B (0,1)两点,并且圆心在直线 3x10y90 上的圆的方程;(2)求半径为,圆心在直线 y2x 上,被直线 xy 0 截得的弦长为 4 的圆的方程. 【导学号:07742336】解 (1)由题意知线段 AB 的垂直平分线方程为 3x2y150,由Error!解得Error!圆心 C(7,3),半径 r|AC| .所求圆 的方程为(x 7) 2 (y3) 265.(2)法一:设圆 的方程为(xa) 2(yb)
16、 2r 2,则圆心为(a,b),半径 r,圆心(a ,b)到直线 xy 0 的距离 dError! ,由半弦长,弦心距,半径组成的直角三角形得:d2Error!r 2,即 810,(ab) 24,又b 2a,a2,b4 或 a2,b4,故所求圆的方程是(x 2) 2(y4) 210 或(x 2) 2 (y4) 210.法二:设圆的方程为(x a )2(yb) 210,圆心 C(a,b)在直线 y2x 上,b2a .由圆被直线 xy 0 截得的弦 长为 4.将 yx 代入(xa) 2(y b)210,得 2x22(ab)xa 2b 2100.设直线 yx 交圆 C 于 A(x1,y1),B(x2
17、,y2),则|AB|4,(x1x 2)24 x1x216.x1x 2ab,x 1x2Error!,(ab) 22(a 2b 210)16,即 ab2.又b 2a,Error!或Error!所求圆 的方程为(x 2) 2 (y4) 210 或(x2) 2(y4) 210.规律方法 求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程,利用待定系数法求解,采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为第一步:选择圆的方程的某一形式;第二步:由题意得 a,b,r(或 D,E,F)的方程(组);第三步:解出 a,b,r(或 D,E,F);,第四步:代入圆的方程.注:解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径,减少运算量,例
18、如:圆的切线垂直于经过切点的半径;圆心与弦的中点连线垂直于弦;两圆相交时,连心线垂直平分两圆的公共弦;两圆相切时,连心线过切点等.跟踪训练5设圆上的点 A(2,3)关于直线 x2y0 的对称点仍在圆上,且直线xy10 被圆截得的弦长为 2,求圆的方程解 设圆的方程 为(x a) 2(yb) 2r 2,由题意,知直线 x2y0 过圆心,a2b 0.又点 A 在圆上, (2a) 2(3b) 2r 2.直线 xy 10 被圆截得的弦长为 2,()2 r 2.由可得Error! 或Error!故所求方程为(x 6) 2(y3) 252 或(x 14) 2(y7) 2244.直线与圆的位置关系已知圆 C
19、:(x 3) 2( y4) 24,直线 l 过定点 A(1,0)(1)若 l 与圆 C 相切,求 l 的方程;(2)若 l 与圆 C 相交于 P,Q 两点,且|PQ| 2,求此时直线 l 的方程. 解 (1)若直线 l 的斜率不存在,则直线 l:x1,符合 题意若直线 l 的斜率存在,设直 线 l 的方程为 yk(x 1),即 kxyk 0.由题意知,圆心(3,4)到直线 l 的距离等于 2,即 Error!2,解得 kError!,此时直线 l 的方程为 3x4y 30.综上可得,所求直线 l 的方程是 x1 或 3x4y30.(2)由直线 l 与 圆 C 相交可知,直 线 l 的斜率必定存
20、在,且不为 0,设直线 l 的方程为 k0xy k 00,圆 心(3,4)到直线 l 的距离为 d,因为|PQ |22,所以 d,即Error!,解得 k01 或 k07,所以所求直线 l 的方程为 xy 10 或 7xy70.规律方法 判断直线和圆的位置关系,一般用代数法或几何法,为避免繁杂的运算,最好用几何法,其解题思路是:先求出圆心到直线的距离 d,然后比 较所求距离 d 与半径 r 的大小关系,进而判断直线和圆的位置关系.提醒:研究直线与圆位置关系综合问题时易忽视直线斜率 k 不存在情形,要注意作出图形进行判断.跟踪训练6如图 1 所示,已知以点 A(1,2)为圆心的圆与直线 l1:x
21、2y 70 相切过点 B( 2,0)的动直线 l 与圆 A 交于 M,N 两点图 1(1)求圆 A 的方程;(2)当| MN|2 时,求直线 l 的方程解 (1)设圆 A 的半径为 r.圆 A 与直线 l1:x2y 70 相切,rError!2.圆 A 的方程为(x 1) 2(y2) 220.(2)当直线 l 与 x 轴垂直时,直 线 l 的方程为 x2,易得|MN|2,符合题意;当直线 l 与 x 轴不垂直时, 设直线 l 的方程为 y k(x2),即kxy2k0.取 MN 的中点 Q,连接 AQ,则 AQMN.|MN|2,|AQ|1,Error!1,得 kError!,直线 l:3x4y 60.综上,直线 l 的方程为 x2 或 3x4y60.