1、2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式学习目标 1.理解两点间的距离的概念，掌握两点间的距离公式，并会求两点间的距离.2.理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题知识点一 两点的距离公式已知平面上两点 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)思考 1 当 x1x 2，y 1y 2 时，d(A，B) ？答案 d(A ，B)| x2x 1|.思考 2 当 x1x 2，y 1y 2 时，d(A，B) ？答案 d(A ，B)| y2y 1|.思考 3 当 x1x 2，y 1y 2 时，d(A，B) ？请简单说明理由答案 如图，在 RtABC 中，|AB| 2|AC |2|BC |2，所以|AB| .x2
2、 x12 y2 y12即两点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)的距离为|AB| .x2 x12 y2 y12梳理 两点间的距离公式A(x1，y1)，B(x2，y2)两点之间的距离公式 d(A，B)|AB| ；x2 x12 y2 y12当 AB 垂直于 y 轴时，d(A，B)|x 2x 1|；当 AB 垂直于 x 轴时，d(A，B)|y 2y 1|；当 B 为原点时，d(A ，B) .x21 y21知识点二 中点坐标公式已知平面直角坐标系中的两点 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，点 M(x，y)是线段 AB 的中点，则 x，y .x1 x22 y1 y221点 P1(0，a)，
3、点 P2(b，0)之间的距离为 ab.( )2点 P(x1，y1)关于点 M(x0，y0)的对称点是 P(2 x0x 1，2y0y 1)( )类型一 两点间的距离公式例 1 (1)已知ABC 三个顶点的坐标分别为 A(4,1)，B(3,2)，C(0,5)，则ABC 的周长为( )A4 B82 2C12 D162 2(2)若 A(5,6)，B( a，2)两点的距离为 10，则 a_.答案 (1)C (2)1 或11解析 (1)A(4,1)，B( 3,2)，C(0,5)，|AB| 5 ， 3 42 2 12 50 2|BC| 3 ，0 32 5 22 18 2|AC| 4 .0 42 5 12 3
4、2 2ABC 的周长为|AB|BC |AC |5 3 4 12 .2 2 2 2(2)|AB| x1 x22 y1 y22 10， 5 a2 6 22a1 或11.反思与感悟 两点间的距离公式应用的两种形式(1)在求到某点的距离满足某些条件的点 P(x，y)的坐标时，需要根据已知条件列出关于 x，y 的方程或方程组，解之即可(2)利用两点间的距离公式可以判断三角形的形状，从三边长入手，根据边长相等判断是等腰或等边三角形，根据勾股定理判断是直角三角形还可以根据两个距离之和等于第三个距离判断三点共线跟踪训练 1 已知点 A(3,4)，点 B(2， )，试在 x 轴上找一点 P，使得 d(P，A)d
5、( P，B)，3并求出 d(P，A)解 设 P(x,0)，由题意得d(P，A) x 32 0 42 ，x2 6x 25d(P，B) x 22 0 32 .x2 4x 7由 d(P，A)d(P，B) ，即 ，x2 6x 25 x2 4x 7化简得 x ，95故点 P 的坐标为 ，( 95，0)d(P，A) .( 3 95)2 42 21095类型二 中点公式及应用例 2 已知平行四边形 ABCD 的两个顶点坐标分别为 A(4,2)，B (5,7)，对角线交点为 E(3,4) ，求另外两顶点 C，D 的坐标解 设 C 点坐标为(x 1，y1)，则由 E 为 AC 的中点，得Error!得 Erro
6、r!设 D 点坐标为(x 2，y2)，则由 E 为 BD 的中点，得Error!得 Error!故 C 点坐标为(10,6)，D 点坐 标为( 11,1)反思与感悟 中点公式应用的步骤(1)认真审题，提炼题设中的条件(2)将条件转化为与中点有关的问题(3)利用中点公式求解(4)转化为题目要求的结果特别提醒：利用中点坐标公式可求得以 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)为顶点的ABC 的重心坐标为 .(x1 x2 x33 ，y1 y2 y33 )跟踪训练 2 (1)已知三点 A(x,5)，B(2，y)，C(1,1)，且点 C 是线段 AB 的中点，求 x，y 的值；(2)求点 M
7、(4,3)关于点 N(5，3)的对称点解 (1)由题意知，Error! 解得Error!(2)设所求点的坐标为(x ，y)，则 Error!解得Error!故所求对称点的坐标为(6，9)类型三 坐标法的应用例 3 证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和证明 如图所示，以顶点 A 为坐标原点， AB 边所在直线为 x 轴，建立直角坐 标系，有 A(0,0)设 B(a,0)，D(b，c)，由平行四边形的性质，得点 C 的坐标为 (ab， c)因为|AB| 2a 2，|CD|2a 2，|AD|2b 2c 2，|BC|2b 2c 2，|AC|2(ab) 2c 2，|BD|2(ba)2c
8、2，所以|AB| 2| CD|2| AD|2|BC |22( a2b 2c 2)，|AC|2|BD| 22(a 2b 2c 2)，所以|AB| 2| CD|2| AD|2|BC |2|AC| 2|BD| 2.因此，平行四边形四条边的平方和等于两条 对角线的平方和反思与感悟 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐 标和方程表示问题 中的几何无素，将平面几何 问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数 问题；第三步：把代数运算的结果翻译成几何结论跟踪训练 3 证明：直角三角形斜边中点到三个顶点的距离相等证明 如图所示，以直角三角形的直角 顶点 C 为坐标
9、原点，一直角边 CA 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系，则 C(0,0)设 A(a,0)，B(0，b)，则斜边中点 M 的坐标为 .(a2，b2)因为|OM| ，a24 b24 12a2 b2|BM| ，a24 (b2 b)2 12a2 b2|MA| ，(a a2)2 b24 12a2 b2所以|OM| BM|MA|.即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等1已知 A(3,5)，B(2,15)，则 d(A，B)等于( )A5 B52 13C5 D517 5答案 D解析 d(A ，B) 2 32 15 52 5 .52 102 52已知两点 A(a，b) ，B(c ，d)，且 0，则( )a
10、2 b2 c2 d2A原点一定是线段 AB 的中点BA，B 一定都与原点重合C原点一定在线段 AB 上但不是中点D以上结论都不正确答案 D解析 由 0，a2 b2 c2 d2得 ，即 d(O，A)d(O ，B)a2 b2 c2 d2所以点 A、B 到原点 O 的距离相等，故选项 A、B、C 错误，故选 D.3以 A(1,5)，B(5,1) ，C(9，9) 为顶点的三角形是( )A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D无法确定答案 B4已知 A(a,6)，B(2，b)，点 P(2,3)平分线段 AB，则 ab_.答案 6解析 由中点公式得 2 ，3 ，a 22 b 62a6，b0.ab6.5已
11、知平面内平行四边形的三个顶点 A(2,1) ，B(1,3)，C(3，4) ，求第四个顶点 D 的坐标解 分以下三种情况(如图所示 )(1)以 AC 为对角线构成ABCD 1.设 D1(x1，y1)，AC 的中点坐标为 ，其也 为 BD1 的中点坐标，(12，52) ， ，12 1 x12 52 3 y12x 12，y 12，即 D1(2,2)(2)以 BC 为对角线构成ACD 2B，同理得 D2(4,6)(3)以 AB 为对角线构成ACBD 3，同理得 D3(6,0) 由以上可知，第四个顶点 D 的坐标为(2,2)或(4,6) 或(6,0)1坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重
12、要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离反 过来，已知两点 间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标2平面几何中与线段长有关的定理和重要 结论，可以用坐标法来证明用坐标法解题时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐 标系时必须“ 避繁就简” 一、选择题1已知点 A( 3,4)和 B(0，b)，且|AB|5，则 b 等于( )A0 或 8 B0 或8C0 或 6 D0 或6答案 A解析 由 5， 32 4 b2解得 b0 或 8.2点 A(2， 3)关于坐标原点对称的点的坐标为 ( )A(3，2)
13、B( 2，3)C(2,3) D(3,2)答案 C解析 设所求点的坐标为 B(x，y)，则由题意知，坐标原点是线段 AB 的中点，则Error!解得 x2，y3.故选 C.3若点 P(x，y) 到两点 M(2,3)，N (4,5)的距离相等，则 xy 的值为( )A5 B6C7 D不确定答案 C解析 由两点间距离公式，得 ，两 边平方，得 xy7，x 22 y 32 x 42 y 52故选 C.4已知ABC 的两个顶点 A(3,7)，B (2,5)，若 AC，BC 的中点都在坐标轴上，则点 C 的坐标是( )A(3，7) B( 3，7)或(2，5)C(3，5) D(2，7) 或(3，5)答案 D
14、解析 设 C(x，y)，显然 AC，BC 的中点不在同一条坐标轴上若 AC 的中点在 x 轴上，BC 的中点在 y 轴上， 则有 y70， 2x 0，即 C(2， 7)；若 AC 的中点在 y 轴上，BC 的中点在x 轴上，则有 3x0,5y0，即 C(3， 5)5设点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，AB 的中点是 P(2，1)，则|AB|等于( )A5 B4 2C2 D25 10答案 C解析 设 A(a,0)，B(0，b)，则 2， 1，a2 b2解得 a4，b2，|AB| 2 .56若 x 轴的正半轴上的点 M 到原点与点(5 ，3)到原点的距离相等，则点 M 的坐标为( )A(
15、2,0) B(1,0)C. D( ，0)(32，0) 34答案 D解析 设 M(x,0)(x0)，则由已知得 x25 23 234.又 x0，x ，M ( ，0)34 347光线从点 A(3,5) 射到 x 轴上，经反射之后经过点 B(2,10)，则光线从点 A 到点 B 的距离为( )A5 B22 5C10 D510 10答案 D解析 点 B(2,10)关于 x 轴的对称点为 B(2， 10)，由光线的对称性可知，从点 A 到点 B 的光线距离就是线段 AB的长度|AB| 5 .2 32 10 52 108已知点 A(5,2a1) ，B(a1，a4)，当|AB|取最小值时，实数 a 的值是(
16、 )A B72 12C. D.12 72答案 C解析 |AB| a 1 52 a 4 2a 12 ，当 a 时，| AB|最小2a2 2a 2512二、填空题9已知点 A(x,5)关于点 C(1，y) 的对称点是 B(2，3)，则点 P(x，y) 到原点的距离是_答案 17解析 由题意知，Error!解得Error!d .42 12 1710已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，则顶点 D 的坐标为_答案 (x 1x 3x 2，y 1y 3y 2)解析 先求出 AC 的中点坐标 ，然后再由中点坐 标公式求 D 点坐标11等腰ABC
17、 的顶点是 A(3,0)，底边长 BC4，BC 边的中点是 D(5,4)，则此三角形的腰长为_答案 2 6解析 |BD| |BC|2，12|AD| 2 .5 32 4 02 5在 Rt ADB 中，由勾股定理，得腰长 AB 2 .22 252 6三、解答题12已知四边形 ABCD 的顶点 A(4,3) ，B (2,5)，C (6,3)，D( 3，0)，E，F 分别为边AB，BC 的中点，求 CE，DE，AF，DF 的长度解 设线段 AB 的中点为 E(x，y)，则 x 1，y 4， 4 22 3 52则 d(E，C) 5 ， 1 62 4 32 2d(E，D) 2 . 1 32 4 02 5即
18、 CE，DE 的长度分别为 5 ，2 .2 5设线段 BC 的中点为 F(m，n)，则 m 4，n 4，2 62 5 32则 d(F，A) ，4 42 4 32 65d(F，D) .4 32 4 02 65即 AF，DF 的长 度都为 .6513已知ABC 三个顶点的坐标分别为 A(1，1)，B(1,3)，C(3,0)(1)判断ABC 的形状；(2)求ABC 的面积解 (1)由已知，d( A，B) 1 12 3 12 2 ，20 5d(A，C) ，3 12 0 12 5d(B，C) 5.3 12 0 32 25|AB| 2 |AC|2|BC| 2，ABC 是以顶点 A 为直角顶点的直角三角形(
19、2)由角 A 为直角，得SABC |AB|AC| 2 5.12 12 5 5四、探究与拓展14已知点 A(1,3) ，B(3,1)，点 C 在坐标轴上，ACB 90，则满足条件的点 C 的个数是( )A1 B2 C3 D4答案 C解析 若点 C 在 x 轴上，设 C(x,0)，由 ACB90，得|AB| 2 |AC|2|BC| 2，(13) 2(31) 2(x 1) 23 2( x3) 21 2，解得 x0 或 x2.若点 C 在 y 轴 上，设 C(0，y)，由|AB| 2|AC |2|BC |2，可得 y0 或 y4.所得点 C 共有 3 个15已知以点 A(3，y)与点 B(x,2)为端点的线段的中点 C 在 x 轴上，O 为原点(1)若|OC|1，求点 C 的坐标；(2)当|AC| 取最小值时，求点 A 关于点 C 的对称点坐标解 由中点坐标公式，得点 C 的坐标为 ，(x 32 ，y 22 )由于点 C 在 x 轴上，所以 y 2，即 A(3，2)(1)|OC|1， 1.|x 32 |解得 x5 或 1，即点 C 的坐标为(1,0)或( 1,0) (2)|AC| ，(x 32 3)2 0 22 (x 32 )2 4当 x3 时，|AC|有最小值 2，C(3,0)点 A 关于点 C 的对称点坐 标为(3,2)
