1、1.1 空间几何体1.1.1 构成空间几何体的基本元素学习目标 1.了解空间中点、线、面、体之间的关系.2.了解轨迹和图形的关系.3.初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系知识点一 构成几何体的基本元素思考 1 平面几何研究的主要对象是什么？构成平面图形的基本元素是什么？答案 平面图形；点与直线思考 2 构成几何体的基本元素是什么？答案 点、线、面梳理 几何体的定义(1)定义：只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体(2)构成空间几何体的基本元素：点、线、面知识点二 长方体思考 长方体的基本元素有哪些？如何定义？答案 6 个面
2、，12 条棱，8 个顶点，长方体是由六个矩形(包括它的内部) 围成的梳理 长方体的概念(1)基本元素：长方体有 12 条棱，8 个顶点，6 个面(2)面：围成长方体的各个矩形(3)棱：相邻两个面的公共边(4)顶点：棱和棱的公共点知识点三 平面思考 平的镜面是一个平面吗？答案 不是，数学中的平面是个抽象的概念，它是无限延展的梳理 平面的概念(1)特征：平面是处处平直的面，是无限延展的(2)画法：通常画一个平行四边形表示一个平面(3)命名：用希腊字母 ，来命名，还可以用表示它的平行四边形的对角顶点的字母来命名知识点四 空间中直线、平面的位置关系思考 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系有哪些？答
3、案 直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行平面与平面的位置关系有平面与平面平行、平面与平面相交两种梳理 特殊位置关系的几个定义比较位置关系 定义 图形及符号表示线面若直线和平面没有公共点，则说 直线和平面平行 AB平面 平行面面若两个平面没有公共点，则说这 两个平面平行平面 平面 线面若一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则说直线与平面垂直l平面 垂直面面若两个平面相交，并且其中一个平面通过另一个平面的一条垂线，则说这 两个平面互相垂直 平面 平面 点面点到平面的垂线段的长度，称作点到平面的距离距离两平面夹在两平行平面间垂线段的长度称作两平面间的距离18 个平
4、面重叠起来要比 6 个平面重叠起来厚 ( )2空间不同三点确定一个平面( )3一条直线和一个点确定一个平面( )类型一 几何体的基本元素例 1 试指出下图中各几何体的基本元素解 (1)中几何体有 6 个顶点，12 条棱和 8 个面(2)中几何体有 12 个顶点， 18 条棱和 8 个面(3)中几何体有 6 个顶点， 10 条棱和 6 个面(4)中几何体有 2 条曲线， 3 个面(2 个平面和 1 个曲面) 反思与感悟 点是最基本的元素，只有位置，没有大小；直线没有粗细，向两方无限延伸；平面没有厚度，向周围无限延展要熟记这三种基本元素的特点在现实生活中要多观察几何体，以便加深对构成空间几何体的基
5、本元素的认识跟踪训练 1 如图，在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，下列说法正确的有_(填序号)长方体的顶点一共有 8 个；线段 AA1 所在的直线是长方体的一条棱；矩形 ABCD 所在的平面是长方体的一个面；长方体由六个平面围成答案 类型二 空间中点、线、面的位置关系的判定例 2 如图所示，在长方体 ABCDABC D中，如果把它的 12 条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这 12 条直线与 6 个平面中：(1)与直线 BC平行的平面有哪几个？(2)与直线 BC垂直的平面有哪几个？(3)与平面 BC平行的平面有哪几个？(4)与平面 BC垂直的平面有哪几个？(5)平面 AC 与平面
6、 AC 间的距离可以用哪些线段来表示？解 (1)有平面 ADDA与平面 ABCD.(2)有平面 ABBA、平面 CDDC.(3)有平面 ADDA.(4)有平面 ABBA、平面 CDDC、平面 ABCD与平面 ABCD.(5)可用线段 AA，BB，CC， DD来表示反思与感悟 (1)解决此类问题的关键在于识图，根据图形识别直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直(2)长方体和正方体是立体几何中的重要几何体，对其认识有助于进一步认识立体几何中的点、线、面的基本关系跟踪训练 2 下列关于长方体 ABCDA 1B1C1D1 中点、线、面位置关系的说法正确的是_(填序号)直线 AA1 与直线 BB1
7、平行；直线 AA1 与平面 C1D1DC 相交；直线 AA1 与平面 ABCD 垂直；点 A1 与点 B1 到平面 ABCD 的距离相等答案 解析 正确，由于 AA1与 BB1是矩形 ABB1A1的一组对边，所以 AA1BB 1；不正确，由于直线 AA1与平面 C1D1DC没有交点，所以 AA1平面 C1D1DC；正确，由于直线 AA1与平面 ABCD内的两条相交直线 AB，AD垂直，所以 AA1平面ABCD；正确，点 A1到平面 ABCD的距离为 AA1，点 B1到平面 ABCD的距离为 BB1，又 AA1BB 1，因此距离相等类型三 几何体的表面展开图例 3 把如图所示的几何体沿线段 AA
8、及与上、下底相关的棱剪开，然后放在平面上展开，试画出这些图形解 画出的相应图形如图所示反思与感悟 多面体表面展开图问题的解题策略(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型在解 题过程中， 给多面体的顶点标 上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开 图(2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是 说，一个多面体可有多个表面展开图跟踪训练 3 一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A、B、C 是展开图上的三点，则
9、在正方体盒子中，ABC_.答案 60解析 将平面图形翻折，折成空 间图形，如 图由图可知 ABBCAC，所以ABC 为等边三角形所以ABC60.1有以下结论：平面是处处平的面；平面是无限延展的；平面的形状是平行四边形；一个平面的厚度可以是 0.001 cm.其中正确的个数为( )A1 B2 C3 D4考点 平面的概念、面法及表示题点 平面概念的应用答案 B解析 平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，两种说法是正确的；两种说法是错误的故选 B.2下列结论正确的个数有( )曲面上可以存在直线；平面上可存在曲线；曲线运动的轨迹可形成平面；直线运动的轨迹可形成曲面；曲面上不能画出直线A3 B4
10、C5 D2答案 B解析 由空间中构成几何体的基本元素可判断均正确，而曲面上可以画出直 线，所以错误，故选 B.3下列说法正确的是( )A在空间中，一个点运动成直线B在空间中，直线平行移动形成平面C在空间中，直线绕该直线上的定点转动形成平面或锥面D在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体答案 C解析 一个点运动也可以成曲线，故 A 错；在空间中，直 线平行移动可以形成平面或曲面，故B 错；在空间中，矩形上各点沿铅垂线向上( 或向下)移动相同距离所形成的几何体是长方体，故 D 错4.在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中(如图所示) ，和棱 A1B1 不相交的棱有_条答案 7解析 在长方体中
11、一共有 12 条棱，除去与 A1B1相交的与其本身，还剩 7 条5如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标有 A，B，C，D，E，F 这六个字母之一，现放置成如图三种不同的位置，则字母 A，B，C 对面的字母分别为_答案 E，D，F解析 第一个正方体已知 A，C，D，第二个正方体已知 B，C，E，第三个正方体已知 A，B，C，且不同的面上写的字母各不相同，则可知， A 对面标的是 E，B 对面标的是 D，C 对面标的是 F.1点、线、面是构成几何体的基本元素2平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面3平面的记法(1)平面一般用希腊字母 、来命名；(2)平面图形顶点法4认识空间中的点、
12、直线和平面之间的位置关系，我们可以动手制作一些模型或画出图形，来帮助我们理解和提高空间想象能力一、选择题1下列不属于构成空间几何体的基本元素的是( )A点 B线段C曲面 D多边形(不包括内部的点)答案 D解析 空间中的几何体是由点、 线、面构成的，而线有直线和曲线之分，面有平面和曲面之分，只有多边形(不包括内部的点 )不属于构成几何体的基本元素2下列说法正确的是( )A水平放置的平面是大小确定的平行四边形B平面 ABCD 即平行四边形 ABCD 的四条边围起来的部分C一条直线和一个平面一定会有公共点D平面是光滑的，可向四周无限延展答案 D解析 平面可以用平行四边形来表示，但平行四 边形只是平面
13、的一部分，不能理解为平面，A错；平面是一个抽象的概念，是无限延展的，没有大小、厚薄之分，B 错；直线和平面可以没有公共点，此时直线和平面平行，C 错故选 D.3下列关于长方体的叙述中不正确的是( )A将一个矩形沿竖直方向平移一段距离一定能形成一个长方体B长方体中相对的面互相平行C长方体某一底面上的高就是这一面与其所对面的距离D两相对面之间的棱互相平行且等长答案 A解析 A 选项中，若矩形斜放，则不会形成长方体，故选 A.4下列四个长方体中，由图中的纸板折成的是( )答案 A解析 根据题图中纸板的折叠情况及特殊面的阴影部分可以判断 B，C，D 不正确，故选 A.5.某同学制作了一个对面图案相同的
14、正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为( )答案 A解析 两个 不能并列相邻，B 、D 错误；两个 不能并列相 邻，C 错误，故选 A.也可通过实物 制作检验来判定6两个平面可以将空间分成( )A3 部分 B4 部分C2 或 4 部分 D3 或 4 部分答案 D解析 当两平面平行时，将空 间分成 3 部分；当两平面相交 时，将空 间分成 4 部分，故选 D.二、填空题7下列说法：任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；一个几何体可以没有顶点；一个几何体可以没有棱；一个几何体可以没有面其中正确的是_(填序号 )答案 解析 球只有一个曲面围成，故 错， 对，由于几何体是空间图形，故
15、一定有面，错8.在如图所示的长方体 ABCDABC D中，互相平行的平面共有_对，与AA 垂直的平面是_答案 3 平面 ABCD，平面 ABC D解析 平面 ABCD与平面 ABC D平行，平面 ABBA与平面 CDDC平行，平面 ADDA与平面 BCCB平行，共 3 对与 AA垂直的是平面 ABCD，平面ABC D.9线段 AB 的长为 5 cm，在水平面上向右移动 4 cm 后记为 CD，将 CD 沿铅垂线方向向下移动 3 cm 后记为 CD，再将 CD沿水平方向向左移动 4 cm 后记为 AB，依次连接构成长方体 ABCDAB C D.(1)该长方体的高为_ cm.(2)平面 AB BA
16、 与平面 CDDC间的距离为_ cm.(3)点 A 到平面 BCCB 的距离为_ cm.答案 (1)3 (2)4 (3)5解析 如图，(1)该长方体的高为 3 cm.(2)平面 AB BA 与平面 CDDC间的距离为 4 cm.(3)A到平面 BCCB 的距离为 5 cm.10一个正方体去掉一个“角”后减少了一个顶点，这个几何图形是_(填序号)答案 解析 正方体共有 8 个顶点，去掉一个 “角”后减少了一个 顶点即有 7 个顶点11如图是一个正方体的表面展开图，A，B，C 均为所在棱的中点，D 为正方体的顶点若正方体的棱长为 2，则封闭折线 ABCDA 的长为_答案 2 2 5 6解析 如图，
17、ABBCCDDA 2 6 5 5 2 ，即折线 ABCDA的长为 2 .2 5 6 2 5 6ABBCCDDA 2 .2 6 5 5 2 5 6三、解答题12如图所示，指出几何体的点、线、面解 其中的点有 A，B，C，D，M，N.其中的线有 AB，BC，CD，DA，MA，MB，MC，MD，NA，NB，NC，ND.其中的平面有平面 MAD，平面 MAB，平面 MBC，平面 MDC，平面 NAB，平面 NAD，平面NDC，平面 NBC.13如图所示是一个正方体表面的展开图，图中四条线段 AB，CD，EF 和 GH 在原正方体中的位置关系是什么？解 选择一个面为底面，将图 形向上折成正方体，如 图，
18、点 G与点 C重合，点 F与点 B重合，则线段 AB与 EF相交，线段 HG与 CD相交，线段 EF与 CD平行四、探究与拓展14如图，模块均由 4 个棱长为 1 的小正方体构成，模块由 15 个棱长为 1 的小正方体构成现从模块中选出三个放到模块上，使得模块成为一个棱长为 3 的大正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的为( )A模块， B模块，C模块， D模块，答案 A解析 先将放入中的空缺部分，然后在上 层放入 ，可得正方体，而可验证其余不合题意故选 A.15如图是边长为 1 m 的正方体，有一蜘蛛潜伏在 A 处，B 处有一小虫被蜘蛛网粘住，请制作出模型，将正方体剪开，描述蜘蛛爬行的最短路线解 通过正方体的展开图(如 图所示) ，可以 发现，AB 间的最短距离为 A，B两点间的线段的长，为 (m)由展开图可以发现， C点为其中一条棱的中点22 12 5爬行的最短路线如图(1)(6)所示
