1、12.2.2 反证法明目标、知重点 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.1.反证法的定义一般地，由证明 pq 转向证明：綈 qrt， t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾.从而判定綈 q 为假，推出 q 为真的方法，叫做反证法.2.反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与假设矛盾或与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾，或与公认的简单事实矛盾等.3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下结论词 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有(n1
2、)个至少有(n1)个结论词 只有一个 对所有 x 成立 对任意 x 不成立反设词没有或至少有两个存在某个 x 不成立 存在某个 x 成立结论词 都是 一定是 p 或 q p 且 q反设词 不都是 不一定是 綈 p 且綈 q 綈 p 或綈 q情境导学王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”这就是著名的“道旁苦李”的故事.王戎的论述，运用的方法即是本节课所要学
3、的方法反证法.探究点一 反证法的概念思考 1 结合情境导学描述反证法的一般模式是什么？2答 (1)假设原命题不成立(提出原命题的否定，即“李子苦”)，(2)以此为条件，经过正确的推理，最后得出一个结论(“早被路人摘光了”)，(3)判定该结论与事实(“树上结满李子”)矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法.思考 2 反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾.反证法引出的矛盾有几种情况？答 (1)与假设矛盾；(2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾.思考 3 反证法主要适用于什么情形？答 要证的结论与条件之间的联系不明显，
4、直接由条件推出结论的线索不够清晰；如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.探究点二 用反证法证明定理、性质等一些事实结论例 1 已知直线 a， b 和平面 ，如果 a ， b ，且 a b，求证： a .证明 因为 a b，所以经过直线 a， b 确定一个平面 .因为 a ，而 a ，所以 与 是两个不同的平面.因为 b ，且 b ，所以 b.下面用反证法证明直线 a 与平面 没有公共点.假设直线 a 与平面 有公共点 P，如图所示，则 P b，即点 P 是直线 a 与 b 的公共点，这与 a b 矛盾.所以 a .反思与感悟 数学中的一些
5、基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明.正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论如果难以直接证明时，可考虑用反证法.跟踪训练 1 如图，已知 a b， a平面 A.求证：直线 b 与平面 必相交.证明 假设 b 与平面 不相交，即 b 或 b .若 b ，因为 b a， a ，所以 a ，这与 a A 相矛盾；3如图所示，如果 b ，则 a， b 确定平面 .显然 与 相交，设 c，因为 b ，所以 b c.又 a b，从而 a c，且 a ， c ，则 a ，这与 a A 相矛盾.由知，假设不成立，故直线 b 与平面 必相交.探究点三 用反证法证
6、明否定性命题例 2 求证： 不是有理数.2证明 假设 是有理数.于是，存在互质的正整数 m， n，2使得 ，从而有 m n，因此 m22 n2，2mn 2所以 m 为偶数.于是可设 m2 k(k 是正整数)，从而有4k22 n2，即 n22 k2，所以 n 也为偶数.这与 m， n 互质矛盾.由上述矛盾可知假设错误，从而 不是有理数.2反思与感悟 当结论中含有“不” 、 “不是、 “不可能” 、 “不存在”等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法.跟踪训练 2 已知三个正数 a， b， c 成等比数列，但不成等差数列，求证： ， ， 不成a b c等差数列.证明 假设 ，
7、 ， 成等差数列，则a b c 2 ，即 a c2 4 b，a c b ac而 b2 ac，即 b ， a c2 4 ，ac ac ac( )20.即 ，a c a c从而 a b c，与 a， b， c 不成等差数列矛盾，故 ， ， 不成等差数列 .a b c探究点四 含至多、至少、唯一型命题的证明例 3 若函数 f(x)在区间 a， b上是增函数，那么方程 f(x)0 在区间 a， b上至多有一个实根.4证明 假设方程 f(x)0 在区间 a， b上至少有两个实根，设 、 为其中的两个实根.因为 ，不妨设 0，这与 a b c0 矛盾，故 a、 b、 c 中至少有一个大于 0.1.用反证法
8、证明“在 ABC 中至多有一个直角或钝角” ，第一步应假设( )A.三角形中至少有一个直角或钝角B.三角形中至少有两个直角或钝角C.三角形中没有直角或钝角D.三角形中三个角都是直角或钝角答案 B2.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于 60”，应先假设这个三角形中( )A.有一个内角小于 60 B.每一个内角都小于 60C.有一个内角大于 60 D.每一个内角都大于 60答案 B3.“abC.a b D.a b 或 ab答案 D4.用反证法证明“在同一平面内，若 a c， b c，则 a b”时，应假设( )A.a 不垂直于 c B.a， b 都不垂直于 c5C.a b D.a 与 b
9、相交答案 D5.已知 a0，证明：关于 x 的方程 ax b 有且只有一个根.证明 由于 a0，因此方程至少有一个根 x .ba如果方程不止一个根，不妨设 x1， x2是它的两个不同的根，即 ax1 b， ax2 b. ，得 a(x1 x2)0.因为 x1 x2，所以 x1 x20，所以应有 a0，这与已知矛盾，故假设错误.所以，当 a0 时，方程 ax b 有且只有一个根.呈重点、现规律1.反证法证明的基本步骤：(1)假设命题结论的反面是正确的；(反设)(2)从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；(推谬)(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的.(结论)2.反证法证题与“逆否命题法”的异同：反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题.反证法在否定结论后，只要找到矛盾即可，可以与题设矛盾，也可以与假设矛盾，与定义、定理、公式、事实矛盾.因此，反证法与证明逆否命题是不同的.
