1、1“解析几何”中常用的数学思想方法”数学思想是数学的灵魂，是将知识转化为能力的桥梁，也是解决问题的思维策略 解析几何内容中蕴含着丰富的数学思想，例谈如下：1.数形结合的思想数形结合是研究曲线与方程的最重要的思想方法应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.例 1如图,圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1,O1O2=4,过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线PM、 PN（M、N 分别为切点） ，使得 ,试建立适当的坐标系，并求动点 PPMN的轨迹方程思路分析：本题是解析几
2、何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：,即 ，结合图PN2形由勾股定理转化为：,设 P(x,y),由距离)1(221O公式写出代数关系式,化简整理得出所求轨迹方程解：以 O1O2 的中点 O 为原点，O 1O2 所在直线为 x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则 O1（-2，0） ，O 2（2，0） ，由已知： ,即 ，因为两圆PN的半径都为 1,所以有： ，设 P（x,y）则（x+2） 2+y2-1=2(x-2)2+y2-)(21P1， 即 3)6(2yx综上所述，所求轨迹方程为： （或 ） 3)6(2yx 03122xyx2.分类讨论的思想所谓分类讨论，就是
3、当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。例 2在平面直角坐标系中，已知矩形的长为，宽为，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合（如图所示） 将矩形折叠，使点落在线段上（）若折痕所在直线的斜率为，试写出折痕所在直线的方程；（）求折痕的长的最大值。PMNO1 O2Oyx2解(I) （ 1）当 时,此时 A 点与 D 点重合, 折痕所在的直线方程 .0k 21y（2）当 时，将矩形折叠后 A 点落在线段 CD 上的点为 G(a,1
4、)所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称，有 kkakOG1,故 G 点坐标为 ，从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标（线段 OG 的中点）为)1,(k，折痕所在的直线方程 ，即)2,(kM)2(1kxy2kxy由（1） （2）得折痕所在的直线方程为：k=0 时， ； 时10（II）(1)当 时，折痕的长为 2;0k(1) 当 时 , 折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为 )0,21(),(2kPkN23222 4)1()()1( kkkPNy 4322/ 683k令 解得 0/y22167maxPN所以折痕的长度的最大值 2。3.参数思想参数法解题的关键是恰到好处地利用或引进参数，沟通已知
5、和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。例 3已知直线(a-2)y=(3a-1)x-1 (1)求证无论 a 为何值，直线总过第一象限(2)3为使这直线不过第二象限，求 a 的范围解：(1)将方程整理得为 a(3x-y)+(-x+2y-1)=O对任意实数 a，所给直线恒过直线 3x-y=O 与 x-2y+1=0 的交点( ， )，513直线系恒过第一象限内的定点( ， )；513(2)当 a=2 时，直线为 x= 不过第二象限；当 a2 时，直线方程化为：y=x- ，不过第二象限的充要条件为 或 a2，总213a 0213a0213a之，a2 时直线不过第二象限4.待定系数法的
6、思想：根据给定条件求直线和圆方程时，待定系数法和代点法是常用的方法 例 4条件：(1)截 轴弦长为 2.(2)被 轴分成两段圆弧，其弧长之比为 3:1.yx在满足(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线 距离最小时圆的方程.02:yl解：设所求圆的方程为： ，则由截 轴的弦长为 2 得2)()(baxy12a由被 轴分成两段圆弦，其弧长之比为 ，x 22)(1:312ab圆心 到直线 的距离)(ba、 02yx5bad即 12)(445 222 abbad21当且仅当 即 或 时，取“=”bb ， 此时5mina2所以，所求圆的方程为 或)1()(2yx 2)1()(2yx5.函数、方程、不等式思
7、想函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题4型多、应用技巧多.函数思想即将所研究的问题借助建立函数关系式或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.例 5. 两条平行直线分别过点 P(-2，-2)，Q(1，3)，它们之间的距离为 d，如果这两条直线各自绕点 P、Q 旋转并互相保持平行(1)求 d 的变化范围(2)用 d 表示这两条直线的斜率(3)当 d 取最大值时，求这两条直线的方程解 当过 P、Q 的两条直线的斜率为 O 时， d=5
8、；当这两直线斜率不存在，即与 x 轴垂直时， d=3 设 l1：y+2=k(x+2)；l 2：y-3=k(x-1)(1)由平行线间的距离公式得 d= 1|53|k即(d 2-9)k2+30k+d2-25=O 由=900-4(d 2-9)(d2-25)O，得 Od 34(2)由得 k= (d3)9341522d(3)当 d= 时,k=-l 1：y+2=- (x+2)， l 2：y-3=- (x-1)。5353长期以来，中学师生身处应试教育的怪圈，教师和学生会不由自主地陷入“题海“之中，教师担心某种题型没讲，高考时做不出，学生怕少做一道题，万一考了损失太惨重，在这样一种氛围中，往往忽视了数学思想方法的培养。在数学学习中，如果有了正确的数学思想方法，采取了恰当的数学思维策略，能有效地帮助学生理解数学的本质，掌握好高中数学。 徐贻林，邮编 215011，身份证号 320821196307280113
