1、提升训练 12 带电粒子在复合场中的运动问题1.如图所示,在 xOy 平面内有磁感应强度为 B 的匀强磁场,其中 0a 内有方向垂直 xOy 平面向外的磁场,在 xL 的区域存在沿 -y 方向的匀强电场,电场强度为 E,在坐标原点 O 点有一正粒子以速率v0 沿+x 方向射入磁场,粒子穿出磁场进入电场,速度减小到 0 后又返回磁场。已知粒子的比荷为 ,粒子重力不计。(1)求匀强磁场的磁感应强度的大小;(2)从原点出发后带电粒子第一次经过 x 轴,求洛伦兹力的冲量;(3)经过多长时间,带电粒子经过 x 轴。7.(2018 年 5 月宁波诺丁汉大学附中高二期中 )如图所示,在 x 轴上方存在匀强磁
2、场,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外;在 x 轴下方存在匀强电场,电场方向与 xOy 平面平行,且与 x 轴成 45夹角。一质量为 m、电荷量为 q(q0)的粒子以速度 v0 从 y 轴上 P 点沿 y 轴正方向射出,一段时间后进入电场,进入电场时的速度方向与电场方向相反;又经过一段时间 T0,磁场方向变为垂直纸面向里,大小不变,不计重力。(1)求粒子从 P 点出发至第一次到达 x 轴时所需的时间;(2)若要使粒子能够回到 P 点,求电场强度的最大值。8.如图所示,某一新型发电装置的发电管是横截面为矩形的水平管道,管道的长为 L、宽为 d、高为 h,上、下两面是绝缘板.前、后两侧面 M、
3、N 是电阻可忽略的导体板,两导体板与开关 S 和定值电阻 R相连。整个管道置于磁感应强度大小为 B、方向沿 z 轴正方向的匀强磁场中。管道内始终充满电阻率为 的导电液体(有大量的正、负离子),且开关闭合前后,液体在管道进、出口两端压强差的作用下,均以恒定速率 v0 沿 x 轴正向流动。(1)求开关闭合前,M、N 两板间的电势差大小 U0;(2)调整矩形管道的宽和高,但保持其他量和矩形管道的横截面积为 S 不变,求电阻 R 可获得的最大功率 Pm 及相应的宽高比 的值。9.(2018 年 3 月稽阳联谊学校选考联考 )某同学在复习带电粒子在复合场中的运动时 ,经过思考,自己设计了一道题目:如图,
4、C、D 板之间是加速电场,电压为 U,虚 线 OQ、QP、ON 是匀强磁场的边界,且磁场范围足够大,QP 与 ON 平行,间距为 d,与 OQ 垂直且与竖直方向夹角 =60,两磁场磁感应强度大小均为 B,方向垂直纸面向外。现有一个比荷为 k 的正电荷(重力不计), 从 C 板的小孔静止释放,加速后从 O 点水平进入虚线 OQ 右侧空间。该电荷第二次(不包括从 O 点进入这一次)到达 ON 边界时的位置为 A 点(未画出) 。求:(1)粒子在 O 点的速度大小 ;(2)粒子从 O 到 A 的时间;(3)若两磁场整体以 O 点为轴 ,顺时针转过 30,粒子加速后从 O 点水平进入,且粒子始终在 O
5、Q 右侧运动,试判断粒子能否通过 A 点,需讲明理由。10.(2016 浙江杭州五校联盟)某研究性学习小组用如图所示的装置来选择密度相同、大小不同的球状纳米粒子。密度相同的粒子在电离室中被电离后带正电,电荷量与其表面积成正比。电离后粒子缓慢通过小孔 O1 进入极板间电压为 U 的水平加速电场区域 ,再通过小孔 O2 射入相互正交的恒定匀强电场和匀强磁场区域 ,其中磁场的磁感应强度大小为 B,方向垂直纸面向外。收集室的小孔 O3与 O1、O 2 在同一条水平线上。实验发现: 半径为 r0 的粒子质量为 m0、电荷量为 q0,刚好能沿 O1O3直线射入收集室。不计纳米粒子重力和粒子之间的相互作用力
6、。(球体积和球表面积公式分别为 V球 = r3,S 球 =4r2)求:43(1)图中区域 的电场强度 E 的大小;(2)半径为 r 的粒子通过 O2 时的速率 v;(3)试讨论半径 rr0 的粒子进入区域 后将向哪个极板偏转。11.(2018 年 3 月宁波高三质量评估 )如图所示为一平面直角坐标系 xOy,在第一、二象限中有一半圆形的有界磁场,圆心在 O 点,半圆的半径为 R,磁场方向垂直坐标平面向里,磁感应强度为 B,在 y=R 的上方有一沿 x 轴负方向的匀强电场,电场强度为 E,在坐标原点有一粒子源,可以向第一象限坐标平面内的任意方向发射相同速率的带正电的粒子,粒子质量为 m,电荷量为
7、 q,粒子的重力可以忽略不计,不考虑粒子间的相互作用。发现有一粒子从 y 轴上的 P 点离开磁场进入电场,并且此时速度方向与 y轴正方向成 30夹角,求:(1)粒子速度的大小;(2)出磁场后能垂直进入电场的粒子从粒子源射出到经过 y 轴时所用的时间;(3)在 y=R 上,有粒子能进入电场的横坐标范围。12.图甲为某种速度选择器示意图(图乙是该装置的俯视图), 加速电场右侧是一半径为 R 的接 地竖直金属圆筒,它与加速电场靠得很近,圆筒可绕竖直中心轴以某一角速度逆时针匀速转动。O 1、O 2 为加速电场两极板上的小孔,O 3、 O4 为圆筒直径两端的小孔,竖直荧光屏 abcd 与直线 O1O2
8、平行,且到圆筒的竖直中心轴的距离 OP=3R。粒子源发出同种粒子经电场加速进入圆筒(筒内加一竖直向下的匀强磁场,磁感应强度的大小为 B),经磁场偏转后,通过圆筒的小孔打到光屏上产生亮斑,即被选中。整个装置处于真空室中,不计粒子重力及粒子间相互作用。(1)若开始时圆筒静止且圆筒内不加磁场,同时让 O1、O 2、O 3、O、O 4 在同一直线上。初速度不计的带电粒子从小孔 O1 进入加速电场 ,再从小孔 O3 打入圆筒从 O4 射出。当加速电压调为 U0 时,测出粒子在圆筒中运动的时间为 t0,请求出此粒子的比荷 。(2)仅调整加速电场的电压,可以使粒子以不同的速度射入圆筒 ,若在光屏上形成的亮斑
9、范围为Q1P=PQ2= R,求打到光屏的粒子所对应的速率 v 的范围 ,以及圆筒转动的角速度 。3提升训练 12 带电粒子在复合场中的运动问题1.答案 (1)2(1 + )a (2)2-1302解析 (1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,设其轨道半径为 R,其在第一象限的运动轨迹如图所示。此轨迹由两段圆弧组成,圆心分别在 C 和 C处,轨迹与 x 轴交点为 P。由对称性可知 C在x=2a 直线上。设此直线与 x 轴交点为 D,P 点的 x 坐标为 xP=2a+DP。过两段圆弧的连接点作平行于 x 轴的直线 EF,则DF=r- ,CF= ,CD=CF-DF,DP=2-2 2-2 2-2由此可
10、得 P 点的 x 坐标为xP=2a+2 ,2-2-(2-2)代入题给条件得 xP=2(1+ )a。2-1(2)若要求带电粒子能够返回原点,由对称性,其运动轨迹如图所示 ,这时 C在 x 轴上。设CCO=,粒子做圆周运动的轨道半径为 r,由几何关系得 =6轨道半径 r= a=233由牛顿第二定律和洛伦兹力公式得 qv0B=m ,02解得 a= 。3022.答案 (1)1.010 4 m/s (2)100 V (3)0.1 T解析 (1)带电微粒经加速电场加速后速度为 v,根据动能定理得 U1q= ,解得1212v1= =1.0104 m/s。21(2)带电微粒在偏转电场中只受电场力作用,做类平抛
11、运动。在水平方向微粒做匀速直线运动。水平方向:v 1=带电微粒在竖直方向做匀加速直线运动,加速度为 a,出电场时竖直方向速度为 v2竖直方向:a=2v2=at=21由几何关系得 tan=21=212=221U2= tan来源 :学科网 21得 U2=100 V。(3)电微粒进入磁场做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力 ,设微粒轨道半径为 R,由几何关系知R+ =D,解得 R= D2 23设微粒进入磁场时的速度为 v,则 v=130由牛顿运动定律及运动学规律 qvB=2得 B= ,=23 130代入数据得 B=0.1 T,即若带电粒子不射出磁场,磁感应强度 B 至少为 0.1 T。3.D 解析 初
12、速度为 v 的带电粒子沿直线从右侧射出,故此时洛伦兹力和电场力平衡 :qvB=Eq,可得初速度:v= 。假设粒子带正电,若粒子沿轨迹 射出,根据左手定则可知洛伦兹力向上,可知刚进入磁场时 qvBEq,所以 v =v,此时电场力做负功,动能减小 ,速度减小,假设粒子带负电,若粒子沿轨迹 射出,根据左手定则可知,洛伦兹力方向向下,可知刚进入磁场时 qvBEq,即 v=v,粒子可能沿轨迹 射出,此时电场力做负功 ,电势能增大 ,故 D 正确。4.答案 (1)负 (2) (3) U0U 02 20222解析 (1)墨滴在电场区域做匀速直线运动,有 q =mg,得 q= 由于电场方向向下,电荷所受电场力
13、向上,可知,墨滴带负电荷。(2)进入电场、磁场共存区域后,重力与电场力平衡,洛伦兹力提供墨滴做匀速圆周运动的向心力 ,有 qv0B=02考虑墨滴进入磁场和挡板的几何关系,可知墨滴在该区域恰完成四分之一圆周运动,则半径 R=d,由此可知 B= 。02(3)根据题设,墨滴速度减小到 v= v0 时 ,设圆周运动半径为 R12有 qvB= ,得 R= R= d2 =02=12 12则墨滴恰好经过半圆回到 O2。要使墨滴从两金属板左 侧的 C1C2 之间离开电场,则墨滴应在电场力和重力作用下做匀速直线运动,从 C2 离开,即 U1=U0或做类平抛运动,最大偏向位移的墨滴从 C1 离开,则有 L=vt,
14、d= t2,得 U2=12 122 20222所以电压的调节范围是 U0 U 。202225.答案 (1) (2) (3)022 0 239024702+02解析 (1)带电粒子在匀强电场中做类平抛运动。水平方向做匀速直线运动:2L=v 0t竖直方向做匀变速直线运动:L= )212(20求得 E= 。022(2)带电粒子在 C 点竖直分速度为 vy= t= =v020粒子进入磁场的速度 v= v02方向与 x 轴正向成 45粒子进入磁场区域做匀速圆周运动,由几何知识可得 R1= L2由洛伦兹力充当向心力时,有 Bqv=m21可解得 B= 。1=0(3)放射性同位素 Pu 的衰变方程为 Pu H
15、e+, 粒子的质量为 m,则 U 的质量 23994 23994 23592+42 23592为 m2354衰变过程动量守恒,Mv U=mv0由动能 EU= ,E= ,12M2 1202质量亏损放出的能量 E=mc2,E=EU+E+E0所以 m= 。239024702+026.答案 (1) (2)2mv0 (3)n (n=1,2,3,)0 (0+20)解析 (1)由题意如图,粒子在磁场中圆周运动的半径 r=L根据 qvB= ,解得 B= 。2 0(2)匀强电场中,由动量定理得来源:学科网I=-mv0-mv0=-2mv0从原点出发后第一次经过 x 轴,由 I+I=mv0-mv0得洛伦兹力的冲量
16、I=2mv0。(3)粒子返回磁场后,再做匀速圆周运动,在磁场中运动的时间 t1=0电场中运动的时间为 t2=20=20考虑周期性,带电粒子经过 x 轴的时间 t=nt=n (n=1,2,3,)(0+20)7.答案 (1) (2)54 200解析 (1)带电粒子在磁场中做圆周运动,设运动半径为 R,运动周期为 T,根据洛伦兹力公式及圆周运动规律,有 qv0B=m ,T=02 20依题意,粒子第一次到达 x 轴时,运动转过的角度为 ,所需时间为 t1= T,求得 t1= 。54 58 54(2)粒子进入电场后,先做匀减速运动,直到速度减小为 0,然后沿原路返回做匀加速运动 ,到达 x 轴时速度大小
17、仍为 v0,设粒子在电场中运动的总时间为 t2,加速度大小为 a,电场强度大小为 E,有qE=ma,v0= at2,得 t2=12 20根据题意,要使粒子能够回到 P 点,必须满足 t2T 0得电场强度最大值 E= 。2008.答案 (1)Bdv 0 (2)0224 解析 (1)以导电液体中带正电离子为研究对象,受力平衡时 ,qv0B=qE=q ,解得 U0=Bdv0。0(2)两导体板间液体的电阻 r=I=0+电阻 R 获得的功率为 P=I2R,即 P= R,当 时,电阻 R 获得最大功率,为 Pm= 。(0+)2 = 02249.答案 (1) (2)2d (3)见解析22+2解析 (1)qU
18、= mv2 得 v= 。12 2=2(2)粒子的轨迹图,如图所示。连 GA,则OGA 为等腰三角形 ,GAHK。据平面几何知识,得 OG=HK=2d所以 t1=4劣弧 GH 与优弧 AK 合起来恰好为一整圆 ,得来源:学| 科|网t2=2=2所以 t= =2d 。4+2 2+2(3)由(2)可得 OA=2 d3若两磁场整体以 O 点为轴,顺时针转过 30。如图为粒子运动轨迹,QOG=30,OQ=d,所以OG= d30=233来源:学科网 ZXXK又因为OGA为正三角形,所以 OA=OG= d233根据几何关系,得: =3即通过 3 个周期,粒子可以通过 A 点。10.答案 (1)B (2)20
19、0 2000(3)当 rr0 时,粒子会向上极板偏转;当 rr0 时,v0,粒子会向上极板偏转;当 rv 0,F 合 0,粒子会向下极板偏转。11.答案 (1) (2)(3)见解析图 1解析 (1)由分析可知,从 O 点出发 ,在 P 点离开磁场的粒子,在磁场中运动的圆弧对应的圆心角为60,轨迹如图 1所以粒子圆周运动的半径为 R由牛顿第二定律,有:qvB=m2得:v= 。(2)由判断可知,从 O 点入射的粒子在离开磁场时的偏向角均为 60所以,出磁场后能垂直进入电场的粒子,从 O 点入射时与 x 轴正向成 30夹角,轨迹如图 2在磁场中 t1= T=16 3在无场区 t2= 1-32在电场中
20、 t3=所以总时间为 t=t1+t2+t3=2+6-336 +(3)画出轨迹,如图 3 所示最右侧:x 1= R30=233最左侧:x 2=-(R-Rtan 30)tan 60=-( -1)R。3图 2图 312.答案 (1) (2) v22002 2333002 233002 22002解析 (1)由题意可知,2R=v 0t0, =qU0,得 。1202 =22002(2)由几何关系得 r1= R33由向心力公式得 qBv1=m121联立解得 v1=2333002由几何关系得 r2= R3由向心力公式得 qBv2=m222联立解得 v2=233002所以 v2333002 233002进入圆筒的粒子在磁场中偏转的角度和时间与圆筒转过的角度和时间都是相等的。即只要粒子能进入就能出去,故有 =2又 T=2联立得 = 。=22002
