1、 1.几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f(x)axb (a、b 为常数，a0)反比例函数模型 f(x) b (k ，b 为常数且 k0)kx二次函数模型f(x)ax 2bxc(a，b，c 为常数，a 0)指数函数模型f(x)ba xc(a，b，c 为常数，b0，a0 且 a1)对数函数模型f(x)blog axc(a，b，c 为常数，b0，a0 且 a1)幂函数模型 f(x)ax nb (a，b 为常数，a0)(2)三种函数模型的性质函数性质ya x(a1) ylog ax(a1) yx n(n0)在(0，)上的增减性单调递增 单调递增 单调递增增长
2、速度 越来越快 越来越慢 相对平稳图像的变化随 x 的增大逐渐表现为与 y 轴平行随 x 的增大逐渐表现为与 x 轴平行随 n 值变化而各有不同值的比较 存在一个 x0，当 xx0 时，有 logax1)的增长速度会超过并远远大于 yx a(a0)的增长速度.( )(5)“指数爆炸”是指数型函数 yab xc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻.( )(6)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题.( )1.(2015北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米)2015 年 5 月 1
3、 日 12 35 0002015 年 5 月 15 日 48 35 600注“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为( )A.6 升 B.8 升 C.10 升 D.12 升答案 B解析 由表知汽车行驶路程为 35 60035 000600 千米，耗油量为 48 升，每 100 千米耗油量 8 升.2.如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y) 与行走时间(x)之间函数关系的图像，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( ) WWW答案 D解析 由图可知，张大爷开始匀速离家直线行走，中间一段离家距离不变，说明在以家为圆心的圆周上运动
4、，最后匀速回家.故选 D.3.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A. B.p q2 p 1q 1 12C. D. 1pq p 1q 1答案 D解析 设年平均增长率为 x，则(1x) 2(1 p)(1q)，x 1.1 p1 q4.一水池有 2 个进水口，1 个出水口，两个进水口的进水速度如图甲、乙所示，出水口的排水速度如图丙所示，某天 0 点到 6 点，该水池的蓄水量如图丁所示.给出以下 3 个论断0 点到 3 点只进水不出水；3 点到 4 点不进水只出水；4 点到 6 点不进水不出水.则一定正确的论断序号是_.答
5、案 解析 从 0 点到 3 点，两个进水口的进水量为 9，故正确；由排水速度知正确；4 点到6 点可以是不进水，不出水，也可以是开一个进水口(速度快的) 、一个排水口，故不正确.5.(2015四川)某食品的保鲜时间 y(单位小时)与储藏温度 x(单位)满足函数关系ye kxb (e2.718为自然对数的底数， k，b 为常数). 若该食品在 0 的保鲜时间是 192小时，在 22 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 的保鲜时间是_小时.答案 24解析 由题意得Error!e 22k ，e 11k ，x33 时，ye 33kb (e 11k)48192 14 123eb 3eb 1922
6、4.(12) 18题型一 用函数图像刻画变化过程例 1 (1)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图像是( )(2)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案.据预测，这四种方案均能在规定的时间 T 内完成预测的运输任务 Q0，各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )答案 (1)C (2)B解析 (1)小明匀速运动时，所得图像为一条直线，且距离学校越来越近，故排除 A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校
7、的距离不变，故排除 D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除 B.故选 C.(2)由运输效率(单位时间的运输量 )逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图像应一直是下凹的，故选 B.思维升华 判断函数图像与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像.(2)验证法当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.已知正方形 ABCD 的边长为 4，动点 P 从 B 点开始沿折线 BCDA 向 A 点运动.设点
8、 P 运动的路程为 x，ABP 的面积为 S，则函数 Sf(x) 的图像是( )答案 D解析 依题意知当 0x4 时，f (x)2x；当 440 时，WxR(x)(16x40) 16x7 360.2 分40 000x所以 WError! 4 分(2)当 040 时，W 16x7 360，40 000x由于 16x2 1 600，40 000x 40 000x 16x当且仅当 16x，40 000x即 x50(40 ，)时，取等号，所以 W 取最大值为 5 760.10 分综合知，当 x32 时，W 取得最大值 6 104 万元.12 分解函数应用题的一般程序第一步(审题) 弄清题意，分清条件和
9、结论，理顺数量关系；第二步(建模) 将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步(解模) 求解数学模型，得到数学结论；第四步(还原) 将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步(反思) 对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.温馨提醒 (1)此类问题的关键是正确理解题意，建立适当的函数模型 .(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.方法与技巧1.认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础.2.实际问题中往往解决一些
10、最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值.3.解函数应用题的五个步骤审题；建模；解模；还原；反思.失误与防范1.函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型.2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域.3.注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.A 组 专项基础训练(时间 45 分钟)1.下表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据，它最可能的函数模型是( )x 4 5 6 7 8 9 10y 15 17 19 21 23 25 27A.一次函数模型 B.幂函数模型C.指数函数
11、模型 D.对数函数模型答案 A解析 根据已知数据可知，自变量每增加 1 函数值增加 2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型.2.某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A.118 元 B.105 元C.106 元 D.108 元答案 D解析 设进货价为 a 元，由题意知 132(110%) a10%a，解得 a108.3.某工厂 6 年来生产某种产品的情况是前 3 年年产量的增长速度越来越快，后 3 年年产量保持不变，则该厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时间 t(年)的函数关系图像正确的是( )答案 A
12、解析 前 3 年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有 A，C 图像符合要求，而后 3 年年产量保持不变，故选 A.4.设函数 f1(x)x，f 2(x)log 2 015x，a i (i1,2，2 015)，记 Ik| fk(a2)f k(a1)i2 015|f k(a3)f k(a2)|f k(a2 015)f k(a2 014)|，k1,2，则( )A.I1I2D.I1 与 I2 的大小关系无法确定答案 A解析 依题意知，f 1(ai1 )f 1(ai)a i1 a i ，i 12 015 i2 015 12 015因此 I1| f1(a2)f 1(a1)|f 1(a3)f 1(
13、a2)|f 1(a2 015)f 1(a2 014)| .2 0142 015因为 f2(ai1 )f 2(ai)log 2 015ai1 log 2 015ailog 2 015 log 2 015 0，所以 I2| f2(a2)i 12 015 i2 015f 2(a1)|f 2(a3)f 2(a2)|f 2(a2 015)f 2(a2 014)| (log2 015 22 015 log2 015 12 015)(log2 015 32 015 log2 015 22 015) (log2 0152 0152 015 log2 0152 0142 015)log 2 015 log 2
14、015 1，因此 I1 21.8， 1lg 910 12lg 3 1n21.12.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分 )备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y 应为( )A.x15，y12 B.x12，y15C.x14 ，y 10 D.x10，y14答案 A解析 由三角形相似得 ，得 x (24y)，24 y24 8 x20 54Sxy (y12) 2180，54当 y12 时，S 有最大值，此时 x15.13.某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍，且知病毒的繁殖规律为 ye kt(其中 k 为常数，t
15、表示时间，单位小时，y 表示病毒个数)，则 k_，经过 5 小时，1 个病毒能繁殖为_个.答案 2ln 2 1 024解析 当 t0.5 时，y 2，2 ，12ekk2ln 2， ye 2tln 2，当 t5 时，y e10ln 22 101 024.14.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价 a，最高销售限价 b(ba)以及实数 x(010 时，WxR(x)(102.7x)98 2.7x.1 0003xWError!(2)当 00，当x210x(9,10时，W10 时，W98 (1 0003x 2.7x)982 38，1 0003x 2.7x当且仅当 2.7x，即 x 时，W38，1 0003x 1009故当 x 时，W 取最大值 38(当 1 000x 取整数时，W 一定小于 38).1009综合知，当 x9 时，W 取最大值，故当年产量为 9 千件时，该公司在这一品牌服装生产中所获年利润最大.
