1、圆锥曲线测试一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1抛物线 y4x 2 的准线方程是( )Ax1 Bx1 Cy Dy116 1162 “10，b0) 的两条渐近线均和圆 C：x 2y 26x50 相切，且双曲线的右焦点x2a2 y2b2为圆 C 的圆心，则该双曲线的方程为 ( ) A. 1 B. 1 C. 1 D. 1x25 y24 x24 y25 x23 y26 x26 y238已知过抛物线 y26x 焦点的弦长为 12，则此弦所在直线的倾斜角是( )A. 或 B. 或 C. 或 D.6 56 4 34 3 23 29过椭圆 1 内的一点 P(2，1)的弦，恰好被 P
2、 点平分，则这条弦所在的直线方程是( )x26 y25A5x3y130 B5x3y130 C5x3y130 D5x3y13010已知点 P 是椭圆 上任意一点，则点 P 到直线 的距离最大值为( )21697A B C D2643611已知直线 yk( x2)( k0) 与抛物线 C：y 28x 相交于 A，B 两点，F 为 C 的焦点，若|FA|2|FB|，则 k( )A. B. C. D.13 23 23 22311已知椭圆 + =1(ab0)上一点 A 关于原点的对称点为点 B,F 为其右焦点.x22y22若 AFBF,设ABF=,且 ,则该椭圆离心率 e 的取值范围为 ( ) 6,4A
3、. B. C. D.22, 31 22,1) 22, 32 33, 63二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13以双曲线 1 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_x24 y21214设 F1，F 2 为曲线 C1： 1 的焦点，P 是曲线 C2： y 21 与 C1 的一个交点，则PF 1F2 的x26 y22 x23面积为_15 已知双曲线 =1 的两条渐近线的夹角为 ，则双曲线的离心率为 2xya316已知 A(4, 0), B(2, 2)为椭圆2159xy内的点，M 是椭圆上的动点，则|MA|+|MB|最小值是 三、解答题(本题共 6 小题，共 70 分，解答时
4、应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线 1(a0，b0)的一个焦点，x2a2 y2b2并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点 P ，求抛物线的方程和双曲线(32，6)的方程18(本小题满分 12 分)已知抛物线方程为 y22x，在 y 轴上截距为 2 的直线 l 与抛物线交于 M，N两点，O 为坐标原点若 OMON，求直线 l 的方程19(本小题满分 12 分)设 A， B 分别为双曲线 1(a0，b0) 的左、右顶点，双曲线的实轴长x2a2 y2b2为 4 ，焦点到渐近线的距离为 .3 3(1)求双曲线的
5、方程；(2)已知直线 y x2 与双曲线的右支交于 M，N 两点，且在双曲线的右支上存在点 D，使33，求 t 的值及点 D 的坐标ONMt20(本小题满分 12 分)已知椭圆 1 及直线 l：y xm .x24 y29 32(1)当直线 l 与该椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围；(2)求直线 l 被此椭圆截得的弦长的最大值21(本小题满分 12 分)已知点 A(0，2)，椭圆 E： 1(ab0)的离心率为 ，F 是椭圆 E 的右焦x2a2 y2b2 32点，直线 AF 的斜率为 ，O 为坐标原点233(1)求 E 的方程；(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当
6、OPQ 的面积最大时，求 l 的方程22(本小题满分 12 分)已知椭圆 1(ab0) 的离心率 e ，过点 A(0，b)和 B(a,0)的直线与原x2a2 y2b2 63点的距离为 .(1)求椭圆的方程32(2)已知定点 E(1,0)，若直线 ykx2( k0)与椭圆交于 C，D 两点，问：是否存在 k 的值，使以 CD 为直径的圆过 E 点？请说明理由17(本小题满分 10 分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线 1(a0，b0)的一个x2a2 y2b2焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点 P ，求抛物线的方程和(32，6)双曲线的方程解：依题意，设抛物
7、线的方程为 y22px(p0) ，点 P 在抛物线上，62p .p2，所求抛物线的方程为 y24x.(32，6) 32双曲线的左焦点在抛物线的准线 x1 上，c1，即 a2b 21.又点 P 在双曲线上， 1，解方程组Error!(32，6) 94a2 6b2得Error!或Error!(舍去)所求双曲线的方程为 4x2 y21.4318(本小题满分 12 分)已知抛物线方程为 y22x，在 y 轴上截距为 2 的直线 l 与抛物线交于 M，N两点，O 为坐标原点若 OMON，求直线 l 的方程解：设直线 l 的方程为 ykx2，由Error!消去 x 得 ky22y 40.直线 l 与抛物线
8、相交，Error! 解得 k 且 k0.14设 M(x1，y 1)， N(x2，y 2)，则 y1y2 ，从而 x1x2 .4k y212y22 4k2OMON，x 1x2y 1y20，即 0，解得 k1 符合题意，4k2 4k直线 l 的方程为 yx2.19(本小题满分 12 分)设 A， B 分别为双曲线 1(a0，b0) 的左、右顶点，双曲线的实轴长x2a2 y2b2为 4 ，焦点到渐近线的距离为 .3 3(1)求双曲线的方程；(2)已知直线 y x2 与双曲线的右支交于 M，N 两点，且在双曲线的右支上存在点 D，使33，求 t 的值及点 D 的坐标ONMt解：(1)由题意知 a2 ，
9、3又一条渐近线为 y x，即 bxay0.ba由焦点到渐近线的距离为 ，得 .b 23，3|bc|b2 a2 3双曲线的方程为 1.x212 y23(2)设 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，D (x0，y 0)，则 x1x 2tx 0，y 1y 2ty 0.将直线方程 y x2 代入双曲线方程 1 得 x2 16 x840，33 x212 y23 3则 x1x 216 ，y 1y 2 (x1x 2)412.333Error!Error!t4，点 D 的坐标为(4 ，3)320(本小题满分 12 分)已知椭圆 1 及直线 l：y xm .x24 y29 32(1)当直线 l 与该椭圆有
10、公共点时，求实数 m 的取值范围；(2)求直线 l 被此椭圆截得的弦长的最大值解：(1)由Error!消去 y，并整理得9x26mx2m 2180.上面方程的判别式 36m 236(2m 218)36( m218)直线 l 与椭圆有公共点， 0，据此可解得3 m3 .2 2故所求实数 m 的取值范围为 3 ，3 2 2(2)设直线 l 与椭圆的交点为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由得：x 1x 2 ，x 1x2 ，6m9 2m2 189故|AB| 1 k2 x1 x22 4x1x21 (32)2( 6m9)2 42m2 189 ，133 m2 18当 m0 时，直线 l 被椭圆截
11、得的弦长的最大值为 .2621(本小题满分 12 分)已知点 A(0，2)，椭圆 E： 1(ab0)的离心率为 ，F 是椭圆 E 的x2a2 y2b2 32右焦点，直线 AF 的斜率为 ，O 为坐标原点233(1)求 E 的方程；(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求 l 的方程解：(1)设 F(c,0)，由条件知， ，得 c .2c 233 3又 ，所以 a2，b 2a 2c 21.ca 32故 E 的方程为 y 21.x24(2)当 lx 轴时不合题意，故设 l：ykx 2，P (x1，y 1)，Q( x2，y 2)将 ykx2 代入 y
12、21 中，得(14k 2)x216kx120.x24当 16(4k 23)0，即 k2 时，34由根与系数的关系得：x 1x 2 ，x 1x2 .16k4k2 1 124k2 1从而|PQ| |x1x 2| .k2 14k2 1 4k2 34k2 1又点 O 到直线 PQ 的距离 d .2k2 1所以OPQ 的面积 SOPQ d|PQ| .12 44k2 34k2 1设 t，则 t0，S OPQ .4k2 34tt2 4 4t 4t因为 t 4，当且仅当 t2，即 k 时等号成立，且满足 0.4t 72所以，当OPQ 的面积最大时， l 的方程为 y x2 或 y x2.72 7222(本小题
13、满分 12 分)已知椭圆 1(ab0) 的离心率 e ，过点 A(0，b)和 B(a,0)的直线x2a2 y2b2 63与原点的距离为 .32(1)求椭圆的方程(2)已知定点 E(1,0)，若直线 ykx2( k0)与椭圆交于 C，D 两点，问：是否存在 k 的值，使以CD 为直径的圆过 E 点？请说明理由解：(1)直线 AB 方程为：bxayab0.依题意Error!解得Error!椭圆方程为 y 21.x23(2)假若存在这样的 k 值，由Error!得(13k 2)x212kx90.(12k) 2 36(13k 2)0.设 C(x1，y 1)，D(x 2，y 2)，则Error!而 y1y2(kx 12)(kx 22)k 2x1x22k(x 1x 2)4.要使以 CD 为直径的圆过点 E(1,0)，当且仅当 CEDE 时，则 1.即 y1y2 (x11)(x 21) 0.y1x1 1 y2x2 1(k 21) x1x2(2 k1)( x1x 2)50.将式代入整理解得 k .76经验证 k 使成立76综上可知，存在 k ，使以 CD 为直径的圆过点 E.76
