[信管网]一个决策树算法案例分析.ppt

1、1,兵者，国之大事也。死生之地，存亡之道，不可不察也。故经之以五事，效之以计，而索其情。一曰道,二曰天，三曰地，四曰将，五曰法。夫未战而庙算胜者，得算多者；未战而庙算不胜者，得算少也。多算胜，少算不胜，而况於无算乎？兵法：一曰度，二曰量，三曰数，四曰称，五曰胜。地生度，度生量，量生数，数生称，称生胜。,2,4.1 决策分析案例背景 匹兹堡开发公司(PDC)已购得一块地用于建造一个高档的沿河综合商业楼，其位置对繁华的匹兹堡和金三角有很好的景观，所谓金三角是指两条小河汇流成俄亥俄(Ohio)河的地段。每一个建筑物单元的价格是30万120万，取决于单元所处楼层，面积以及备选的设施。 公司对这套楼房的

2、设计，已制定三个方案： d1小型楼，有6层，30个单元； d2中型楼，有12层，60个单元； d3大型楼，有18层，90个单元。 决策问题是要从这三个方案中选择其中之一，并提出决策分析的书面报告，包括分析计算书，建议，以及风险提示。,常规（用）决策技术和效用理论,3,为了进行决策分析，必须做好以下两项工作： (1)市场调研，综合楼被市场接受的程度如何?亦即市场的需求如何? 对此问题，公司管理者通过调研认为，只有两种市场接受状态，称为决策者无法控制的自然 状态： S1高的市场接受程度，对楼房有显著需求； S2低的市场接受程度，对楼房需求有限。 (2)要根据工程设计与造价核算以及销售价格计算出不同

3、方案，不同自然状态时，楼房的盈 亏(益损)表。对该问题，经计算得到如下益损矩阵Vij：,4,其中i表示方案，j表示状态。比如：V32=-900万，表示大型楼方案 d3在低 的市场接受S2时，楼房不能正常销售，估计可能带来亏损900万。 4.2 常用决策分析方法按照问题面临的自然状态出现的概率无法知道，抑或可以通过调研统计得到，常用决策方法划分为不确定性决策方法与风险决策方法。一、不确定性决策方法(自然状态出现的概率不知道) 其常用方法有：1大中取大法或乐观法对各方案先从不同状态的Vij中取一最大值者，得： 最大值小型楼d1800万中型楼d21400万大型楼d32000万MaxMax再从不同方案

4、的最大值中取一最大值，为2000万，所对应的方案大型楼方案d3为决策的最佳方案。,5,2 小中取大法或保守法 对各方案，先从不同状态的Vij中取一最小值者，得：最小值d1700MaxMind2500d3-900 再从不同方案的最小值中取一最大值，如700万，所对应的方案小型楼方案d1为决策的最佳方案。 3等概率法 该方法认为，不同自然状态出现的概率彼此相等。在等概率原则下，则可分别先将各不同方案的所有自然状态的益损值求和，得： d1800+700=1500万 d21400+500=1900万Max d32000-900=1100万 再从各方案的合计和值中取一最大值，如1900万，所对应方案d2

5、的最佳方案。 ,6,4 最小后悔值原则的方法 该方法相似于保守方法，取悲观态度。首先从益损矩阵中求后悔值，即机会损失值Rij： Rij= V*j-Vij (j=1,2,n) (i=1,2,m) 式中V*j对状态Sj而言的最佳决策的益损值； Vij状态Sj、方案di相应的益损值。 由此，可得后悔值Rij矩阵为：,再分别对各方案，从不同自然状态的后悔值中取一最大者，得到：最大的后悔值d1 1200万d2 600万Mind3 1600万 然后从各方案的最大后悔值中选取一最小者，为600万，则它对应的方案d2为最佳方案。,7,二、风险决策方法(自然状态出现的概率已知)既然各种可能的自然状态出现的概率已

6、经通过调研获得，则可以以此求各方案的期望益损值。令n自然状态数目；P(Sj)自然状态Sj的概率。 则有P(Sj)0，(j=1,2,n)；各方案dj的益损期望值为：益损期望值为最大者对应的方案，可选为最佳方案。 对本问题而言，若已知：P(S1)=0.8,P(S2)=0.2，则 有： EV(d1)=0.8800+0.2700=780万EV(d2)=0.81400+0.2500=1220万EV(d3)=0.82000+0.2(-900)=1420万 可见，方案d3建大楼为最佳方案。,8,为了较形象直观地作出决策，也可应用决策树方式进行分析，决策树由结点和树枝构成： 决策结点用表示，由它生出方案枝；各

7、方案枝分别生出状态结点，用表示，由状态结点引出各种状态分枝，分枝末梢绘上相应的益损值。对本问题有：,3,1,4,2,0.8 0.2,0.8 0.2,0.8 0.2,800,700,1400,500,2000,-900,780,1220,1420,d2,d3,d1,首先计算出各个状态结点的期望值，从中选取一个最大期望值，往回找对应的方案，为最佳方案，如上图，点最大 ，选d3方案为最佳方案。,9,4.4 灵敏度分析 灵敏度分析是将自然状态出现的概率加以改变，来考察这一改变对决策方案选取将带来什么样的影响。比如：高的接受程度S1的概率降到0.2，低的接受S2的概率升为0.8，即P(S1)=0.2,P

8、(S2)=0.8，则有：EV(d1)=0.2800+0.8700=720万 EV(d2)=0.21400+0.8500=680万 EV(d1)=0.22000+0.8(-900)=-320万 可见，小楼方案d1为最佳，大楼方案为最差的。如果问题只涉及两种自然状态，则可以按以下方式求出各方案的临界的自然状态概率：设自然状态S1的概率P(S1)=P，则自然状态S2的概率P(S2)=1-P。按本问题的益损矩阵，可算得： EV(d1)=P800+(1-P)700=100P+700 EV(d2)=900P+500 EV(d3)=2900P-900,10,(1)当EV(d1)=EV(d2)时，即100P+

9、700=900P+500可解得P=200/800=0.25 (2)当EV(d2)=EV(d3)时，可解得P=0.7 按此，用不同P值(P=01.0)可绘出下图： 从图可见，当高的市场 接受状态的概率P0.7时，方案d3最佳。,0.2 0.4 0.6 0.8 1.0,2000150010005000-500-1000,d1可得最大EV的P区间,d2可得最大EV的P区间,d3可得最大EV的P区间,EV(d3),EV(d2),EV(d1),11,4.5 贝叶斯决策方法 前述两种自然状态出现的概率P(S1)=0.8，P(S2)=0.2，只是一种比较粗糙地调研而获得的自然状态的概率分布，也即是一种所谓先

10、验概率。如果我们能够再深挖一些新信息，用以修正先验概率，最终获得一种所谓后验概率，用来进行决策，则决策的效果更好、更科学。 一般讲，补充信息是可以通过对自然状态样本信息设计的实验方法来取得，包括原始资料的采样、产品检验、市场调研等等。比如：通过天气预报的验证信息，来修正天气状态的先验概率；通过产品检验的正确与否的信息，来修正产品的正、废品先验概率。对PDC问题来讲，可以通过市场调查，调查有多少比率的人有兴趣买楼，记为I1，有多少比率的人没有兴趣买楼，记为I2，则可以获得四个条件概率，记为：P(I1S1)，P(I2S1)，P(I1S2),P(I2S2)，它们也叫做似然函数。对PDC问题，经过调查

11、，获得了下表的似然函数。 ,12,这个似然函数的意义是：在真正高接受者中核查为有兴趣(即支持建楼)买楼的概率为0.9，而不支持的为0.1；在真正低接受者中，核查为不支持的概率为0.75，反而支持的为0.25。这些补充信息是在明确了高、低接受者的条件下，进一步调查核实的信息，由此统计出的条件概率。 有了先验概率和似然函数，可以运用贝叶斯全概率公式，计算出后验概率P(SI):I=1,2,n, k=1,2,m 按以上数据，可算得其后验概率为：有兴趣(支持)买楼者I1的有关概率计算表 ,没有兴趣(支持)买楼者I2的有关概率计算表,13,根据上列概率计算表，可以画出如下决策树：,1,2,3,9,8,7,

12、6,5,4,高接受S1,P(S1|I1)=0.935 低接受S2,P(S2|I1)=0.065,高接受S1,P(S1|I1)=0.935 低接受S2,P(S2|I1)=0.065,高接受S1,P(S1|I1)=0.935 低接受S2,P(S2|I1)=0.065,高接受S1,P(S1|I2)=0.348 低接受S2,P(S2|I2)=0.652,高接受S1,P(S1|I2)=0.348 低接受S2,P(S2|I2)=0.652,高接受S1,P(S1|I2)=0.348 低接受S2,P(S2|I2)=0.652,8 百万 7 14 5 20 -9,8 7 14 5 20 -9,小型d1中型d2大

13、型d3,小型d1中型d2大型d3,支持的，I1 P(I1)=0.77,支持的，I2 P(I2)=0.77,14,可算出： 状态结点的EV=0.9358+0.0657=7.935状态结点的EV=13.416状态结点的EV=18.118被选状态结点的EV=0.3488+0.6527=7.348状态结点的EV=8.130被选状态结点的EV=1.086 故在决策结点上，应选d3方案；在决策结点上，应选d2方案。结论是：当市场报告是支持建楼，I1时，应建大型楼；当市场报告是不支持，I2时，应 建中型楼。,2,3,15,4.5 效用与风险分析(Utility and Risk Analysis) 以前所述

14、的决策分析方法是按照最好的货币期望值选择方案，但在决策分析中除了要考虑方案的货币益损因素以外，还要考虑风险程度，包括决策人对待风险的态度这一主观偏好因素。因而，往往单从货币益损期望值选择的方案，不一定是最佳方案。本节将介绍决策分析中的期望效用。所谓效用是一种特定结果的总价值的相对尺度，它反映决策者面对诸如利润、损失和风险等因素集合的态度。一般在一些技术较复杂、投资费用较大，开发周期较长的项目中，往往存在许多不确定因素。如前所述如果可以给出这些不确定因素的概率分布，最常用的决策方法是采用益损期望值、其方差和效用函数来进行分析。案例：某公司有一投资项目，有3个投资方案A、B、C，这三个方案的经济收

15、益取决于今后两年的经济状态，经济状态估计为三种及其概率为：好(0.3)；中(0.5)；差(0.2)。现估算出如下表的收益值：,16,各方案的收益期望值Vi，其均方差i和方差系数i可按下列公式计算：,式中方差系数，又称风险系数，因为均方差是收益风险的一种测度。按上表的数据，可算得各方案的有关结果为： VA=1450, A=350, A=0.2414 VB=1280, B=223, B=0.1742 VC=1580, C=382, C=0.2418从这些结果看，三个方案中没有一个占绝对优势，即没有一个方案既有较大的收益期望值，同时又有较小的均方差和方差系数。因此，无法确定最佳方案，需要进一步分析。

16、为此，可根据效用理论来权衡。效用函数U(x)是一种相对度量尺度，0U(x)1，或者0U(x)10，其中x对本问题而言是收益期望值。效用函数U(x)值的确定方法较多，其中常用的一种方法是标准博奕法 ，即针对具体决策问题及其收益数据，由决策分析者向决策人一一提问(或决策人自问自答)，由决策人一一回答其偏好，或者表明某两个事件之间是否无差异。为此，首先要从数据中选出一最大收益Vmax，设定其效用函数U(Vmax)=10，选出最小收益值Vmin，令U(Vmin)=0。,17,对本例而言，U(2000)=10,U(800)=0；然后，由决策者的偏好，一一确定其余7个收益值V的效用值(0U10)。例如，取

17、其中次大的 V13=1800 来确定其效用U(1800)：首先我们设想有一个彩票，其收益为：2000P+800(1-P) 式中P为中彩的概率(0P1),若P接近1，可中彩约2000；P接近0，则中彩约800。我们设定一个P值，就可算出中彩收益。然后问决策人，对设定的P值，你是偏好获取有保障的1800万元，抑或偏好中彩，或两者之间有无差异?当回答是两者无差异时，则可算出U(1800)之值为：U(1800) =PU(2000)+(1-P)U(800)=P10+(1-P)0 比如现设P=0.95,按上式得中彩收益为：20000.95+8000.05=1940 若决策人回答：此中彩收益1940万元与可

18、靠的期望收益1800无差异，则得U(1800)=0.9510+0.050=9.5如此，可以一一获得U(1600)=8.0，U(1500)=7.4，U(1200)=5.5, ,18,U(1000)=3.5,U(900)=2.0,U(800)=0,U(2000)=10。将这些数据，在坐标为V与U(V)的图上，可绘成效用函数曲线如下。,800 1200 1600 2000,10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0,凹形,凸形,直线形,v,效用函数曲线按决策者对待风险的态度可分为三种基本的： (1)凸形曲线(保守型)，如本例所得上列曲线，即效用值U(x)随x递减比率而增大的。 (2)凹形曲线(冒险

19、型)，即效用值U(x)随x递增比率而增大的。 (3)直线(中性型)，即效用值U(x)与x成固定比例变化，如图。如果调换另一位决策人，若他偏好冒险，则对上述问题的数据，可以确定出一根凹形效用曲线。,x,U(x),U(V),1.0,19,按上保守型决策人来讲，A、B、C三个方案的期望效用值可计算于下：EUA=0.39.5+0.57.4+0.20=6.55 EUB=0.38.0+0.55.5+0.23.5=5.85 EUC=0.310+0.58.0+0.22.0=7.40 可见，C方案期望效用最大，可选它为最佳方案；最差方案为B方案。 4.6 多阶段决策的决策树问题较复杂，要进行一序列决策时,采用多

20、阶段决策.。 引例：某市为利用当地资源，提出了三个建厂可行方案：(1)。新建大厂。投资500万元。估计销路好，获利200万元/年;不好，亏50万元/年(2). 新建小厂。投资100万元。估计销路好，获利50万元/年；不好 ，获利10万元/年。以上两方案，经营期皆为10年。（3）. 先建小厂，三年后若销路好再扩建，追加投资400万元，经营7年，每年估计获利250万元。,20,从市场调研获知，产品销路好的概率为0.7，不好为0.3。,1,5,4,2,1,3,建大厂,建小厂,750万-500万,980万-100万,销路好，0.7 销路不好，0.3,销路好0.7,销路不好0.3,扩建,不扩建,1350

21、万-400万,1.0,1.0,前3年 第一次决策,后7年 第二次决策,200万元/年 -50250 5010,状态点 ：250万*7年-400万=1350万， 点：50万*7年=350万元 状态点 ：销路好时（前3年小厂，好7年扩建）：50万*3年+1350万=1500万 销路不好时（维持小厂10年）：10万*10=100万所以： EV2=(1350+150)*0.7+100*0,3-100万=980万 故选择先建小厂，若销路好再扩建，风险较小，总投资不变，效益较好。,3,2,4,21,实例：企业产品开发与促销,1,4,3,2,本企业不开发,本企业开发 研制费7万,竞争企业也 开发，0。6,竞争企业不 开发，0.4,本企业促销大规模,中规模,小规模,本企业促销大规模中规模小规模,竞争企业推销大行动0.5中行动0.4小行动0.1,大行动0.2中行动0.6小行动0.2,大行动0.1 中行动0.2 小行动0.7,4万 6 12 3 5 11 2 4 10 20 16 12 0,抉择：本企业开发产品，小规模促销较好。,