1、高数第 1 页 共 7 页高等数学(同济五版下册)期末考试试题一、填空题：（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量 、 满足 ， ， ，则 ab02aba2、设 ，则 ln()zxy32zx3、曲面 在点 处的切平面方程为 29(1,4)4、设 是周期为 的周期函数，它在 上的表达式为 ，则 的傅里叶级数()fx,)()fx()fx在 处收敛于 ，在 处收敛于 x5、设 为连接 与 两点的直线段，则 L(1,0), ()Lxyds二、解下列各题：（本题共 5 小题，每小题 7 分，满分 35 分）1、求曲线 在点 处的切线及法平面方程2239x
2、yzz0M(1,2)2、求由曲面 及 所围成的立体体积2zxy26zxy3、判定级数 是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？1()lnn高数第 2 页 共 7 页4、设 ，其中 具有二阶连续偏导数，求 (,)sinxzfyf 2,zxy5、计算曲面积分 其中 是球面 被平面 截出的顶部,dSz22xyza(0)zha三、（本题满分 9 分） 抛物面 被平面 截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小2zxy1xyz值 高数第 3 页 共 7 页四、（本题满分 10 分）计算曲线积分 ，(sin)(cos)xxLeymdeyd其中 为常数， 为由点 至原点 的上半圆周 m,0
3、Aa,0O2(0)xya五、（本题满分 10 分）求幂级数 的收敛域及和函数13nx高数第 4 页 共 7 页六、（本题满分 10 分）计算曲面积分 ，3322(1)Ixdyzxzdxy其中 为曲面 的上侧1(0)z七、（本题满分 6 分）设 为连续函数， ， ，其中 是由曲面()fx(0)fa22()()tFzfxyzdv t与 所围成的闭区域，求 2zy22ztxy30(limtF高数第 5 页 共 7 页参考解答与评分标准一、填空题【每小题 4 分，共 20 分】1、 ； 2、 ；3、 ； 4、3，0； 5、 .41y21xyz2二、试解下列各题【每小题 7 分，共 35 分】1、解：方
4、程两边对 求导，得 ， 从而 ， 【4】x323dyzxx54dyx7z该曲线在 处的切向量为 【5】,2571(,)(8,0).4T故所求的切线方程为 【6】1280xyz法平面方程为 即 【7】170812xyz、解： ，该立体 在 面上的投影区域26zxy2xO为 【2】2:xyD故所求的体积为 【7】Vdv226220 0(63)6dzd、解：由 ，知级数 发散【3】 11limlin()limn()nnu1nu又 , .故所给级数收敛且条件收敛 【7】11|l()l()|n nuli|li()0n、解： ， 【3】1212()0zfyyfx高数第 6 页 共 7 页【72112212
5、()()zxxfyfffxyyy1223.xfyffy】、解： 的方程为 ， 在 面上的投影区域22zaxyxOy为 2(,)| xyDxyh又 ，【】21z故 【7】222 20xy ahDdSaddz 2201ln()lnahaa三、 【9 分】解：设 为该椭圆上的任一点，则点 到原点的距离为 【1】(,)MzM22dxyz令 ，222(,)()(1)Lxyzxyxz则由 ，解得 ， 于是得到两个可能极值点201yzxyxz 32xyz【7】1 2313(,3),(,23).2MM又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得故 【9】max2min1
6、|95,|5.dOdO四、 【10 分】 解：记 与直线段 所围成的闭区域为 ，则由格林公式，得LAD【5】22(sin)(cos)8xxLOAIeydeydma 而 【8】1 0iaxxmx【10】221(sin)(cos).8xxLeydeydI高数第 7 页 共 7 页五、 【10 分】解： ，收敛区间为 【2】113limli 3nnaR(3,)又当 时，级数成为 ，发散；当 时，级数成为 ，收敛【4】3x1nx1n故该幂级数的收敛域为 【5】3,令 （ ） ，则1nxs, ( ) 【8】11 1()()33/nnxx |3x于是 ， （ ）.【10】000()()llnxxds 3x六、 【10 分】解：取 为 的下侧，记 与 所围成的空间闭区域为 ，则由高斯公式，12(1)zxy1有 . 【5】133 22 6Ixdyzdxxyzdv A.【7】221006而 . 【9】21 133 12333xyIxdyzxzdxyzdd . 【10】2.七、 【6 分】解： . 【2】2 2400sincostFtdrfrd324 400002sincoit trf . 【4】208ttfd高数第 8 页 共 7 页故 【6】32 2300 0()2limli lim().33tt ttfF fa 答案仅供参考希望同学们取的好成绩
