1、第 1 页 共 4 页椭圆测试题一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1、离心率为 32，长轴长为 6 的椭圆的标准方程是（ ）（A） （B） 或195xy2195xy219xy（C） （D ） 或2360360362、动点 P到两个定点 （- 4，0） 、 （4，0）的距离之和为 8，则 P点的轨迹为（ ） 1F2A.椭圆 B.线段 C.直线 D.不能确定212F3、已知椭圆的标准方程 ，则椭圆的焦点坐标为（ ）yxA. B. C. D.(10,)(0,1)(0,3)(3,0)4、已知椭圆 上一点 P 到椭圆的一焦点的距离为 3，则 P 到另一焦点的距离是（ 25
2、9）A. B.2 C.3 D.635、如果 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围为（ ）21xyaA. B. C. D.任意实数 R(,)2,(,1)(2,)6、关于曲线的对称性的论述正确的是（ ） A.方程 的曲线关于 X 轴对称 20xyB.方程 的曲线关于 Y 轴对称3C.方程 的曲线关于原点对称21D.方程 的曲线关于原点对称87、方程 （ab0,k0 且 k1)与方程 （a b0)表示的椭圆（ ）.2xyk 21xyA.有相同的离心率 B.有共同的焦点 C.有等长的短轴.长轴 D.有相同的顶点.8、已知椭圆2:1()C 的离心率为 32，过右焦点 F且斜率为 (0)k
3、的直线与 C相交于 AB、 两点若 3FB，则 k( )（A）1 （B） 2 （C） （D）29、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A. B. C. D. 54555110、若点 O和点 F分别为椭圆2143xy的中心和左焦点，点 P为椭圆上的任意一点，则 OPFA的最大值为( )A2 B3 C6 D8第 2 页 共 4 页11、椭圆 210xyab 的右焦点为 F，其右准线与 x轴的交点为 A在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F，则椭圆离心率的取值范围是( )（A） （0， 2 （B） （0， 12 （C） 21，1） （D） 12
4、，1）12 若直线 yxb与曲线 34yx有公共点，则 b 的取值范围是( )A.1, B. ,3C.-1, D. ,3二、填空题：（本大题共 5 小题，共 20 分.）13 若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 14 椭圆 上一点 P 与椭圆两焦点 F1, F2的连线的夹角为直角，则 RtPF 1F2的面积为 .2149xy15 已知 F是椭圆 C的一个焦点， B是短轴的一个端点，线段 B的延长线交 C于点 D， 且，则 的离心率为 .DB16 已知椭圆2:1xcy的两焦点为 12,点 0(,)Pxy满足201xy,则| 1P|+ 2|的取值范围为 三、解答题
5、：(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（10 分）已知点 M 在椭圆 上，M 垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为 ，并且 M 为2159xy 线段 的中点，求 点的轨迹方程.P18.(12 分) 椭圆 的焦点分别是 和 ，已知椭圆的离心率 过中心 作直21(045)45xym1F2 53eO线与椭圆交于 A，B 两点， 为原点，若 的面积是 20，求：（1） 的值（2）直线 AB 的方程O2ABm第 3 页 共 4 页19（12 分）设 1F， 2分别为椭圆2:1xyCab(0)的左、右焦点，过 2F的直线 l与椭圆 C 相交于 A,B两点，直线 l的
6、倾斜角为 60， 1F到直线 l的距离为 23.（）求椭圆 的焦距；（）如果 2FB,求椭圆 的方程.20（12 分）设椭圆 C：21(0)xyab的左焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 60o, AFB.(I) 求椭圆 C 的离心率；(II) 如果|AB|= 154，求椭圆 C 的方程.第 4 页 共 4 页21（12 分）在平面直角坐标系 xOy中，点 B与点 A（-1,1）关于原点 O对称，P 是动点，且直线 AP与 BP的斜率之积等于 13.()求动点 P的轨迹方程；()设直线 AP和 BP分别与直线 x=3交于点 M,N，问：是否存在点
7、 P使得PAB 与PMN 的面积相等？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由。22 （12 分）已知椭圆21xyab（ab0）的离心率 e= 32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4.（）求椭圆的方程；（）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B，已知点 A 的坐标为（-a，0）.（i）若 42AB5|=，求直线 l 的倾斜角；（ii）若点 Q y0（ ， ） 在线段 AB 的垂直平分线上，且 ， 求 y0的值.4QB第 5 页 共 4 页椭圆参考答案1.选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B B C C B C A B B C D D8【命题
8、意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线 l 为椭圆的有准线， e 为离心率，过 A，B 分别作 AA1，BB 1垂直于 l，A 1，B 为垂足，过B 作 BE 垂直于 AA1与 E，由第二定义得， ，由 ，得，即 k= ，故选 B.910【解析】由题意，F（-1，0） ，设点 P 0(,)xy，则有20143xy,解得22003(1)4xy，因为 0(1,)Pxy， 0,O，所以 200()OF= 0O23()4x= 03，此二次函数对应的抛物线的对称轴为 02x，因为02x，所以当 0时， PF取得最大值2364，选 C。【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的
9、数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。第 6 页 共 4 页11 解析：由题意，椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的垂直平分线过点 F，即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等而|FA|22abc|PF|ac ,ac 于是2bac,ac即 acc 2b 2ac c 2 22a12ca或又 e(0,1)故 e 2答案：D12（2010 湖北文数）9.若直线 yxb与曲线 234yx有公共点，则 b 的取值范围是A.12, B.12,3C.-1, D. ,3二、填空题：（本大题共 4 小题，共 16 分.）13 若一个椭圆长轴
10、的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 14 椭圆 上一点 P 与椭圆两焦点 F1, F2的连线的夹角为直角，则 RtPF 1F2的面积为 .2149xy15 （2010 全国卷 1文数）(16) 已知 是椭圆 C的一个焦点， B是短轴的一个端点，线段 B的延长线交第 7 页 共 4 页C于点 D， 且 BF2ur，则 C的离心率为 .3【命题意图 】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数” ，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.【解析 1】如图， 2|BFbca,作 Dy轴于点 D1
11、,则由ur，得1|23O,所以 13|2OFc,即 2Dcx,由椭圆的第二定义得223|()aceca又由 |BF,得23,a【解析 2】设椭圆方程为第一标准形式21xyab，设 2,Dxy，F 分 BD所成的比为 2，22 303 0;1 2cc cc bx bx ，代入294ba， e16（2010 湖北文数）15.已知椭圆2:1xcy的两焦点为 12,F,点 0(,)Pxy满足201xy,则|1PF|+ 2|的取值范围为_。【答案】 ,0【解析】依题意知，点 P 在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得，当 P 在原点处时 12max(|) PF，当 P 在椭圆顶点处时，取到 12max(|
12、)F为(21)() =2，故范围为 ,.因为 0(,)y在椭圆21xy的内部，则直线xOyBF1D第 8 页 共 4 页0012xy上的点（x, y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为 0 个.二.填空题：13 14 24 15 3 16 2,035三.解答题：17.解：设 点的坐标为 ， 点的坐标为 ，由题意可知p(,)pxym0(,)xy 因为点 在椭圆 上，所以有00022yxy 2159 ， 把代入得 ，所以 P点的轨迹是焦点在 轴上，标准方程为0159x21536xyy的椭圆.236y18.解：（1）由已知 ， ，得 ，53cea435c所以 220mb（2）根据题意
13、 ，设 ，则 ， ，所212ABFBSA(,)xy1212FBSyA120Fc以 ，把 代入椭圆的方程 ，得 ，所以 点的坐标为 ，所以直4y21450334或线 AB 的方程为 3yx或19（2010 辽宁文数） （20） （本小题满分 12分） 设 1F， 2分别为椭圆2:1yCab(0)的左、右焦点，过 2F的直线 l与椭圆 C 相交于 A,B两点，直线 l的倾斜角为 60， 1F到直线 l的距离为 23.（）求椭圆 的焦距；（）如果 2AFB,求椭圆 的方程.解：（）设焦距为 c，由已知可得 1F到直线 l 的距离 32,.c故第 9 页 共 4 页所以椭圆 C的焦距为 4.（）设 1
14、212(,)(,)0,AxyBy由 题 意 知 直线 l的方程为 3(2).yx联立 222423()3.abbab得解得22123()(), .3ayyb因为 212,.AFB所 以即 223()().3baba得 2.4,5.而 所 以故椭圆 C的方程为 1.9xy20（2010 辽宁理数）(20)（本小题满分 12 分）设椭圆 C：2(0)xyab的左焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线l 的倾斜角为 60o, AFB.(III) 求椭圆 C 的离心率；(IV) 如果|AB|= 154，求椭圆 C 的方程.解：设 12(,)(,)AxyB，由题意知 1y0，
15、 20.（）直线 l 的方程为 3()xc，其中 2ab.联立 23(),1yxcab得 2224()30aby解得22123()3(),ccayb因为 AFB，所以 12y.第 10 页 共 4 页即 223()3()bcabca得离心率 e. 6 分（）因为 213ABy，所以24315ab.由 23ca得 5ba.所以 54，得 a=3， .椭圆 C 的方程为219xy. 12 分21（2010 北京理数） （19） （本小题共 14分）在平面直角坐标系 xOy中，点 B与点 A（-1,1）关于原点 O对称，P 是动点，且直线 AP与 BP的斜率之积等于 13.()求动点 P的轨迹方程；
16、()设直线 AP和 BP分别与直线 x=3交于点 M,N，问：是否存在点 P使得PAB 与PMN 的面积相等？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由。（I）解：因为点 B 与 A (1,)关于原点 O对称，所以点 B得坐标为 (1,).设点 的坐标为 xy由题意得 13化简得 24(1)xyx.故动点 P的轨迹方程为 24(1)yx（II）解法一：设点 的坐标为 0,)，点 M， N得坐标分别为 (3,)My, N.则直线 A的方程为 01(1yx，直线 BP的方程为 01(x令 3x得 043Mxy， 023N.于是 PNA得面积第 11 页 共 4 页2002|(3)1|(3)21P
17、MNNxyxSyA又直线 B的方程为 x， |AB，点 到直线 的距离 0|2yd.于是 PA的面积01|BSxyA当 PAMN时，得2002|(3)| 1x又 0|xy，所以 2(3)= 0|1|x，解得 05|3x。因为 204y，所以 09y故存在点 P使得 AB与 PMN的面积相等，此时点 P的坐标为 53(,)9.解法二：若存在点 使得 与 A的面积相等，设点 的坐标为 0,xy则 11|sin|sin22MNA .因为 siPBN,所以 |M所以 00|1|3|xx即 20()|，解得 053因为 2034xy，所以 09y故存在点 PS 使得 AB与 PMN的面积相等，此时点 P
18、的坐标为 53(,)9.22（2010 天津文数） （21） （本小题满分 14 分）第 12 页 共 4 页已知椭圆21xyab（ab0）的离心率 e= 32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4.（）求椭圆的方程；（）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B，已知点 A 的坐标为（-a，0）.（i）若 42AB5|=，求直线 l 的倾斜角；（ii）若点 Q y0（ ， ） 在线段 AB 的垂直平分线上，且 QB=4A.求 y0的值.【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合
19、的思想，考查综合分析与运算能力.满分 14分. （）解：由 e= 32ca，得 24ac.再由 22ab，解得 a=2b.由题意可知 1b，即 ab=2.解方程组 ,2a得 a=2，b=1. 所以椭圆的方程为 214xy.()(i)解：由（）可知点 A的坐标是（-2,0）.设点 B的坐标为 1(,)xy，直线 l的斜率为 k.则直线 l的方程为 y=k（x+2）.于是 A、B 两点的坐标满足方程组 2(),1.4ykx消去 y并整理，得222(14)6(1)0kxk.由 12，得2184x.从而 124ky.所以222| 4kkABk.由 42|5，得2145k.整理得 423930k，即 22(1)3)0k，解得 k= 1.第 13 页 共 4 页所以直线 l的倾斜角为 4或 3.（ii）解：设线段 AB的中点为 M，由（i）得到 M的坐标为228,14k.以下分两种情况：（1）当 k=0时，点 B的坐标是（2,0） ，线段 AB的垂直平分线为 y轴，于是002,2,.QAyy由 4QA，得 y20。（2）当 k时，线段 AB 的垂直平分线方程为22184kkx。令 0x，解得 02614ky。由 2,QA， 10,Bxy， 21010 2228646411kkxy42654k，整理得 27k。故 17。所以 02145y。综上， 0y或 0245y
