1、概率论和数理统计 试卷（A）一、填空题（本大题共有 5 小题，每题 3 分，满分 15 分）(1) 设 A、B 互不相容，且 P(A)0，P(B)0，则必有 (A) (B) 0)(P)(APB(C) (D) (2) 某人花钱买了 三种不同的奖券各一张.已知各种奖券中奖是相互独立的,中奖CBA、的概率分别为 如果只要有一种奖券中奖此人就,02.)(,1.0)(3)( pPp一定赚钱,则此人赚钱的概率约为 (A) 0.05 (B) 0.06 (C) 0.07 (D) 0.08(3) ，则 ),4(2NX),5(2Y 5,421 YPpXPp(A) 对任意实数 (B) 对任意实数21 21,p(C)
2、 只对 的个别值，才有 (D) 对任意实数 ，都有21 (4) 设随机变量 的密度函数为 ，且 是 的分布函数，X)(xf),(xffFX则对任意实数 成立的是a(A) (B) adfF0)(1)( adxf0)(21)(C) (D) (5) 二维随机变量(X,Y) 服从二维正态分布，则 X+Y 与 X-Y 不相关的充要条件为 (A) (B) EYX 222EYXE(C) (D) 2 二、填 空 题 (本大题 5 小题, 每小题 4 分, 共 20 分) (1) , , ,则 .4.0)(AP3.)B.0)(BAP_(AP(2) 设随机变量 有密度 ,则使X其 它01,4)(3xxf )()(
3、aXP的常数 = a(3) 设随机变量 ，若 ,则 ),2(N3.04XP0(4) 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 均服从 ，如果随机变量 X-aY+2 满足条件 )51,(N，则 =_.)2()2(aEaYXDa(5) 已知 ,且 , , 则 =_.pnB8.4(Dn三、解答题 （共 65 分）1. (10 分) 某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为 5%,4%,2%,求：(1)全厂产品的次品率(2) 若任取一件产品发现是次品,此次品是甲车间生产的概率是多少？2. (10 分) 设二维随机变量(X,Y)的联
4、合概率密度为 ， 其 它040,2),6(),( yxykyxf求：(1) 常数 (2) )4(YXP第 3 页 共 13 页3. (10 分) 设 X 与 Y 两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为.,0;1)(其 它xxf .0,;)(yeyfY求:随机变量 的概率密度函数 . Z4. (8 分) 设随机变量 具有概率密度函数X其 他 ，,0;48)(xxf求：随机变量 的概率密度函数.1XeY5. (8 分) 设随机变量 的概率密度为：X，xexfx21(求: 的分布函数 X6. (9 分) 假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周 5 个工作日
5、里无故障，可获利润 10 万元；发生一次故障可获利润 5 万元；发生二次故障所获利润 0 元；发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元，求一周内期望利润是多少？7. (10 分) 设 ，且相互独立 ，)1,0(),(NYX 1,1YXVU求：(1) 分别求 U,V 的概率密度函数；(2) U,V 的相关系数 ；概率论和数理统计试卷（A）UV概率论和数理统计试卷（A） 参考答案一、选 择 题（53 分）1.C 2.B 3.A 4.B 5.B二、填 空 题（5 4 分）1、0.1 2、 3、0.35 4、3 5、2041三、 计 算 题（65 分）1、解：A 为事件“生产的产品是次品 ”，B 1
6、为事件“产品是甲厂生产的” ，B 2 为事件“产品是乙厂生产的” ，B 3 为事件 “产品是丙厂生产的” ，易见 -的 一 个 划 分是 321,-2 分(1) 由全概率公式，得-5 分.0345%2435%2)()()(3131 iiiii BAPAP(2) 由 Bayes 公式有：-10690345.)()(3111i iiBPAB分2、解：(1) 由于 ，所以 ，可得 -1),(dxyf 1)6(402dyxkd241k5 分(2) -98)2(4)6(41002 xdx10 分3、解：由卷积公式得 ，又因为 X 与 Y 相互独立，所以dzfzfZ),()(-3 分dxxfzfYXZ)(
7、第 5 页 共 13 页当 时， -50z ;0)()(dxzfxzfYXZ分当 时， -1 ;1)()( 0)(zzxYXZ edezfzf 7 分当 时，z );()()( 10)(xff zxzYXZ所以 -;1)()()( zedzfxzf zYXZ10 分4、解： 的分布函数1XeY).(yFY-2 )1ln()l()() yXX dxfPyPF分-6.1,1;0)(ln6,42yey分于是 的概率密度函数 -8Y.,0;1)(8ln)( 4其 他 eyyFdyfYY分5、 解： xdtfF)()(当 -txte21,03 分当 -8txtt edxF21)(, 00分6、解：由条件
8、知 ，即 - )2.0,5(BX 5,10,8.2055kkXP3 分-63,2;01,5;)(XgY分- )(216.507.241.05328.10)()(50 万 元XPXPkgEYk9 分7、解：（1）因为 ，且相互独立，所以),(),(NYX都服从正态分布，1,VYU1)( EE-32DYXD分所以 ，所以 )2,1(NU421)(uUef同理 EYXYEV2)1(DD所以 ，所以 -)2,1N4uVef5 分（2） )12()1)( 2XYEYXEUV12()22 EXD-81分所以 -0DVUEV10 分第 7 页 共 13 页概率论和数理统计试卷（B）注：本试卷参考数据8413
9、.0)(5398.0)1(6915.0)(261.z 620.t 8231.0t一、填空题（每空 3 分，共 18 分）1. 事件 A 发生的概率为 0.3，事件 B 发生的概率为 0.6，事件 A，B 至少有一个发生的概率为 0.9，则事件 A，B 同时发生的概率为_2. 设随机向量（X ， Y）取数组（0，0） ， （-1，1） ， （-1 ，2） ， （1，0）的概率分别为取其余数组的概率均为 0，则 c=_,451,2c3. 设随机变量 X 在（1，6）上服从均匀分布，则关于 y 的方程 无实根的概2Xy率为_.4. 若 ， ，且 X 与 Y 相互独立，则 服从_),0(N),0(YY
10、Z5. 设总体 的概率密度为 ， 为来自总体X其 他,0,1)1(; xxf nX,2X 的一个样本，则待估参数 的最大似然估计量为_.）（ -6. 当 已知，正态总体均值 的置信度为 的置信区间为（样本容量为 n）2_二、选择题（每题 3 分，共 18 分）1. 对任意事件 与 ，下列成立的是-（ AB）（A） （B）)0(),|(PP )()(BPAP（C） （D ）,|()A(2. 设随机变量 X 且期望和方差分别为 ，则-（ )pnB 48.0),4.2)(XE）(A) (B) 3.0,8pn 4.0,6pn(C) （D） 4 833. 设随机变量 X 的分布函数为 FX（x） ，则
11、的分布函数 FY（y ）为-( ) 24Y(A) (B) 1()2XFy1(2)X(C) （D）4 4y4. 若随机变量 X 和 Y 的相关系数 ，则下列错误的是-（ 0XY）(A) 必相互独立 (B) 必有, )()(YEX(C) 必不相关 （D） 必有Y)()(YDXD5. 总体 ， 为来自总体 X 的一个样本， 分别为样本均值和1,0Nn,2 2,S样本方差，则下列不正确的是-（ ）(A) (B) ),0(nX )1(ntS(C) （D ） )(21nii ),0(NX6. 设随机变量 相互独立,具有同一分布, ，)1(kX ,kE,2K,1k则当 n 很大时， 的近似分布是- （ 1n
12、k）(A) (B) 2(0,)N 2(0,)N(C) (D) /n /n第 9 页 共 13 页三、解答题（共 64 分）1. （本题 10 分）设一批混合麦种中一、二、三等品分别占 20%、70%、10% ，三个等级的发芽率依次为 0.9，0.7，0.3，求这批麦种的发芽率。若取一粒能发芽，它是二等品的概率是多少？2. （本题 10 分）设随机变量 X 具有概率密度 0,)(3xKexf(1) 试确定常数 ；K(2) 求 的概率分布函数 F（x） ；X(3) 求 .1P3. （本题 10 分）随机变量 的分布律如下表XX 0 1 2 3pk 48求 )(),(),14(),2DEXE4.（本
13、题 10 分）设二维随机变量（X ， Y）的概率密度为其 他,00,)(21),()(yxeyxyf求 X 和 Y 的边缘概率密度并判断 X 和 Y 是否独立？5. （本题 8 分）某种灯管寿命 X（以小时计）服从正态分布 未知，),(2NX，现随机取 100 只这种灯管，以 记这一样本的均值，求均值 与 的偏差小102于 1 的概率.6. （本题 10 分）设 未知. 为来自总体 X 的一个样本，求0),(bUXnX,21b 的矩估计量.今测得一个样本值 0.5，0.6，0.1，1.3，0.9，1.6，0.7，0.9，1.0，求 b 的矩估计值.7. （本题 6 分）自某种铜溶液测得 9 个
14、铜含量的百分比的观察值 . 算得样本均值为 8.3 ，标准差为 0.025 .设样本来自正态总体 均未知.试依据这一样本取显著2,),(NX性水平 检验假设 .0148,2.:0H 概率论和数理统计试卷（B） 参考答案一、填空题（每空 3 分，共 18 分）1. 02. 3第 11 页 共 13 页3. 1/54. )2,0(N5. niix1l6. )(2/znX二、选择题（每题 3 分，共 18 分）16 C D D A B A三、解答题（共 64 分）1. 解： ,能 发 芽B1234i等 品取 的 是 第 iAi易见 -2 分的 一 个 划 分是 4321,A1.0)(7.)(.0)(
15、 3PP，-5 分3.)|,9| 21 ABB，由全概率公式，得-87.01.70.9.0)|()(41 i iiPAP分-10 分.704.)(|)|(22 B2. (1) 由于 ，-1 分1dxf即 13|)3(3)( 03003 KexdKeKef xx得 .-4 分3K于是 的概率密度X；-5 分0,)(3xexf(2) -8 分xxedfF0,1)()(3(3) = . -10 分1XP)(F33. 87240)( E9415312)( 222XDE647985)(X-104716)4(分4. -4 分0,2)(xexfX-8 分,1)(yyfY显然 ，故 X 和 Y 不相互独立-10),()xffxYX分5. -1|P682.0)(2/nn-7 分6. -1 分其 他 ，,00)(1)(bxbf, -5 分2)(1xE91iiXA由 ，可得 -8 分1b-10 分689.79xb第 13 页 共 13 页7. 要检验假设 .428,.:0H这是个左边检验问题，其拒绝域为 -3 分,8965.2)(/01. tnsxt现在 -5 分,8965.24.1/0nsxt所以在显著性水平 下拒绝 ，即认为含铜量的百分比小于 8.42.-7 分.0H
