1、长沙理工大学模拟试卷第七套概率论与数理统计试卷姓名: 班级: 学号: 得分: 一判断题（10 分，每题 2 分）1. 在古典概型的随机试验中， 0)(AP当且仅当 A是不可能事件 ( )2连续型随机变量的密度函数 xf与其分布函数 xF相互唯一确定 ( )3若随机变量 X与 Y独立，且都服从 1.p的 (0，1) 分布，则 YX( ) 4设 为离散型随机变量, 且存在正数 k 使得 0kP，则 的数学期望 )(E未必存在( )5在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少 ( ) 二选择题（15 分，每题 3 分）1. 设每次试验成功的概率为
2、)10(p，重复进行试验直到第 n次才取得 )1(nr次成功的概率为 . (a) rnpC； (b) rnrnpC)(；(c) 11r； (d) .2. 离散型随机变量 X的分布函数为 )(xF，则 )(kxXP . () )1kkxP； () (11F； () 1； () kk.3. 设随机变量 服从指数分布，则随机变量 )203,maY的分布函数 . () 是连续函数； () 恰好有一个间断点； () 是阶梯函数； () 至少有两个间断点.4. 设随机变量 ,YX的方差 ,1)(,4)YDX相关系数 ,6.0XY则方差 )23(D . () 40； () 34； () 25.6； () 1
3、7.6 5. 设 ,1n 为总体 2,1N的一个样本， 为样本均值，则下列结论中正确的是 . () )(/2tX； () )1,()(412nFXnii；() 1,0n； () 1ii.二. 填空题（28 分，每题 4 分）1. 一批电子元件共有 100 个, 次品率为 0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为 2. 设连续随机变量的密度函数为 )(xf，则随机变量 XeY3的概率密度函数为 )(yfY 3. 设 X为总体 )4,3(N中抽取的样本( 4321,X)的均值, 则51P . 4. 设二维随机变量 ,Y的联合密度函数为 他其,0;,)(xyxf则条件密
4、度函数为,当 时 , )(fXY 5. 设 )(mtX,则随机变量 2服从的分布为 ( 需写出自由度 )6. 设某种保险丝熔化时间 ,N（单位：秒） ，取 16n的样本，得样本均值和方差分别为 36.015S，则 的置信度为 95%的单侧置信区间上限为 7. 设 X的分布律为1 2 3P2 )( 2)1(已知一个样本值 ,),(3x，则参数的极大似然估计值为 三. 计算题（40 分，每题 8 分） 1. 已知一批产品中 96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是 0.02；一次品被误认为是合格品的概率是 0.05求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率2设随机变量
5、X与 Y相互独立， X， Y分别服从参数为 )(,的指数分布，试求 Z23的密度函数 )(zfZ. 3某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为 1 的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52 周）售出该商品件数在 50 件到 70 件之间的概率. 4. 总体 ),(2NX， ),(21nX 为总体 的一个样本. 求常数 k , 使 nii为 的无偏估计量. 5 （1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力 ),(2NX（单位：kg）. 已知 8kg， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取 10 个样品，测得样本均值 2
6、.57xkg. 问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是 570 kg ？ （ %）（2） 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布 )048.,(2. 某日抽取5 个样品，测得其纤度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 . 问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用 1作假设检验. 四.证明题（7 分）设随机变量 ZYX,相互独立且服从同一贝努利分布 ),1(pB. 试证明随机变量 与 相互独立.附表： 标准正态分布数值表 2分布数值表 t 分布数值表6103.)28.(48.9)(05. 135.2)(025.975712. 7.t.05. 9.6025. )()(29.
7、 4)(.t长沙理工大学模拟试卷第七套概率论与数理统计试卷答案一. 判断题（10 分，每题 2 分） 是 非 非 非 是 . 二. 选择题（15 分，每题 3 分） （） （） （） （） （）. 三. 填空题（28 分，每题 4 分）1.1/22 ； 2. 00)/ln()(1yfyfY； 3.0.9772 ； 4. 当 10x时他其2/xxfX；5. ),(mF 6. 上限为 15.263 . 7. 5 / 6 .四. 计算题（40 分，每题 8 分）1. A 被查后认为是合格品的事件， B 抽查的产品为合格品的事件. (2 分)9428.05.4098)()()( APBP， (4 分)
8、.2./40./(2 分)2. 其 他0)(xexfX其 他0)(yeyfY(1 分)z时， zFZ，从而 )(zfZ； (1 分)时， dxxfYX2/3)(21(2 分)(2/3/3/0/)( zzzxz ee (2 分)所以0,0),(23)( 2/3/ zzf zzZ 0,0),(32)( 3/2/ zezf zzZ (2 分)3. 设 iX为第 i 周的销售量, 5,1i iX)1(P (1 分)则一年的销售量为 521iiY， 2)(YE, 52D. (2 分) 由独立同分布的中心极限定理，所求概率为118525)705( P(4 分)604.3.09.)8.0(.(. (1 分)
9、4. 注意到 5. (1) 要检验的假设为 570:,570:10H (1 分)检验用的统计量 ),(/NnXU， 拒绝域为 96.)(025.2zz . (2 分)16.10/857.0 ，落在拒绝域内，故拒绝原假设 H，即不能认为平均折断力为 570 kg . 96.32.0./920 U, 落在拒绝域外，故接受原假设 0，即可以认为平均折断力为 571 kg . (1 分)(2) 要检验的假设为 22122 048:,48.: H(1 分) 0 79.79H 检验用的统计量 )()(220512 nXii， 拒绝域为 48.9)(5.n 或710(2.021(2 分)4.1x 9.x .73.0/3620, 落在拒绝域内，nii XnXnX )(12 2(, 2分Eii 分Ndzez1| zez210 3分k令）分（ 2)(2nk 71.086.241.0/538.20 ,落在拒绝域内， 故拒绝原假设 H，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . (1 分)五、证明题 (7 分) 由题设知X0 1 YX 0 1 2P pq P 2q p (2 分)()(),(3ZZY； 2； 010,1Y；)()( XpqX ；2,22ZPZYP ；)3 . 所以 与 相互独立. (5 分)
