“高等数学（一）”考试大纲.doc

1、1浙江省 2010 年普通高校“专升本”联考科目考试大纲：高等数学（一） 考试大纲总 要 求考 生 应 按 本 大 纲 的 要 求 ， 了 解 或 理 解 “高 等 数 学 ”中 函 数 、 极 限 和 连 续 、 一元 函 数 微 分 学 、 一 元 函 数 积 分 学 、 向 量 代 数 与 空 间 解 析 几 何 、 多 元 函 数 微 积 分 学 、 无穷 级 数 、 常 微 分 方 程 的 基 本 概 念 与 基 本 理 论 ； 学 会 、 掌 握 或 熟 练 掌 握 上 述 各 部 分 的基 本 方 法 。 应 注 意 各 部 分 知 识 的 结 构 及 知 识 的 内 在 联 系

2、 ； 应 具 有 一 定 的 抽 象 思 维 能 力 、逻 辑 推 理 能 力 、 运 算 能 力 、 空 间 想 象 能 力 ； 有 运 用 基 本 概 念 、 基 本 理 论 和 基 本 方 法 正确 地 推 理 证 明 ， 准 确 地 计 算 ； 能 综 合 运 用 所 学 知 识 分 析 并 解 决 简 单 的 实 际 问 题 。本 大 纲 对 内 容 的 要 求 由 低 到 高 ， 对 概 念 和 理 论 分 为 “了 解 ”和 “理 解 ”两 个层 次 ； 对 方 法 和 运 算 分 为 “会 ”、 “掌 握 ”和 “熟 练 掌 握 ”三 个 层 次 。内 容一 、 函 数 、 极

3、 限 和 连 续（ 一 ） 函 数1. 知 识 范 围（ 1） 函 数 的 概 念 ： 函 数 的 定 义 函 数 的 表 示 法 分 段 函 数（ 2） 函 数 的 简 单 性 质 ： 单 调 性 奇 偶 性 有 界 性 周 期 性（ 3） 反 函 数 ： 反 函 数 的 定 义 反 函 数 的 图 象（ 4） 函 数 的 四 则 运 算 与 复 合 运 算（ 5） 基 本 初 等 函 数 ： 幂 函 数 指 数 函 数 对 数 函 数 三 角 函 数 反 三 角 函 数（ 6） 初 等 函 数2. 要 求（ 1） 理 解 函 数 的 概 念 ， 会 求 函 数 的 定 义 域 、 表 达

4、式 及 函 数 值 。 会 求 分 段 函 数 的定 义 域 、 函 数 值 ， 并 会 作 出 简 单 的 分 段 函 数 图 像 。（ 2） 理 解 和 掌 握 函 数 的 单 调 性 、 奇 偶 性 、 有 界 性 和 周 期 性 ， 会 判 断 所 给 函 数 的类 别 。（ 3） 了 解 函 数 y=（ x） 与 其 反 函 数 y=-1（ x） 之 间 的 关 系 （ 定 义 域 、 值 域 、图 象 ） ， 会 求 单 调 函 数 的 反 函 数 。（ 4） 理 解 和 掌 握 函 数 的 四 则 运 算 与 复 合 运 算 ， 熟 练 掌 握 复 合 函 数 的 复 合 过 程

5、 。（ 5） 掌 握 基 本 初 等 函 数 的 简 单 性 质 及 其 图 象 。（ 6） 了 解 初 等 函 数 的 概 念 。（ 7） 会 建 立 简 单 实 际 问 题 的 函 数 关 系 式 。（ 二 ） 极 限1. 知 识 范 围（ 1） 数 列 极 限 的 概 念 ： 数 列 数 列 极 限 的 定 义2（ 2） 数 列 极 限 的 性 质 ： 唯 一 性 有 界 性 四 则 运 算 定 理 夹 逼 定 理 单 调有 界 数 列 极 限 存 在 定 理（ 3） 函 数 极 限 的 概 念函 数 在 一 点 处 极 限 的 定 义 左 、 右 极 限 及 其 与 极 限 的 关 系

6、 x 趋 于 无 穷（ x ， x + ， x - ） 时 函 数 的 极 限 函 数 极 限 的 几 何 意 义（ 4） 函 数 极 限 的 定 理 ： 唯 一 性 定 理 夹 逼 定 理 四 则 运 算 定 理（ 5） 无 穷 小 量 和 无 穷 大 量无 穷 小 量 与 无 穷 大 量 的 定 义 无 穷 小 量 与 无 穷 大 量 的 关 系 无 穷 小 量 与 无 穷大 量 的 性 质 两 个 无 穷 小 量 阶 的 比 较（ 6） 两 个 重 要 极 限sinx 1lim =1 lim（ 1+ ） x = e x 0 x x x2. 要 求（ 1） 理 解 极 限 的 概 念 （

7、对 极 限 定 义 中 “ - N”、 “ - ”、 “ - M”的 描 述不 作 要 求 ） ， 能 根 据 极 限 概 念 分 析 函 数 的 变 化 趋 势 。 会 求 函 数 在 一 点 处 的 左 极 限 与 右极 限 ， 了 解 函 数 在 一 点 处 极 限 存 在 的 充 分 必 要 条 件 。（ 2） 了 解 极 限 的 有 关 性 质 ， 掌 握 极 限 的 四 则 运 算 法 则 。（ 3） 理 解 无 穷 小 量 、 无 穷 大 量 的 概 念 ， 掌 握 无 穷 小 量 的 性 质 、 无 穷 小 量 与 无 穷大 量 的 关 系 。 会 进 行 无 穷 小 量 阶

8、的 比 较 （ 高 阶 、 低 阶 、 同 阶 和 等 阶 ） 。 会 运 用 等 价无 穷 小 量 代 换 求 极 限 。（ 4） 熟 练 掌 握 用 两 个 重 要 极 限 求 极 限 的 方 法 。（ 三 ） 连 续1. 知 识 范 围（ 1） 函 数 连 续 的 概 念函 数 在 一 点 连 续 的 定 义 左 连 续 和 右 连 续 函 数 在 一 点 连 续 的 充 分 必 要 条 件 函 数 的 间 断 点 及 其 分 类（ 2） 函 数 在 一 点 处 连 续 的 性 质连 续 函 数 的 四 则 运 算 复 合 函 数 的 连 续 性 反 函 数 的 连 续 性（ 3） 闭

9、区 间 上 连 续 函 数 的 性 质有 界 性 定 理 最 大 值 和 最 小 值 定 理 介 值 定 理 （ 包 括 零 点 定 理 ）（ 4） 初 等 函 数 的 连 续 性2. 要 求（ 1） 理 解 函 数 在 一 点 连 续 与 间 断 的 概 念 ， 掌 握 判 断 简 单 函 数 （ 含 分 段 函 数 ） 在一 点 的 连 续 性 ， 理 解 函 数 在 一 点 连 续 与 极 限 存 在 的 关 系 。（ 2） 会 求 函 数 的 间 断 点 及 确 定 其 类 型 。（ 3） 掌 握 在 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 ， 会 运 用 介 值 定 理 推 证

10、一 些 简 单 命 题 。（ 4） 理 解 初 等 函 数 在 其 定 义 区 间 上 连 续 ， 并 会 利 用 连 续 性 求 极 限 。二 、 一 元 函 数 微 分 学3（ 一 ） 导 数 与 微 分1. 知 识 范 围（ 1） 导 数 概 念导 数 的 定 义 左 导 数 与 右 导 数 导 数 的 几 何 意 义 可 导 与 连 续 的 关 系（ 2） 求 导 法 则 与 导 数 的 基 本 公 式导 数 的 四 则 运 算 反 函 数 的 导 数 导 数 的 基 本 公 式（ 3） 求 导 方 法复 合 函 数 的 求 导 法 隐 函 数 的 求 导 法 对 数 求 导 法 由

11、参 数 方 程 确 定 的 函 数的 求 导 法 求 分 段 函 数 的 导 数（ 4） 高 阶 导 数 的 概 念 ： 高 阶 导 数 的 定 义 高 阶 导 数 的 计 算（ 5） 微 分 ： 微 分 的 定 义 微 分 与 导 数 的 关 系 微 分 法 则 一 阶 微 分 形 式 不变 性2. 要 求（ 1） 理 解 导 数 的 概 念 及 其 几 何 意 义 ， 了 解 可 导 性 与 连 续 性 的 关 系 ， 会 用 定 义 求函 数 在 一 点 处 的 导 数 。（ 2） 会 求 曲 线 上 一 点 处 的 切 线 方 程 与 法 线 方 程 。（ 3） 熟 练 掌 握 导 数

12、 的 基 本 公 式 、 四 则 运 算 法 则 以 及 复 合 函 数 的 求 导 方 法 ， 会 求反 函 数 的 导 数 。（ 4） 掌 握 隐 函 数 的 求 导 法 、 对 数 求 导 法 以 及 由 参 数 方 程 所 确 定 的 函 数 的 求 导 方法 ， 会 求 分 段 函 数 的 导 数 。（ 5） 理 解 高 阶 导 数 的 概 念 ， 会 求 简 单 函 数 的 n 阶 导 数 。（ 6） 理 解 函 数 的 微 分 概 念 ， 掌 握 微 分 法 则 ， 了 解 可 微 与 可 导 的 关 系 ， 会 求 函 数的 一 阶 微 分 。（ 二 ） 中 值 定 理 及 导

13、 数 的 应 用1. 知 识 范 围（ 1） 中 值 定 理 ： 罗 尔 （ Rolle） 中 值 定 理 拉 格 朗 日 （ Lagrange） 中 值 定 理（ 2） 洛 必 达 （ LHospital） 法 则（ 3） 函 数 增 减 性 的 判 定 法（ 4） 函 数 极 值 与 极 值 点 最 大 值 与 最 小 值（ 5） 曲 线 的 凹 凸 性 、 拐 点（ 6） 曲 线 的 斜 渐 近 线 与 垂 直 渐 近 线2. 要 求（ 1） 了 解 罗 尔 中 值 定 理 、 拉 格 朗 日 中 值 定 理 及 它 们 的 几 何 意 义 。 会 用 罗 尔 中 值定 理 证 明 方

14、程 根 的 存 在 性 。 会 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 证 明 简 单 的 不 等 式 。（ 2） 熟 练 掌 握 洛 必 达 法 则 求 “0/0”、 “ / ”、 “0 ”、 “ - ”、 “1 ”、“00”和 “ 0”型 未 定 式 的 极 限 方 法 。（ 3） 掌 握 利 用 导 数 判 定 函 数 的 单 调 性 及 求 函 数 的 单 调 增 、 减 区 间 的 方 法 ， 会 利用 函 数 的 增 减 性 证 明 简 单 的 不 等 式 。（ 4） 理 解 函 数 极 值 的 概 念 ， 掌 握 求 函 数 的 极 值 和 最 大 （ 小 ） 值 的 方 法 ， 并

15、 且 会4解 简 单 的 应 用 问 题 。（ 5） 会 判 定 曲 线 的 凹 凸 性 ， 会 求 曲 线 的 拐 点 。（ 6） 会 求 曲 线 的 斜 渐 近 线 与 垂 直 渐 近 线 。（ 7） 会 作 出 简 单 函 数 的 图 形 。三 、 一 元 函 数 积 分 学（ 一 ） 不 定 积 分1. 知 识 范 围（ 1） 不 定 积 分 的 概 念 ： 原 函 数 与 不 定 积 分 的 定 义 原 函 数 存 在 定 理 不 定积 分 的 性 质（ 2） 基 本 积 分 公 式（ 3） 换 元 积 分 法 ： 第 一 换 元 法 （ 凑 微 分 法 ） 第 二 换 元 法（ 4

16、） 分 部 积 分 法（ 5） 一 些 简 单 有 理 函 数 的 积 分2. 要 求（ 1） 理 解 原 函 数 与 不 定 积 分 概 念 及 其 关 系 ， 掌 握 不 定 积 分 性 质 ， 了 解 原 函 数 存在 定 理 。（ 2） 熟 练 掌 握 不 定 积 分 的 基 本 公 式 。（ 3） 熟 练 掌 握 不 定 积 分 第 一 换 元 法 ， 掌 握 第 二 换 元 法 （ 限 于 三 角 代 换 与 简 单 的根 式 代 换 ） 。（ 4） 熟 练 掌 握 不 定 积 分 的 分 部 积 分 法 。（ 5） 会 求 简 单 有 理 函 数 的 不 定 积 分 。（ 二 ）

17、 定 积 分1. 知 识 范 围（ 1） 定 积 分 的 概 念 ： 定 积 分 的 定 义 及 其 几 何 意 义 （ 2） 定 积 分 的 性 质（ 3） 定 积 分 的 计 算变 上 限 的 定 积 分 牛 顿 一 莱 布 尼 茨 （ Newton - Leibniz） 公 式 换 元 积 分 法 分 部 积 分 法（ 4） 无 穷 区 间 的 广 义 积 分（ 5） 定 积 分 的 应 用 ： 平 面 图 形 的 面 积 旋 转 体 的 体 积 物 体 沿 直 线 运 动 时 变力 所 作 的 功2. 要 求（ 1） 理 解 定 积 分 的 概 念 与 几 何 意 义 。（ 2） 掌

18、握 定 积 分 的 基 本 性 质 。（ 3） 理 解 变 上 限 的 定 积 分 是 变 上 限 的 函 数 ， 掌 握 对 变 上 限 定 积 分 求 导 数 的 方 法 。（ 4） 掌 握 牛 顿 莱 布 尼 茨 公 式 。（ 5） 掌 握 定 积 分 的 换 元 积 分 法 与 分 部 积 分 法 。（ 6） 理 解 无 穷 区 间 广 义 积 分 的 概 念 ， 掌 握 其 计 算 方 法 。5（ 7） 掌 握 直 角 坐 标 系 下 用 定 积 分 计 算 平 面 图 形 的 面 积 以 及 平 面 图 形 绕 坐 标 轴 旋转 所 生 成 的 旋 转 体 体 积 。会 用 定 积

19、 分 求 沿 直 线 运 动 时 变 力 所 作 的 功 。四 、 向 量 代 数 与 空 间 解 析 几 何（ 一 ） 向 量 代 数1. 知 识 范 围（ 1） 向 量 的 概 念 ： 向 量 的 定 义 向 量 的 模 单 位 向 量 向 量 在 坐 标 轴 上 的投 影 向 量 的 坐 标 表 示 法 向 量 的 方 向 余 弦（ 2） 向 量 的 线 性 运 算 ： 向 量 的 加 法 向 量 的 减 法 向 量 的 数 乘（ 3） 向 量 的 数 量 积 二 向 量 的 夹 角 二 向 量 垂 直 的 充 分 必 要 条 件（ 4） 二 向 量 的 向 量 积 二 向 量 平 行

20、的 充 分 必 要 条 件2. 要 求（ 1） 理 解 向 量 的 概 念 ， 掌 握 向 量 的 坐 标 表 示 法 ， 会 求 单 位 向 量 、 方 向 余 弦 、 向量 在 坐 标 轴 上 的 投 影 。（ 2） 掌 握 向 量 的 线 性 运 算 、 向 量 的 数 量 积 与 向 量 积 的 计 算 方 法 。（ 3） 掌 握 二 向 量 平 行 、 垂 直 的 条 件 。（ 二 ） 平 面 与 直 线1. 知 识 范 围（ 1） 常 见 的 平 面 方 程 ： 点 法 式 方 程 一 般 式 方 程（ 2） 两 平 面 平 行 的 条 件 两 平 面 垂 直 的 条 件 点 到

21、平 面 的 距 离（ 3） 空 间 直 线 方 程 ： 标 准 式 方 程 （ 又 称 对 称 式 方 程 或 点 向 方 程 ） 一 般 式方 程 参 数 式 方 程（ 4） 两 直 线 平 行 的 条 件 两 直 线 垂 直 的 条 件 直 线 在 平 面 上 的 条 件2. 要 求（ 1） 会 求 平 面 的 点 法 式 方 程 、 一 般 式 方 程 。 会 判 定 两 平 面 的 垂 直 、 平 行 。（ 2） 会 求 点 到 平 面 的 距 离 。（ 3） 了 解 直 线 的 一 般 式 方 程 ， 会 求 直 线 的 标 准 式 方 程 、 参 数 式 方 程 。 会 判 定 两

22、直 线 平 行 、 垂 直 。（ 4） 会 判 定 直 线 与 平 面 间 的 关 系 （ 垂 直 、 平 行 、 直 线 在 平 面 上 ） 。（ 三 ） 简 单 的 二 次 曲 面1. 知 识 范 围 ： 球 面 母 线 平 行 于 坐 标 轴 的 柱 面 旋 转 抛 物 面 圆 锥 面 椭球 面2. 要 求了 解 球 面 、 母 线 平 行 于 坐 标 轴 的 柱 面 、 旋 转 抛 物 面 、 圆 锥 面 和 椭 球 面 的 方 程及 其 图 形 。五 、 多 元 函 数 微 积 分（ 一 ） 多 元 函 数 微 分 学1. 知 识 范 围（ 1） 多 元 函 数 ： 多 元 函 数

23、的 定 义 二 元 函 数 的 定 义 域 二 元 函 数 的 几 何 意 义 6二 元 函 数 极 限 与 连 续 的 概 念（ 2） 偏 导 数 与 全 微 分 ： 偏 导 数 全 微 分 二 阶 偏 导 数（ 3） 复 合 函 数 的 偏 导 数（ 4） 隐 函 数 的 偏 导 数（ 5） 二 元 函 数 的 无 条 件 极 值2. 要 求（ 1） 了 解 多 元 函 数 的 概 念 、 二 元 函 数 的 几 何 意 义 及 二 元 函 数 的 极 值 与 连 续 概 念（ 对 计 算 不 作 要 求 ） 。 会 求 二 元 函 数 的 定 义 域 。（ 2） 理 解 偏 导 数 概

24、念 ， 了 解 全 微 分 概 念 ， 知 道 全 微 分 存 在 的 必 要 条 件 与 充 分 条件 。（ 3） 掌 握 二 元 函 数 的 一 、 二 阶 偏 导 数 计 算 方 法 。（ 4） 掌 握 复 合 函 数 一 阶 偏 导 数 的 求 法 。（ 5） 会 求 二 元 函 数 的 全 微 分 。（ 6） 掌 握 由 方 程 F（ x， y， z） =0 所 确 定 的 隐 函 数 z=z（ x， y） 的 一 阶 偏 导数 的 计 算 方 法 。（ 7） 会 求 二 元 函 数 的 无 条 件 极 值 。（ 二 ） 二 重 积 分1. 知 识 范 围（ 1） 二 重 积 分 的

25、 概 念 ： 二 重 积 分 的 定 义 二 重 积 分 的 几 何 意 义（ 2） 二 重 积 分 的 性 质（ 3） 二 重 积 分 的 计 算（ 4） 二 重 积 分 的 应 用2. 要 求（ 1） 理 解 二 重 积 分 的 概 念 及 其 性 质 。（ 2） 掌 握 二 重 积 分 在 直 角 坐 标 系 及 极 坐 标 系 下 的 计 算 方 法 。（ 3） 会 用 二 重 积 分 解 决 简 单 的 应 用 问 题 （ 限 于 空 间 封 闭 曲 面 所 围 成 的 有 界 区 域的 体 积 、 平 面 薄 板 质 量 ） 。六 、 无 穷 级 数（ 一 ） 数 项 级 数1.

26、知 识 范 围 （ 1） 数 项 级 数 ： 数 项 级 数 的 概 念 级 数 的 收 敛 与 发 散 级 数 的 基 本 性 质 级 数 收 敛 的 必 要 条 件（ 2） 正 项 级 数 敛 散 性 的 判 别 法 ： 比 较 判 别 法 比 值 判 别 法（ 3） 任 意 项 级 数 ： 交 错 级 数 绝 对 收 敛 条 件 收 敛 莱 布 尼 茨 判 别 法2. 要 求（ 1） 理 解 级 数 收 敛 、 发 散 的 概 念 。 掌 握 级 数 收 敛 的 必 要 条 件 ， 了 解 级 数 的 基 本性 质 。（ 2） 掌 握 正 项 级 数 的 比 值 数 别 法 。 会 用

27、正 项 级 数 的 比 较 判 别 法 。 1 17（ 3） 掌 握 几 何 级 数 rn、 调 和 级 数 与 p 级 数 的 敛 散 法 。n=0 n=1 n n=1 np（ 4） 了 解 级 数 绝 对 收 敛 与 条 件 收 敛 的 概 念 ， 会 使 用 莱 布 尼 茨 判 别 法 。（ 二 ） 幂 级 数1. 知 识 范 围（ 1） 幂 级 数 的 概 念 ： 收 敛 半 径 收 敛 区 间（ 2） 幂 级 数 的 基 本 性 质（ 3） 将 简 单 的 初 等 函 数 展 开 为 幂 级 数2. 要 求（ 1） 了 解 幂 级 数 的 概 念 。（ 2） 了 解 幂 级 数 在

28、其 收 敛 区 间 内 的 基 本 性 质 （ 和 、 差 、 逐 项 求 导 与 逐 项 积 分 ） 。（ 3） 掌 握 求 幂 级 数 的 收 敛 半 径 、 收 敛 区 间 （ 不 要 求 讨 论 端 点 ） 的 方 法 。（ 4） 会 运 用 ex， sinx， cosx， ln（ 1+x） ， 1/（ 1-x） 的 麦 克 劳 林（ Maclaurin） 级 数 ， 将 一 些 简 单 的 初 等 函 数 展 开 为 x 或 x-x0 的 幂 级 数 。七 、 常 微 分 方 程（ 一 ） 一 阶 微 分 方 程1. 知 识 范 围（ 1） 微 分 方 程 的 概 念 ： 微 分 方

29、 程 的 定 义 阶 解 通 解 初 始 条 件 特 解（ 2） 可 分 离 变 量 的 方 程（ 3） 一 阶 线 性 方 程2. 要 求（ 1） 理 解 微 分 方 程 的 定 义 ， 理 解 微 分 方 程 的 阶 、 解 、 通 解 、 初 始 条 件 和 特 解 。（ 2） 掌 握 可 分 离 变 量 方 程 的 解 法 。（ 3） 掌 握 一 阶 线 性 方 程 的 解 法 。（ 二 ） 可 降 价 方 程1. 知 识 范 围（ 1） y（ n） = （ x） 型 方 程 （ 2） y = （ x， y ） 型 方 程2. 要 求（ 1） 会 用 降 价 法 解 （ 1） y（ n

30、） = （ x） 型 方 程（ 2） 会 用 降 价 法 解 y = （ x， y ） 型 方 程（ 三 ） 二 阶 线 性 微 分 方 程1. 知 识 范 围（ 1） 二 阶 线 性 微 分 方 程 解 的 结 构（ 2） 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程（ 3） 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程2. 要 求（ 1） 了 解 二 阶 线 性 微 分 方 程 解 的 结 构 。（ 2） 掌 握 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 解 法 。8（ 3） 掌 握 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 解 法 （ 自

31、由 项 限 定 为 （ x）=Pn（ x） eax， 其 中 Pn（ x） 为 x 的 n 次 多 项 式 。 为 实 常 数 ； （ x）=eax（ Acos x + Bsin x） ， 其 中 、 、 A、 B 为 实 常 数 ） 。试 卷 结 构试 卷 总 分 ： 150 分考 试 时 间 ： 150 分 钟试 卷 内 容 比 例 ：函 数 、 极 限 和 连 续 约 20%一 元 函 数 微 分 学 约 25%一 元 函 数 积 分 学 约 25%多 元 函 数 微 积 分 （ 含 向 量 代 数 与 空 间 解 析 几 何 ） 约 15%无 穷 级 数 、 常 微 分 方 程 约 15%试 卷 题 型 比 例 ：选 择 题 约 15%填 空 题 约 25%计 算 题 约 40%综 合 题 约 20%试 题 难 易 比 例 ：容 易 题 约 40%中 等 难 度 题 约 50%较 难 题 约 10%主 要 参 考 书 ： 高 等 数 学 (上 、 下 册 ， 多 学 时 版 )第 四 版 ， 同 济 大 学 编 ， 高 教 出 版 社 。