2009年高考数学试题分类汇编——不等式.doc

1、 2009 年高考数学试题分类汇编不等式一、选择题1.（2009 安徽卷理）下列选项中，p 是 q 的必要不充分条件的是 （A）p: b+d , q: b 且 cd aca（B）p:a1,b1 q: 的图像不过第二象限 ()(01)xfa， 且（C）p: x=1, q: 2（D）p:a1, q: 在 上为增函数 log， 且 (0,)解析：由 b 且 cd b+d，而由 b+d b 且 cd，可举反例。选 Aca2.(2009 山东卷理)设 x，y 满足约束条件 ， 0,263yx若目标函数 z=ax+by（a0，b0）的值是最大值为 12，则 的最小值为( ). 23abA. B. C. D

2、. 465831x 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分 ,当直线 ax+by= z（a0，b0）过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点（4,6）时,目标函数 z=ax+by（a0，b0）取得最大 12,即 4a+6b=12,即 2a+3b=6, 而 = ,故选 A.23ab2311325()()66abab答案:A【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知 2a+3b=6,求的最小值常

3、用乘积进而用基本不等式解答. . 23ab3.（2009 安徽卷理）若不等式组 所表示的平面区域被直线 分为面034xy 43ykx积相等的两部分，则 的值是 k（A） （B） （C） （D） 737334解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABC由 得 A（1，1），又 B（0，4），C（0， ）4xy ABC = ，设 与 的S()23ykx34y交点为 D，则由 知 ，2BCDS 1D52D 选 A。 5147,k4.（2009 安徽卷文）不等式组 所表示的平面区域的面积等于A. B. C. D. 【解析】由 可得 ，故 阴 = ，选 C。340xy(1,)CS1423cABx【答

4、案】C5.（2009 安徽卷文）“ ”是“ 且 ”的 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【解析】易得 时必有 .若 时，则可能有 ，选abcd且acbdacbdadcb且A。【答案】A6.（2009 四川卷文）已知 ， ， ， 为实数，且 .则“ ”是“ ”的dA. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B . 【解析】显然，充分性不成立.又，若 和 都成立，则同向不等式相加得acbdcab即由“ ” “ ”acbdBAxDyCOy=kx+ 437.（2009 四川卷文）某企业生产甲、乙

5、两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨，B原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨，B 原料 3 吨，销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元。该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B原料不超过 18 吨.那么该企业可获得最大利润是A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元【答案】D【解析】设生产甲产品 吨，生产乙产品 吨，则有关系：xyA 原料B 原料甲产品 吨 3 x 2 x乙产品吨yy 3 y则有： 18320yx目标函数 z5作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：当 3， 5 时可

6、获得最大利润为 27 万元，故选 Dxy8.（2009 湖南卷文）若 0x，则 2x的最小值为 2 . 解: 02，当且仅当 时取等号.9.（2009 宁夏海南卷理）设 x,y 满足241,yxzxy则（A）有最小值 2，最大值 3 （B）有最小值 2，无最大值（C）有最大值 3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值解析：画出可行域可知，当 过点（2，0）时， ，但无最大值。选 B.zxyminz10.（2009 宁夏海南卷文）设 满足 则,4,12,xyxy（A）有最小值 2，最大值 3 （B）有最小值 2，无最大值（C）有最大值 3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值. 【答案】B【

7、解析】画出不等式表示的平面区域，如右图，由 zxy，得 yxz，令 z0，画出 yx 的图象，当它的平行线经过 A（2,0）时，z 取得最小值，最小值为： z2，无最大值，故选.B（3，4）（0，6）O （ ，0）1yx91311.(2009 湖南卷理)已知 D 是由不等式组 ，所确定的平面区域，则圆 203xy在区域 D 内24xy的弧长为 BA B C D23432. 【答案】：B【解析】解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别是 ，所以圆心角 即为两直线的所成夹角，所以 ，所1,231|()|23tan|（ ）以 ，而圆的半径是 2，所以弧长是 ，故选

8、 B 现。4212.（2009 天津卷理）设变量 x，y 满足约束条件： .则目标函数 z=2x+3y 的最小31xy值为（A）6 （B）7 （C）8 （D）23【考点定位】本小考查简单的线性规划，基础题。解析：画出不等式 表示的可行域，如右图，. 312xy让目标函数表示直线 在可行域上平移，知在点 B 自目标函数取到最小值，32zxy解方程组 得 ，所以 ，故选择 B。. 32x)1,(74minz8642-2-4-15 -10 -5 5 10 152x-y=3x-y=1x+y=3qx = -2x3 +7hx = 2x-3gx = x+1fx = -x+3AB13.（2009 天津卷理）设

9、 若 的最小值为,.ab13abab是 与 的 等 比 中 项 ， 则A 8 B 4 C 1 D 4【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力。【解析】因为 ，所以 ，3baba，当且仅当 即 时422)1(1 aba ba21“=”成立，故选择 C14.（2009 天津卷理） ,若关于 x 的不等式 的解集中的整数恰ab0 2()x2(有 3 个，则（A） （B） （C） （D）1a13a6a【考点定位】本小题考查解一元二次不等式，解析：由题得不等式 即 ，它的解应在两根之2()xb2(a02)bx间，故有 ，不等式的解集为 或0414222 1a

10、b。若不等式的解集为 ，又由 得10abx 1abx0，故 ，即 . 213315.（2009 四川卷理）已知 为实数，且 。则“ ”是“ ”的,abcdcdabcbdA. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C充要条件 D. 既不充分也不必要条件. 【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑，基础题。（同文 7）解析： 推不出 ；但 ，故选择 B。bacbdbdcadbca解析 2：令 ，则 ；由,13,513(5)8可得， 因为 ，则 ，所以 。故“ ”是cd()c0ca“ ”的必要而不充分条件。ab16.（2009 四川卷理）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A

11、原料 3 吨、B原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B原料不超过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是 A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元 . 【考点定位】本小题考查简单的线性规划，基础题。（同文 10）解析：设甲、乙种两种产品各需生产 、 吨，可使利润 最大，故本题即xyz已知约束条件 ，求目标函数 的最大01832yxyz35值，可求出最优解为 ，故 ，故选择4271maxzD。17.（2009 福建

12、卷文）在平面直角坐标系中，若不等式组 （ 为常数）所表10xya示的平面区域内的面积等于 2，则 的值为aA. -5 B. 1 C. 2 D. 3 解析解析 如图可得黄色即为满足的直线恒过（0，1），故看作直线绕点001 yxyx的 可 行 域 ， 而与（0，1）旋转，当 a=-5 时，则可行域不是一个封闭区域，当 a=1 时，面积是 1；a=2 时，面积是 ；当 a=3 时，面积恰好为 2，故选 D.2318.（2009 重庆卷理）不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值2313xaxa范围为（ ）A B . (,14,)(,5,)C D212【答案】A【解析】因为 对任意 x 恒成立，所

13、以243433xxa对22301aaa即 ， 解 得 或19.（2009 重庆卷文）已知 ，则 的最小值是（ ）,b2bA2 B C4 D52【答案】C解析因为 当且仅当 ，且1112()4ababab1ab，即 时，取“=”号。 . ab二、填空题1.（2009 浙江理）若实数 满足不等式组 则 的最小值是 . ,xy2,40,xy3xy答案：4 【解析】通过画出其线性规划，可知直线 过点 时，23yxZ,min234xy2.（2009 浙江卷文）若实数 满足不等式组 则 的最小值是 ,x4,0xy. 【命题意图】此题主要是考查了线性规划中的最值问题，此题的考查既体现了正确画线性区域的要求，

14、也体现了线性目标函数最值求解的要求【解析】通过画出其线性规划，可知直线 过点 时，23yxZ,0min234xy3.（2009 北京文）若实数 满足 则 的最大值为 .,xy0,4,5sy【答案】9【解析】.s.5.u 本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查. . 如图，当 时，4,5xy为最大值. . 9s故应填 9.4.（2009 北京卷理）若实数 满足 则 的最小值为_.,xy2045syx【答案】 6. 【解析】本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查.如图，当 时，. 4,2xy为最小值.6sy故应填 .5.(2009 山东卷理)不等

15、式 的解集为 . . 021x【解析】:原不等式等价于不等式组 或()x12()0x或 不等式组无解,由得 ,由得 ,综上得12()(0x 1212x,所以原不等式的解集为 . 1|x答案: |1x【命题立意】:本题考查了含有多个绝对值号的不等式的解法,需要根据绝对值的定义分段去掉绝对值号,最后把各种情况综合得出答案.本题涉及到分类讨论的数学思想.6.(2009 山东卷文)某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天的租赁费为 200 元,设备乙每天

16、的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产品 50 件,B类产品 140 件,所需租赁费最少为_元. . 【解析】:设甲种设备需要生产 天, 乙种设备需要生产 天, 该公司所需租赁费为 元,则xyz，甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品的情况为下表所示: 203zxy产品 设备 A 类产品 (件)( 50) B 类产品 (件)(140) 租赁费 (元) 甲设备 5 10 200 乙设备 6 20 300 则满足的关系为 即: , . 0124,xy610524xy作出不等式表示的平面区域,当 对应的直线过两直线 的交点203zxy610524xy(4,5)时，目标函数 取得最低为 2

17、300 元. . z答案:2300【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题 ,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题 7.（2009 年上海卷理）若行列式 中，元素 4 的代数余子式大于 0，417 5x3 89则 x 满足的条件是_ . 【答案】 83【解析】依题意，得： (-1)2(9x-24)0，解得： . 83x8.（2009 上海卷文） 已知实数 x、y 满足 则目标函数 z=x-2y 的最小值是2_. 【答案】9【解析】画出满足不等式组的可行域如右图，目标函数化为： z，画直线xy21及其平行线，当此

18、直线经过点 A 时，z 的值最大， z 的值最小，A 点坐标为xy21（3,6），所以，z 的最小值为：3269。三、解答题1.（2009 江苏卷）(本小题满分 16 分) 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 a元，如果他卖出该产品的单价为 m元，则他的满意度为 ma；如果他买进该产品的单价为 n元，则他的满意度为 na.如果一个人对两种交易(卖出或买进 )的满意度分别为 1h和 2，则他对这两种交易的综合满意度为 12h. . 现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元，乙生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 3 元和 20 元，设产品 A、B 的单价

19、分别为 Am元和 元，甲买进 A 与卖出B 的综合满意度为 且，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 h且(1)求 h且和 且关于 m、 B的表达式；当 35AB时，求证： 且= ； (2)设 35AB，当 A、 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ (3)记(2)中最大的综合满意度为 0h，试问能否适当选取 Am、 B的值，使得 0h且和0h且同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 【解析】 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力。满分 16 分。(1) 当 时， ,35ABm 2355(0)(512

20、BBmmh甲, h且= . 2320(5)0)5BBhm乙（2）当 时，ABm2 211= ,205(0)(5()0()5BBBBmhmm甲由 ，1,2,BB得故当 即 时，. 0Bm,12A甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 。05（3）（方法一）由（2）知： =0h1由 得： ，. 0=125ABmh甲 25ABm令 则 ，即： 。3,ABxy1,4x、 (4)1xy同理，由 得：05h乙 5()2y另一方面， 1,4xy、 1xx5、 +4,、 +y,2当且仅当 ，即 Am= B时，取等号。(14),(),22y4所以不能否适当选取 Am、 B的值，使得 0h且和 0且同时成立，但等号不

21、同时成立。. 2.（2009 湖北卷文）（本小题满分 12 分） 围建一个面积为 360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x(单位：元)。（）将 y 表示为 x 的函数： （）试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。解：（1）如图，设矩形的另一边长为 a m则 -45x-180(x-2)+1802a=225x+360a-3602y由已知 xa=360,得 a= ,x360所以 y=225x+ . )(2(II) 10836253605,02xx.当且仅当 225x= 时，等号成立.10436252xy x2即当 x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440 元. .