1、， 年苟哪 中学数学教学参考 （下旬）陕西中考压闕用“ 隐形” 解题的方法有： “ 定角 对定弦” ；： 利 用等腰三 角形解题 ； “ 定角 夹定高 ” 等。“隐形歸”麵答中考题中的妙用， 马金安 （西北工业大学附属中学）中考压轴题因其具有选拔性功能 ， 所以难度较离为 ，所以？与 相切，从而得到符合条件的点大 ，大部分学生解决起来较困难。 如何突破压轴题的 唯一。 过点 作 丄 ，垂足为 ， 得四边形思维难点 ，成为大家共同研究的重点。 笔者在对近些是正方形，所以 。 在 年中考数学陕西卷研究后发现，“隐形圆”在解题中发中 ， 由正切得 ，所以 挥了重要作用。 下面笔者谈一谈 “隐形圆 ”
2、 的方法使用 。例（ 年中考数学陕西卷第 题第 （ ） 利用“定角对定弦”作“隐形圆”问如图 ，有一矩形板材中 ， 米， 米，现想在图巾 果 知；及其胃 从板材中裁出一个面积尽可能可以组成唯一的外接圆。 匕的主要依据是正弦定理。 大的 四 边形 部 牛， 使 例如 ，若已知 和之八 ， 则 ？ ， 因此 ， 这时该。二？的半径固定 ，该图形有唯的外接圆 ，麵圆的特 ， ： 米 。经研殊性去解题， 可顺利突破难点。究 ， 只有当点 ， ， 分别在边机 上 ， 且（ 年 中考数学陕 ，并满足点在矩形就 内部或边上时 西卷第题第（ ） 问 ）如图才可能裁出符合要求的部件 试问能否裁出符合要求且面积尽
3、可能大的四边形部件？若能 ， 求出 ， 是 边上的高 ， 分，、 裁得的四边形 瓦簡部件的面积 ； 若不能 ，请说明别为边 ， 边的中点 ， 当 时 ， 边上存在一点 ，使。，求此时 的长。解析 ： 因为 ，￥米 ， 联结解析 ：这是一个有特殊角的“定角对定弦”问题， ，可得，所以 的面积是固定当出现 。角时 ，根据半圆或直径所对的圆周角是直的。 又因为， 所以符合定角对定角 ， 因此只需构造 角所对的边为直径的圆 ， 就可以弦 问 题 ， 因 此 ， 可 以 考 虑作使问题迎刃而解 。 由于 是 的 中位线 ， 得 的外接圆 ， 如图 ， 只需， 的面积最大即可 ， 因此） 转化成求 边上的
4、高的最大值 ？图 此 存在以 为直径的 问题。 通过作 的对称 得到唯一的外接圆 。 如图 ，取 的 ，从而四边形 是正方形， 圆周角中点 ，过 点作 丄， 垂图 。 ， 这时当？， ， 片三点共线时 ， ， 点，为足为 ， 以 为直径作？。 因为 与 间的距符合条件的使边上的高为最大值的点，求出高的年垔！期： 轉数雜学 （下甸）最大值即可求出四边形面积的最大值。利用“定角夹定高，作“隐形圆” 若个三角形有个細它所纖边上的高是当已知一边和一个动点要构成一个等腰三角形 一个定值时 ，此时这个三角形有最小的外接圆。时，这个动点的位置可以有三种情况： （ ）动点在已知例 （ 年西 工大附 中线段的垂
5、直平分线上 ；（ ） 动点在以已知边的一个端模考题第 题（ ） 问 ）如图 ， 四点为圆心 ，边长为半径的圆上（两端均不符合） 。 因 边形 中 ， 此，可以利用这个动点与已知线段构成的等腰三角形 ，图所在的圆进行解题点 分别在四边形 的边 上 例（ 年中考数学陕西， 的面积有没有最小值？ 如果卷第题）姻 ，在菱形 有 求出最小值如果没有 请说明理由 。中 ， 点 是 分析 ：已知条件分散， 不便于解题，通过旋转的方这个菱形内边上的点 ， 若式将分散。的条件集中 ，将绕点 顺时针方向以点 为顶点的三角形是等腰三角形 ，则 ， 胃（ 两点不重合）两点间的最短距离为。解析： 由于以点 ， ， 为顶
6、点的三角形是等 ：一，积的最小值就转化为“定角夹定高”问题。 模仿例 法，就可以将问题解决。位置可以分为三种情况：如，解：擁 ，将绕点 ， 当以 为底时 点 在 顺时针旋转。 到的垂直平分线上 ， 因为 四边形 、一 处 ， 由旋转得， 为菱形且。，所图 ，。 因为以联结 ， 得到为等边三角形 ， 所以 。， 所 以。， 易 证 明 ， 而 ，这符合定角对定弦问题，故厶从八（ 八） ， 所以之从：八 。 作可作 的外接圆？，所以点 在等边丄， 丄 ， 贝！。的 边的高上 。 由菱形可得 为直角二角在紐中 ， 。 尺 ，形 ，所以当点 在这种情况下 有最小值为 。作的外接圆？，联结八 ，尸。 作
7、社（） 当以 为腰时， 以点 吟、 ， 因为。 ， 所以。 。 设为圆心 ， 为半径作圆 ， 如图 ，：则符合条件的所有点 都在菱形 外，这种情况无解。在 中 ， ， ， 所以（ ）当以为腰时， 如图 ，、：。 因为， 所以 彡以点 为圆心 ， 为半径作圆 ，所以分 ，所以 。则符合条件的点 在弧 上 ，利用圆外一点与圆心 日且、 上命且、一上 丨 丨 故 的面积最小值为 。在求面积的最小值时， 将 角夹定高”而求 出且晒、， （转化成隐形圆的问题后， 思路就清晰了 。 由 于定角是等腰二角形， 由 圆應。， 当灯取最小值时，就是等边三性可知线段 最短。 所以四￥、，角形， 求出等边三角形的面积， 即为面积的最， ， 小值。 这种方法适合于填空题或选择题，可以迅速写所以， 。，所出效案以；！等边三角形。 所以 在解题中， 注意观察题目 中的条件 ，看是否符合，所以耶 如。 故抑最小值条件可解“隐形圆” ，若可以 ， 相关题目的解决就会得 。 综上所述 ，最小值为 。心应手 ，游刃有余。
