1、1.1.2 余弦定理课后篇巩固探究A 组1.在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= ,b=3,A=60,则 c=( )13A.1 B.2 C.4 D.6解析 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A,即 13=9+c2-3c,即 c2-3c-4=0,解得 c=4(负值舍去).答案 C2.(2017江西临川二中期中考试) 在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a2-c2+b2=ab,则sin C 的值为( )A. B. C. D.22 3233来源:学 &科 &网Z &X&X&K解析 由余弦定理,得 cos C= .因为 C(0,),
2、所以 C= ,sin C= .故选 C.2+2-22 =12 3 32答案 C3.在ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 的对边,则下列等式正确的是 ( )A.a=bcos C+ccos B B.a=bcos C-ccos BC. a=bsin C+csin B D.a=bsin C-csin B解析 bcos C+ccos B=b +c =a.2+2-22 2+2-22 =222答案 A4.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,那么新三角形的形状是( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.由增加的长度确定解析 设直角三角形的三条边长分别为 a,b,c,且 a2+b2=
3、c2,三条边均增加同样的长度 m,三边长度变为 a+m,b+m,c+m,此时最长边为 c+m,设该边所对角为 ,则由余弦定理,得 cos =.因为 m20,a+b-c0,所以(+)2+(+)2-(+)22(+)(+) =2+2(+-)2(+)(+)cos 0,所以 为锐角,其他各角必为锐角 ,故新三角形是锐角三角形.答案 A5.在ABC 中,AB=3,BC= ,AC=4,则边 AC 上的高为( )13A. B. C. D.3322 332 32 3解析 在ABC 中,AB=3,BC= ,AC=4,由余弦定理,得 cos A=13, A=60. 边 AC 上的高 h=ABsin A=3sin 2
4、+2-22 =32+42-13234 =1260= .故选 B.332答案 B6.在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 B=C,2b= a,则 cos A= . 3解析 由 B=C,得 b=c= a.由余弦定理 ,得 cos A=32.2+2-22 =( 32)2+( 32)2-223232 =13答案7.在ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 a2-c2=2b,且 sin B=6cos Asin C,则 b 的值为 . 解析 由正弦定理及余弦定理,得 sin B=6cos Asin C 可化为 b=6 c,化简得2+2-22b2=3(b2+c2-
5、a2). a2-c2=2b,且 b0, b=3.答案 38.如图,在ABC 中,已知点 D 在边 BC 上,ADAC 于点 A,sinBAC= ,AB=3 ,AD=3,则223 2BD 的长为 . 解析 因为 sinBAC= ,且 ADAC,所以 sin ,所以 cosBAD= .223 (2+)=223 223在BAD 中,由余弦定理 ,得BD= 2+2-2= .(32)2+32-2323223=3答案 39. 导学号 04994004 在 ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边长,若(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3asin B, 求角 C 的大小.解
6、 由题意,得(a+b+c)(a+b-c) =3ab,整理,得 a2+2ab+b2-c2=3ab,即 ,所以 cos 2+2-22 =12C=,所以 C=60.10.在ABC 中,C=2A,a+c=10,cos A= ,求 b.解 由正弦定理,得 =2cos A=2 , a+c=10, a=4,c=6.=2 34=32由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,得 ,解得 b=4 或 b=5.当 b=4 时, a=4, A=B.又2+2012 =34C=2A,且 A+B+C=, A= ,与已知 cos A=矛盾,不合题意,舍去.当 b=5 时,满足题意,故 b=5.4B 组1.在ABC 中,
7、角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 sin2B+sin2C-sin2A+sin Bsin C=0,则 tan A 的值是 ( )A. B.- C. D.-33 33 3 3解析 由题意及正弦定理,得 b2+c2-a2=-bc.由余弦定理,得 cos A= =-.因2+2-22 =-2为 0ba,则角 C 最大. cos C= =-,2+2-22 =32+52-72235且 0b,ac,即 a 是最长边,所以角 A 最大.由余弦定理,得 cos 120= ,解得 a=14(a=4 舍去), 所以 b=10,c=6,故(-4)2+(-8)2-22(-4)(-8)ABC 的周长为 30.
8、答案 305.在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若( a2+c2-b2)tan B= ac,则角 B 的度数为 . 3解析 由余弦定理,得 2accos Btan B= ac,整理,得 sin B= ,所以 B=60或 120.332答案 60或 1206.(2017河北冀州中学)在ABC 中,BD 为ABC 的平分线,AB=3,BC=2,AC= ,则 sinABD= .7解析 因为 BD 为ABC 的平分线,所以ABD=ABC.由余弦定理,得 cosABC=,2+2-22 =32+22-(7)2232 =12所以 cosABC=1-2sin 2ABD=,所以 sinABD=.答案7. 导学号 04994005 若 2a+1,a,2a-1 为钝角三角形的三边长,求实数 a 的取值范围.解 因为 2a+1,a,2a-1 是三角形的三边长,所以 解得 a,此时 2a+1 最大.要使 2a+1,a,2a-1 是三角形的三边长,还需 a+2a-2+10,0,2-10,12a+1,解得 a2.设最长边 2a+1 所对的角为 ,则 90,所以 cos =0,解得a 8.综上可知实数 a 的取值范围2+(2-1)2-(2+1)22(2-1) =(-8)2(2-1)是(2,8).
