1、第 2课时 等差数列前 n 项和的性质与应用课后篇巩固探究A组1.在等差数列a n中,S n 是其前 n 项和,a 1=-11, =2,则 S11=( )101088A.-11 B.11 C.10 D.-10解析 an为等差数列, 为等差数列,首项 =a1=-11,设 的公差为 d,则 11 =2d=2, d=1, =-11+10d=-1, S11=-11.101088 1111答案 A2.若 Sn 是等差数列a n的前 n 项和,且 S8-S3=20,则 S11 的值为( )A.44 B.22 C. D.882003解析 由 S8-S3=20,得 a4+a5+a6+a7+a8=20,所以 5
2、a6=20,所以 a6=4,故S11= =11a6=44.11(1+11)2答案 A3.若 Sn 表示等差数列a n的前 n 项和, ,则 =( )510=131020A. B. C. D.310解析 由题意,得 S5,S10-S5,S15-S10,S20-S15 成等差数列. , S10=3S5, S15=6S5,S20=10S5, .510=131020=310答案 C4.已知数列a n为等差数列,a 2=0,a4=-2,则其前 n 项和 Sn 的最大值为( )A. B. C.1 D.0解析 因为 a2=0,a4=-2,所以公差 d= =-1,所以 a1=1.又 a2=0,所以数列a n的
3、前 n 项-2-04-2和 Sn 的最大值为 1.答案 C5.在各项均不为零的等差数列a n中,若 an+1- +an-1=0(n2),则 S2n-1-4n=( )2A.-2 B.0 C.1 D.2解析 由 an+1- +an-1=0,得 =an-1+an+1=2an.因为a n的各项均不为零 ,所以 an=2,所以 S2n-2 21=(2n-1)an=4n-2,故 S2n-1-4n=-2.答案 A6.设等差数列a n的前 n 项和为 Sn,若 a5=5a3,则 = . 95解析 =9.95=92(1+9)52(1+5)=92255223答案 97.已知等差数列a n,|a5|=|a9|,公差
4、 d0,则使得其前 n 项和 Sn 取得最小值的正整数 n 的值是 .解析 由|a 5|=|a9|,且 d0,得 a50,且 a5+a9=0,即 2a1+12d=0,即 a1+6d=0,即 a7=0,故 S6=S7,且为最小值.答案 6 或 78.若一个等差数列的前 3 项之和为 34,最后 3 项之和等于 146,所有项的和为 390,则这个数列一共有 项. 解析 设该数列为a n,Sn 是其前 n 项和,则 a1+a2+a3=34,an+an-1+an-2=146,两式相加,得(a1+a2+a3)+(an+an-1+an-2)=180,即 3(a1+an)=180,于是 a1+an=60.
5、而 Sn= =390,即 =390,解得 n=13.(1+)2 602答案 139.已知等差数列a n的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4.(1)求数列a n的前 n 项和 Sn;(2)求数列 的前 n 项和 Tn.解 (1)设a n的公差为 d,由题意,得31+322 =6,81+872 =-4,即 31+3=6,81+28=-4,解得 1=3,=-1.所以 Sn=3n+ (-1)=- n2+n.(-1)2(2)由(1),得 =-n+,所以 =- (n+1)+ =-, +1+1n 72(-12+72)即数列 是首项为 =3,公差为-的等差数列, 11故 Tn=3n+ =-n2+ n.(-
6、1)2 (-12) 13410. 导学号 04994037 在等差数列a n中,a 1=-60,a17=-12,求数列|a n|的前 n 项和.解 等差数列a n的公差 d= =3,17-117-1=-12-(-60)16故 an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)3=3n-63.由 an0,a21=0,a220, 数列前 30 项的绝对值之和为 S30-2S21=30(-60)+ 3-230292=765.21(-60)+21202 3答案 B2.已知两个等差数列a n和b n的前 n 项和分别为 An 和 Bn,且 ,则使得 为整=7+45+3数的正整数 n 有( )A.2 个 B.3
7、 个 C.4 个 D.5 个解析=22=1+2-11+2-1=2-12 (1+2-1)2-12 (1+2-1)=2-12-1=7(2-1)+45(2-1)+3=7+19+1=7+ .12+1当 n=1,2,3,5,11 时, 为整数,即当 n=1,2,3,5,11 时, 为整数.12+1 答案 D3.在等差数列a n中,其前 n 项和为 Sn,nSn+1(n+1)Sn(nN *),且 (n+1)Sn,得 ,即 0.而 ,所以 d0.因为 +1+1 +1+1=2 87以 0,因此数列 an是递增数列,所以 a70,所以7+87a70,所以在 Sn 中最小值是 S7.答案 A4.已知等差数列a n
8、,Sn 为其前 n 项和,S 3=9,a4+a5+a6=7,则 S9-S6= . 解析 S3,S6-S3,S9-S6 成等差数列,而 S3=9,S6-S3=a4+a5+a6=7, S9-S6=5.答案 55.在等差数列a n中,S n 是其前 n 项和,且 S2 011=S2 014,Sk=S2 009,则正整数 k 为 . 解析 因为等差数列a n的前 n 项和 Sn 可看成是关于 n 的二次函数 ,所以由二次函数图象的对称性及 S2 011=S2 014,Sk=S2 009,可得 ,解得 k=2 016.2 011+2 0142 =2 009+2答案 2 0166.已知数列a n是以 3
9、为公差的等差数列,S n 是其前 n 项和 ,若 S10 是数列S n中的唯一最小项,则数列a n的首项 a1 的取值范围是 . 解析 依题意,得 解得- 300,即 1+930,答案 (-30,-27)7.设数列a n的各项都为正数,其前 n 项和为 Sn,已知对任意 nN *,Sn 是 和 an 的等差中项.2(1)证明:数列a n为等差数列 ,并求 an;(2)若 bn=-n+5,求 anbn的最大值,并求出取最大值时 n 的值.(1)证明 由已知,得 2Sn= +an,且 an0.2当 n=1 时,2a 1= +a1,解得 a1=1.21当 n2 时,2S n-1= +an-1.2-1
10、所以 2Sn-2Sn-1= +an-an-1,即 2an= +an-an-1,2 2-1 2 2-1即(a n+an-1)(an-an-1)=an+an-1.因为 an+an-10,所以 an-an-1=1(n2) .故数列a n是首项为 1,公差为 1 的等差数列,且 an=n.(2)解 由(1)可知 an=n.设 cn=anbn,则 cn=n(-n+5)=-n2+5n=- .(-52)2+254 nN *, 当 n=2 或 n=3 时,c n的最大项为 6.故a nbn的最大值为 6,此时 n=2 或 n=3.8. 导学号 04994038 在等差数列a n中,a 10=23,a25=-2
11、2.(1)数列a n的前多少项和最大?(2)求数列|a n|的前 n 项和 Sn.解 (1)设a n的公差为 d,由 a10=23,a25=-22,得 解得1+9=23,1+24=-22, 1=50,=-3,所以 an=a1+(n-1)d=-3n+53.令 an0,得 n0;当 n18,nN *时,a n0,故数列a n的前 17 项和最大.(2)当 n17,nN *时,|a 1|+|a2|+|an|=a1+a2+an=-n2+ n;1032当 n18,nN *时,|a 1|+|a2|+|an|=a1+a2+a17-a18-a19-an=2(a1+a2+a17)-(a2+a2+an)= n2- n+884.1032故 Sn=-322+1032,17,322-1032+884,18.
