1、习题课数学规划的简单应用课后篇巩固探究A 组1.已知 x,y 满足约束条件 则(x+3) 2+y2 的最小值为 ( )0,0,+1,A. B.210 2C.8 D.10解析 画出可行域(图中的阴影部分 ),(x+3)2+y2 表示可行域中的点(x ,y)与点(- 3,0)之间的距离的平方.由图形可知,当点(x,y)为点(0,1) 时,点(x,y )与点(- 3,0)之间的距离最小,等于 ,因此(x+3)102+y2 的最小值为 10.答案 D2. 已知变量 x,y 满足约束条件 若使 z=ax+y 取得最大值的最优解有无穷多个,-1,-2,3+14,则实数 a 的取值集合是( )A.-3,0
2、B.3,-1C.0,1 D.-3,0,1解析 作出不等式组所表示的平面区域,如图中的阴影部分所示.易知直线 z=ax+y 与 x-y=2 或3x+y=14 平行时取得最大值的最优解有无穷多个,即-a=1 或-a=-3,所以 a=-1 或 a=3.答案 B3. 已知实数 x,y 满足不等式组 的取值范围是( )1,0,-0,则 -1A.-1,1) B.-1,1C.(-1,1) D.-1,+)解析画出可行域(图中的阴影部分 ),设 w= ,所以 y=wx+1(x0),w 表示直线 y=wx+1(x0)的-1斜率.由图可知,满足条件的直线夹在直线 y=-x+1 与 y=x+1 之间,故- 1w0,0
3、,4+30,x,y 满足约束条件 若 z=2x+y 的最小值为 0,则 a 等于( )1,+3,(-3),A. B. C.1 D.2解析 根据约束条件画出可行域,如图阴影部分所示.由 z=2x+y,得 y=-2x+z,可将 z 的最小值转化为直线在 y 轴上的截距最小.由图知当直线 z=2x+y 经过点 B 时,z 最小.因为点 B 的坐标为(1,-2a),将其代入 z=2x+y,得 2-2a=0,得 a=1.答案 C2.已知 O 为坐标原点,点 M 的坐标为(2,1),若点 N(x,y)满足不等式组 则使(-4+30,2+-120,1, 取得最大值的点 N 的个数是( )A.1 B.2 C.
4、3 D.无数个解析 由 M(2,1),N(x,y),得 =2x+y.令 z=2x+y,则 的最大值即为目标函数 z=2x+y 的最大值.由图(图略)易知,当直线 y=-2x+z 与直线 2x+y-12=0 重合时,z 取得最大值,所以使取得最大值的点 N 的个数有无数个.答案 D3.若不等式组 (a0)表示的平面区域的面积为 5,且直线 mx-y+m=0 与该平面区+20,2-0, 域有公共点,则 m 的最大值是 ( )A. B. C.0 D.-解析 画出可行域(图中的阴影部分 ),可求得 A(a,2a),B ,三角形区域的面积为a ,所(,-2) 52以a =5,解得 a=2,这时 A(2,
5、4).而直线 mx-y+m=0 可化为 y=m(x+1),它经过定点 P(-1,0),斜52率为 m.由图形知,当直线经过点 A 时,斜率 m 取最大值,且 kAP= .故 m 的最4-02-(-1)=43大值是.答案 A4.若实数 x,y 满足 的最大值为 . 121,-+1,+1, 则 +1解析 作出不等式组表示的平面区域为如图四边形 ABCD 对应的区域,而 表示区域内的+1点与点(0,- 1)连线的斜率,显然当直线经过点 D 时斜率最大,而点 D 的坐标为 ,所以所求(12,32)的最大值为 =5.32+112答案 55.若 x,y 均为整数,且满足约束条件 则 z=2x+y 的最大值
6、为 ,最小值为 .+-20,-+20,0, 解析作出可行域,如图阴影部分所示.由图可知在可行域内的整点有(- 2,0),(-1,0),(0,0),(1,0),(2,0),(-1,1),(0,1),(1,1),(0,2),分别代入 z=2x+y 可知,当 x=2,y=0 时, z 取最大值 4;当 x=-2,y=0 时,z 取最小值-4.答案 4 -46. 导学号 04994081 若实数 x,y 满足不等式组 则当 2a 恒2+4,0,0, -+1成立时,实数 a 的取值范围是 . 解析画出可行域(图中的阴影部分 ),由于 -1,其中 表示可-+1=+1-1-+1 =+1+1 +1+1行域中的
7、点(x,y)与定点( -1,-1)连线的斜率 k,由图形可知 k ,所以 -1 .因13,5 +1+1 -23,4此当 2 a 恒成立时,应有 2a4,解得 a2.-+1答案 a27.已知 x,y 满足约束条件 若目标函数 z=ax+y(其中 a 为常数)仅在点 处取得-0,+1,0, (12,12)最大值,求实数 a 的取值范围.解 由 x,y 满足约束条件 画出此约束条件表示的平面区域,如图中阴影部分所示.由-0,+1,0, 目标函数 z=ax+y,得 y=-ax+z.因为 z 仅在点 处取得最大值,(12,12)所以-1-a1,故实数 a 的取值范围是(- 1,1).8. 导学号 049
8、94082(2017浙江杭州余杭高级中学月考 )已知 x,y 满足约束条件试求解下列问题:-4-3,3+525,1, (1)z= 的最大值和最小值;2+2(2)z= 的最大值和最小值;+2(3)z=|3x+4y+3|的最大值和最小值.解 不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示.(1)z= 表示的几何意义是区域中的点(x,y )到原点(0,0)的距离,由图易知 zmax= ,zmin=2+2 29.2(2)z= 表示区域中的点(x,y)与点( -2,0)连线的斜率,由图易知 zmax= ,zmin=.+2 2215(3)z=|3x+4y+3|=5 ,而 表示区域中的点 (x,y)到直线|3+4+3|5 |3+4+3|53x+4y+3=0 的距离 ,则 zmax=26,zmin=10.
