1、 1 / 4第二课时 3.1.2 空间向量的数乘运算（二）教学要求：了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式教学过程：一、复习引入1. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量 b与非零向量 a是否共线？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量向量 b与非零向量 a共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使 b a.称平面向量共线定理，二、新课讲授1.定义：与平面
2、向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量 a平行于 b记作 a/ 2关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量 、 （ 0） ， /b的充要条件是存在实数 ，使 ab.理解：上述定理包含两个方面：性质定理：若 a b（ 0） ，则有 b a，其中 是唯一确定的实数。判断定理：若存在唯一实数 ，使 （ 0） ，则有 a b（若用此结论判断 a、b所在直线平行，还需 （或 ）上有一点不在 （或 ）上）.对于确定的 和 a， b 表示空间与 a平行或共线，长度为 |，当 0 时与 同向，当 0 时与 反向的所有
3、向量.3. 推论：如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 的直线，那么对于任意一点 O，点P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t 满足等式 OPAta其中向量 a叫做直线 l 的方向向量.推论证明如下： l/a ， 对于 l 上任意一点 P，存在唯一的实数 t，使得 APta(*) 2 / 4又 对于空间任意一点 O，有 APO， OPAta ， ta 若在 l 上取 B，则有 B(*)又 ()PAt(1tOAt当 12t时， 2OB理解： 表达式和都叫做空间直线的向量参数表示式，式是线段的中点公式事实上，表达式(*) 和(*) 既是表达式 和的基础，也是直线参数方程的表达形式
4、表达式和三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式 推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完全相同，是平面向量相关知识的推广4. 出示例 1：用向量方法证明顺次连接空间四边形四边中点的四边形是平行四边形. （ 分析：如何用向量方法来证明？）5. 出示例 2：如图 O 是空间任意一点，C、D 是线段 AB 的三等分点，分别用 OA、 B表示OC、 .三、巩固练习： 第三课时 3.1.2 空间向量的数乘运算（三）教学要求：了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件
5、；会用上述知识解决立几中有关的简单问题教学重点：点在已知平面内的充要条件教学难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用教学过程：一、复习引入1. 空间向量的有关知识共线或平行向量的概念、共线向量定理及其推论以及空间直线的向量表示式、中点公式OABCD3 / 42. 必修平面向量 ，平面向量的一个重要定理平面向量基本定理：如果 e1、e 2 是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量 a，有且只有一对实数1、 2，使 a 1e1 2e2.其中不共线向量 e1、e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底二、新课讲授1. 定义：如果表示空间向量 a 的有向线段所在直线与已知平
6、面 平行或在平面 内，则称向量 a 平行于平面 ，记作 a/向量与平面平行，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的2. 定义：平行于同一平面的向量叫做共面向量共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内3. 讨论：空间中任意三个向量一定是共面向量吗？请举例说明结论：空间中的任意三个向量不一定是共面向量例如：对于空间四边形 ABCD， AB、 C、 D这三个向量就不是共面向量4. 讨论：空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢？5. 得出共面向量定理：如果两个向量 a、b 不共线，则向量 p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在实数对 x，y ，使得 p=
7、xa+yb 证明：必要性：由已知，两个向量 a、b 不共线 向量 p 与向量 a、b 共面 由平面向量基本定理得：存在一对有序实数对 x，y ，使得 p= xa+yb充分性：如图， xa，yb 分别与 a、b 共线， xa，yb 都在 a、b 确定的平面内又 xa+yb 是以x a、 yb为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在 a、b 确定的平面内， p= xa+ yb 在 a、b 确定的平面内，即向量 p 与向量 a、b 共面说明：当 p、a、b 都是非零向量时，共面向量定理实际上也是 p、a、b 所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内4 / 46. 共面向量定理的推论是：空间一点 P 在平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对 x，y，使得 MPxAyB， 或对于空间任意一定点 O，有 PMxAB分析：推论中的 x、y 是唯一的一对有序实数； 由 得：()()OOM， (1)xyxOy 公式都是 P、M 、 A、B 四点共面的充要条件7. 例题：课本例 1 ，解略 小结：向量方法证明四点共面三、巩固练习1. 练习：课本 练习 3 题.2. 作业：课本 练习 2 题.
