1、第一讲 巧切西瓜1 现在有半个西瓜，平放在桌子上，由你来切。条件是只允许竖直地切，不允许横着切，也不允许斜着切。问问你：切两刀最多能把这半个西瓜切成几块？切三刀呢？图 8-1-1 竖着切，可以！ 图 8-1-2 横着切，犯规！ 图 8-1-3 斜着切，也犯规！解答：让我们拿出一张纸，既然只能竖着切，那么用一个圆就可以表示半个西瓜，用一条直线就能表示每一刀怎么切，这样想就简单多啦，而不用拿着真的西瓜乱切了!首先第一刀怎么切呢？我们画一下，就会发现原来第一刀怎么切都一样，只能将西瓜切成两块，如右图 9-0-4。 图 8-1-4 一刀只能切成两块那么第二刀怎么切呢，我们可以想出两种切法。第一种切法如
2、图 9-0-5，如果第二刀和第一刀不相交，只能把西瓜切成了三块；第二种切法如图 9-0-6，第二刀和第一刀相交，那么把西瓜切成了四块。经过试验小明知道了，竖着切两刀至多可 图 8-1-5 两刀可以切成 3 块以把西瓜切成四块！两刀的切法解决了，再解决三刀的切法就大功告成啦！其实呢，三刀的切法在前两刀切法的基础上再切一刀就行了。只要我们继续试验，发现第三刀共 图 8-1-6 两刀最多切成 4 块有三种不同切法，第一种切法如图 9-0-7，第三刀与前两刀都不相交，结果切成了 5 块；第二种切法如图 9-0-8，第三刀只与前两刀中某一刀相交，结果切成了 6 块；第三种切法如图9-0-9，第三刀与前两
3、刀每一刀都相交，结果切成 7 块。图 8-1-7 切成 5 块 图 8-1-8 切成 6 块 图 8-1-9 切成 7 块原来，竖着切三刀最多可以将西瓜切成 7 块！评论：注意：如果想使切成的块数最多，切每一刀的时候就要使它和前面的每一刀都相交！2 半个西瓜，竖着切 5 刀，最多能切多少块？竖直切 9 刀呢？解答：从前面我们的切法中可以知道，要想使切出的块数最多，就必须使每一刀都与以前每一刀尽量相交。我们在前面切三刀的解法的基础上再切第四刀，并让第四刀与前三刀都相交，发现最多可以切 11 块，如图 9-1-1；然后再切第 5 刀，并且与前四刀也都相交，如图 9-1-2，可以看出，竖直切 5 刀
4、，最多可以切成 16 块。图 8-2-1 4 刀最多切成 11 块 图 8-2-2 5 刀最多切成 16 块5 刀的问题我们解决了，但是如果继续切到 9 刀，画图的难度似乎越来越大了。别着急，我们先回过头来观察一下已经得到的结论，看看有没有什么规律呢？我们把竖直切的刀数和最多能切出的块数排列如下；刀数 最多切的块数0 1=11 1+1=22 1+1+2=43 1+1+2+3=74 1+1+2+3+4=115 1+1+2+3+4+5=16 n 1+（1+2+3+n）= ？经过仔细观察分析，我们发现有这样的规律：最多可以切出的块数 = 1+1+2+3+n在这里还有一个规律：1+2+3+n = (1
5、+n)n2，你发现了没有？（以后我们会详细研究等差数列的，大家可不要小看等差数列呦）所以：最多可以切出的块数 = 1+1+2+3+n = (1+n)n2 + 1有了这个规律，我们就不用去切 9 刀或者画 9 刀了，我们可以直接算出来，竖着切 9刀最多可切出的块数为：1+（1+9）92 = 1 + 45 = 46（块）注意：我们这个规律只适合竖着切的情况，其他情况（横着切或斜着切）就不成立了！3 一块月饼，要切成 11 块，竖着切最少要切几刀？解答：切一块月饼和切半个西瓜其实是一样的，大家发现了吗，这两种情况下，我们在纸上画的都是用直线分割圆。我们可以根据前面总结出的规律，列出那个表来，找到切
6、11 块需1324123 4 5要切几刀：1 刀： 1+1=2（块）2 刀： 1+1+2=4（块）3 刀： 1+1+2+3=7（块）4 刀： 1+1+2+3+4=11（块）于是可以知道，把一个月饼竖着切成 11 块，至少需要 4 刀。4 一块月饼，要切成 20 块，竖直切最少要切多少刀？解答：我们接着考察前面表中的列出的数据：1 刀： 1+1=2（块） 5 刀： 1+1+2+3+4+5=16（块）6 刀： 1+1+2+3+4+5+6=22（块） 我们发现 5 刀至多能切出 16 块，而 6 刀则最多可以切出 22 块，所以我们可以知道，要切 20 块的话，5 刀肯定不行，6 刀则可以完成任务。
7、因此，至少需要竖直地切 6 刀。注意： 表中只列出了最多的可能，例如 6 刀最多可以切出 22 块，那么 6 刀当然可能切出20 块，想一想怎样切？而且，6 刀也能切出 18 块呢。再想一想，6 刀最少可以将西瓜切成几块？5 你能把一块豆腐切 3 刀，切成 8 小块吗？怎样切？解答：同学们要认真读题哦，题目并没有要求我们像以前那样竖直切下去，这次是可以斜着或者横着切的。而且如果竖直切的话，3 刀至多切出 7 块，也是切不出 8 块来的。所以我们可以先竖着切然后再横着切，如果我们竖直切两刀可以切成 4 块，再横切一刀分成两层就变成了 42=8 块。而从前面可以知道，竖着切两刀，最多切出 1+1+
8、2=4 块，因此是可以做到题目的要求的。如下图：第一刀 第二刀 第三刀6 小明过生日，要把一个大蛋糕分成 12 块，想一想，小明要怎样切，最少切几刀？解答：最少要切 4 刀。如下图，先竖着切 3 刀，再横着切一刀。想一想，还有别的切法吗？7 一个长方形，用剪刀剪下一个角，还剩多少个角？解答：与剪的方式有关，可能剩下 5 个角，4 个角，或者 3 个角，如图（右上角是被剪掉的角）：还剩 5 个角 还剩 4 个角 还剩 3 个角8 三个完全一样的圆，最多可以将平面分成几部分？解答：仿照例 7 的思路，仍然从一个圆的简单情形开始考虑，做出图形来参考，如下图分别为一个、二个、三个相同的圆最多可以将平面
9、分成几部分。发现与例题非常类似，新画的圆和原来的圆交点越多，划分出的部分越多。如图可知三个同样的圆最多可以将平面分成8 部分。9 一块豆腐，四刀切成十二块，怎样切？方法唯一吗？分析与解答：如果竖着切 4 刀，无法切成 12 块！（为什么？）鉴于前面两题的经验，我们先横切一刀将豆腐分成上下两层，然后再竖切三刀将豆腐切成六块就可以了。由于竖切三刀最多能将豆腐切成 1+1+2+3=7 块，所以切成 6 块也是可以的。如图 9-6-1，从顶上 3 刀已经将豆腐切成 6 块，再横切一刀就可以得到 62=12 块了。图 9-6-1 图 9-6-2另解：在例 5 答案的基础上，再横切一刀，这样一共 3 层，
10、每层 4 块，一共 43=12 块，如图 9-6-2，这样的切法也是满足要求的。10两个完全一样等边三角形，可以把一个平面分成多少个部分？最多呢？分析与解答：122314 147 53628从最简单的情况开始思考，边想边画。注意：一个三角形可以将一个平面分成两个部分内部和外部！如图 9-7 中，两个相同的等边三角形，可以根据相对位置的不同将平面分成3，4，5，6，7，8 个部分。经过试验可以知道，同切西瓜类似，让三角形的边的交点越多，那么分出的区域也越多。所以最后答案为 8，如图。一个三角形分平面成 2 部分 两个三角形分平面成 3 部分两个三角形分平面成 4 部分 两个三角形分平面成 5 部分 两个三角形分平面成 6 部分两个三角形分平面成 7 部分 两个三角形分平面成 8 部分图 9-7 三角形是如何划分平面的11 两个同样大小的正方形，最多能将平面分成多少个区域？解答：与例 7 类似，交点越多越好。最多可以将平面分成 10 个区域，如图。12一个五角星，一刀最多能切掉几个角？想一想，怎样才能一刀切掉 5 个角呢？解答：(1) 一刀最多能切掉 2 个角，如图：213123124 312 5431264 5312745631284567134529876 10(2) 因为五角形是对称图形，可以沿图中虚线先把五角星折起来，然后就可以一刀切掉 5个角了：
