1、1专题九 分类讨论型问题类型一 由概念内涵分类(2018江苏盐城中考)如图，在直角ABC 中，C90，AC6，BC8，P，Q 分别为边 BC，AB上的两个动点，若要使APQ 是等腰三角形且BPQ 是直角三角形，则 AQ_【分析】分两种情形分别求解：当 AQPQ，QPB90时，当 AQPQ，PQB90时【自主解答】此类题型与概念的条件有关，如等腰三角形有两条边相等，直角三角形有一个角是直角等，解决此类问题的关键是对概念内涵的理解，而且在分类讨论之后还要判断是否符合概念本身的要求(如能否组成三角形)1(2018浙江温州中考)如图，已知 P 为锐角MAN 内部一点，过点 P 作 PBAM 于点 B，
2、PCAN 于点C，以 PB 为直径作O，交直线 CP 于点 D，连结 AP，BD，AP 交O 于点 E.(1)求证：BPDBAC.2(2)连结 EB，ED，当 tanMAN2，AB2 时，在点 P 的整个运动过程中5若BDE45，求 PD 的长；若BED 为等腰三角形，求所有满足条件的 BD 的长(3)连结 OC，EC，OC 交 AP 于点 F，当 tanMAN1，OCBE 时，记OFP 的面积为 S1，CFE 的面积为S2，请写出 的值S1S2类型二 由公式条件分类(2018江苏宿迁中考)在平面直角坐标系中，过点(1，2)作直线 l，若直线 l 与两坐标轴围成的三角形面积为 4，则满足条件的
3、直线 l 的条数是( )A5 B4 C3 D2【分析】根据题意可以设出直线 l 的函数表达式，然后根据题意即可求得 k 的值，从而可以解答本题【自主解答】32(2018浙江宁波中考)如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 是 AB 的中点，P 是 BC 边上的动点，连结PM，以点 P 为圆心，PM 长为半径作P，当P 与正方形 ABCD 的边相切时，BP 的长为_类型三 由位置不确定分类(2018山东潍坊中考)如图 1，在ABCD 中，DHAB 于点 H，CD 的垂直平分线交 CD 于点 E，交 AB于点 F，AB6，DH4，BFFA15.(1)如图 2，作 FGAD 于点 G，交 DH 于
4、点 M，将DGM 沿 DC 方向平移，得到CGM，连结 MB.求四边形 BHMM的面积；直线 EF 上有一动点 N，求DNM 周长的最小值(2)如图 3，延长 CB 交 EF 于点 Q，过点 Q 作 QKAB，过 CD 边上的动点 P 作 PKEF，并与 QK 交于点 K，将PKQ 沿直线 PQ 翻折，使点 K 的对应点 K恰好落在直线 AB 上，求线段 CP 的长【分析】(1)根据相似三角形的判定和性质以及平移的性质进行解答即可；4连结 CM 交直线 EF 于点 N，连结 DN，利用勾股定理解答即可；(2)分点 P 在线段 CE 上和点 P 在线段 ED 上两种情况进行解答【自主解答】3(2
5、018贵州铜仁中考)在同一平面内，设 a，b，c 是三条互相平行的直线，已知 a 与 b 的距离为 4 cm，b 与 c 的距离为 1 cm，则 a 与 c 的距离为( )A1 cm B3 cmC5 cm 或 3 cm D1 cm 或 3 cm4(2018山东威海中考)如图，抛物线 yax 2bxc(a0)与 x 轴交于点 A(4，0)，B(2，0)，与 y轴交于点 C(0，4)，线段 BC 的中垂线与对称轴 l 交于点 D，与 x 轴交于点 F，与 BC 交于点 E，对称轴 l与 x 轴交于点 H.(1)求抛物线的函数表达式；(2)求点 D 的坐标；(3)点 P 为 x 轴上一点，P 与直线
6、 BC 相切于点 Q，与直线 DE 相切于点 R.求点 P 的坐标；(4)点 M 为 x 轴上方抛物线上的点，在对称轴 l 上是否存在一点 N，使得以点 D，P，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出 N 点坐标；若不存在，请说明理由5参考答案类型一【例 1】 如图，当 AQPQ，QPB90时，设 AQPQx.PQAC，BPQBCA， ， ，BQBA PQAC 10 x10 x6x ，AQ .154 154如图，当 AQPQ，PQB90时，设 AQPQy.BQPBCA， ，PQAC BQBC6 ，y .y6 10 y8 307综上所述，满足条件的 AQ 的值为 或 .154 3
7、07故答案为 或 .154 307变式训练1解：(1)PBAM，PCAN，ABPACP90，BACBPC180.又BPDBPC180，BPDBAC.(2)如图，连结 DE，OC，EC.APBBDE45，ABP90，BPAB2 .5BPDBAC，tanBPDtanBAC， 2，BP PD，PD2.BDDP 5当 BDBE 时，BEDBDE，BPDBPEBAC，tanBPE2.AB2 ，BP ，BD2.5 5当 BEDE 时，EBDEDB.APBBDE，DBEAPC，APBAPC，ACAB2 .5如图，过点 B 作 BGAC 于点 G，得四边形 BGCD 是矩形7AB2 ，tanBAC2，5AG2
8、，BDCG2 2.5当 BDDE 时，DEBDBEAPC.DEBDPBBAC，APCBAC.设 PDx，则 BD2x， 2， 2，ACPC 2x 24 xx ，BD2x3.32综上所述，当 BD2，3 或 2 2 时，BDE 为等腰三角形5(3)如图，过点 O 作 OHDC 于点 H.tanBPDtanMAN1，BDPD.设 BDPD2a，PC2b，则 OHa，CHa2b，AC4a2b.OCBE 且BEP90，PFC90，PACAPCOCHAPC90，OCHPAC，ACPCHO， ，即 OHACCHPC，OHCH PCACa(4a2b)2b(a2b)，ab，即 CP2a，CH3a，则 OC a
9、.10CPFCOH，8 ，即 ，CFCH CPOC CF3a 2a10a则 CF a，OFOCCF a.3 105 2 105BEOC 且 BOPO，OF 为PBE 的中位线，EFPF， .S1S2 OFCF 23类型二【例 2】 设过点(1，2)的直线 l 的函数表达式为 ykxb.由 2kb 得 b2k，ykx2k.当 x0 时，y2k，当 y0 时，x ，k 2k令 4，|2 k|k 2k|2解得 k12，k 264 ，k 364 ，2 2故满足条件的直线 l 的条数是 3 条故选 C.变式训练23 或 4 3类型三【例 3】 (1)在ABCD 中，AB6，直线 EF 垂直平分 CD，D
10、EFH3.又 BFFA15，AH2.RtAHDRtMHF， ，HMFH AHDH即 ，HM3 24HM1.5.根据平移的性质得 MMCD6，如图，连结 BM，四边形 BHMM的面积 61.5 41.57.5.12 12如图，连结 CM 交直线 EF 于点 N，连结 DN.9直线 EF 垂直平分 CD，CNDN，MH1.5，DM2.5.在 RtCDM 中，MC 2DC 2DM 2，MC 26 2(2.5) 2，即 MC6.5.MNDNMNCNMC，DNM 周长的最小值为 9.(2)BFCE， ，QFQF 4 BFCE 13QF2，PKPK6.如图，过点 K作 EFEF，分别交 CD 于点 E，交
11、 QK 于点 F.当点 P 在线段 CE 上时，在 RtPKE中，PE 2PK 2EK 2，PE2 .5RtPEKRtKFQ， ，即 ，PEK F E KQF 2 52 4QF解得 QF ，PEPEEE2 ，4 55 5 4 55 6 55CP .15 6 55同理可得，如图，当点 P 在线段 DE 上时，CP .15 6 5510综上所述，CP 的长为 或 .15 6 55 15 6 55变式训练3C4解：(1)抛物线过点 A(4，0)，B(2，0)，设抛物线表达式为 ya(x4)(x2)把 C(0，4)代入得 4a(04)(02)，a ，12抛物线表达式为 y (x4)(x2) x2x4.
12、12 12(2)由(1)得抛物线对称轴为直线 x 1.b2a线段 BC 的中垂线与对称轴 l 交于点 D，点 D 在对称轴上设点 D 坐标为(1，m)如图，过点 C 作 CGl 于 G，连结 DC，DB，DCDB.在 RtDCG 和 RtDBH 中，DC 21 2(4m) 2，DB 2m 2(21) 2，1 2(4m) 2m 2(21) 2，解得 m1，点 D 坐标为(1，1)(3)点 B 坐标为(2，0)，C 点坐标为(0，4)，BC 2 .22 42 5EF 为 BC 的中垂线，BE .5在 RtBEF 和 RtBOC 中，cosCBF ，BEBF OBBC ，BF5，EF 2 ，OF3.
13、5BF 22 5 BF2 BE2 511设P 的半径为 r，P 与直线 BC 和 EF 都相切，如图，当圆心 P1在直线 BC 左侧时，连结 P1Q1，P 1R1，则 P1Q1P 1R1r 1，P 1Q1EP 1R1ER 1EQ190，四边形 P1Q1ER1是正方形，ER 1P 1Q1r 1.在 RtBEF 和 RtFR 1P1中，tan1 ，BEEF P1R1FR1 ，r 1 .52 5 r12 5 r1 2 53sin1 ，BEBF P1R1FP1FP 1 ，OP 1 ，103 13点 P1坐标为( ，0)13同理，如图，当圆心 P2在直线 BC 右侧时，连结 P2Q2，P 2R2，可求 r22 ，OP 27，5P 2坐标为(7，0)，点 P 坐标为( ，0)或(7，0)13(4)存在N 点坐标为(1， )，(1， )，(1， )8318 4718 4718
