1、2018-2019 学年高三上学期期中考试理数试题本试卷共 4 页 满分 150 分， 考试时间 120 分钟第 I 卷 共 60 分一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 ， ，则 （ ） B |10Ax|1BxyABA B C D |0x|R2.已知 ，则复数 （ ）A2zizA B C D1013i13i3下列四个结论, 其中正确的是（ ）A命题“ ”的否定是“ ”；若 是真命题，则 可能是真命题；7“ 且 ”是“ ”的充要条件； 当 时，幂函数 在区间 上单调递减.A B C D 4设 ，则不等式 的
2、解集为（ C ）2,)1(log,2)(3xexfx 2)(xf5若 的图象向右平移 个单位后所得的图象关于原点对称，则 可以是)2sin()xf 6（B ）A 6B 3C 4D 326 中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马 ”马主曰：“我马食半牛 ”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿 5斗粟羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还 升， 升， 升，1 斗为 10abcA ,
3、1B )0C ),10,D )2,1(升；则下列判断正确的是（ D ）A 依次成公比为 2的等比数列，且,abc 507aB 依次成公比为 2的等比数列，且 cC 依次成公比为 的等比数列，且,c1D 依次成公比为 的等比数列，且ab2507c7已知 ，则 ( )1sin543cosA. B. C. D.87818188如图所示，正弦曲线 ，余弦函数 与两直线 ， 所围成的阴影部sinyxcosyx0x分的面积为（ ）A. B. C. D.1229函数 的大致图象是 （ A )cos()(,21xfA B C D10 设 ， 为自然对数的底数，则 ， ， 的大小关系为( B )A. B. C.
4、 D. 11设函数 ，函数 ，若对任意的 ，总1xfe,0gxm12,x存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是（ D ）2,x2fA B C. D13,e,3e1,32,e12.已知数列 满足 设 ， 为数列 的前 项和若 （常数） ， ，则 的最小值是（ C ）A. B. C. D. yx2-2-1O1yx2-2-1O1 yx2-2-1O1 yx-1O1二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。13.已知向量 ， ，若 与 垂直，则实数 13. 1,a3,2bkabk114已知命题 ；命题 是增函数若“ ”为假mxRp1,：xmxfq)3()： qp命题且“ ”为真命题，则实数 的
5、取值范围为 14 q)2,115. 如图，在 中，若 ， ，则 的值为 15.-216. 在 中，内角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ，且 ， ，若，则 _16.3三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. （本小题满分 10 分）已知函数 223sincosinfxxx.（1）求 6f及 fx的单调递增区间；（2）求 f在闭区间 ,4的最值.17（1）f(x)= sin2x+ 3cos2x=sin(2x+ 3),则 f( 6)= 32,2k2x + 2k，k Z单调递增区间- 51+k , + k ,k .（2）由 x,4则 2x+ 35,6，sin(2x+
6、 3)- 12,1,所以值域为 - 12,1,18.设 为各项不相等的等差数列 的前 n 项和，已知 .nSa5739aS（(1)求数列 的通项公式；a(2)设 为数列 的前 n 项和，求 .nT1nnT18.解：（1）设数列 的公差为 d，则由题意知 解得na111(2)43(6),39,adad（舍去）或 所以 .(5 分)10,3da1,2.da(1)nn（2）因为 = ，1n()2所以 = + + = .（10 分）1231nnTaa()31()41()2n()n19.（本小题满分 12 分）在 中， ， 2 ， .ABC4AC5cos25(1)求 的值；sin(2)设 的中点为 ,求
7、中线 的长.D19.解：（1）因为 ，且 C 是三角形的内角，所以 sinC= = .25cos 21cosC5所以 sinisinBACB（= .（4 分）icosi25310(2) 在 ABC 中，由正弦定理，得 ，所以 =sinsiCABsinACBB，于是 CD= .在ADC 中，AC=2 ，2531061325cosC= ， （8 分）5所以由余弦定理，得 AD= =2cosACDCA，即中线 AD 的长为 .(12 分)52093520、已知数列 na的首项 1，其前 n项和为 nS，且对任意正整数 n，有 ,naS成等差数列.（1）求证：数列 2nS成等比数列；（2）设 nba，
8、求数列 nb前 项和 nT.11、解：（1） ,成等差数列， 2naS又 12nnS 2n即 1n 2nS 1nS又 140 2nS成等比数列.（2）由（1）知 n是以 1134Sa为首项，2 为公比的等比数列. 14n又 naS 12na 1nnnb1232nnTL13nL1nn21(本小题满分 12 分) 已知函数 （ 为常数） 2ln)(xaxf（）讨论函数 的单调性；(xf（）是否存在正实数 ，使得对任意 ，a,1,21ex|1|)(| 221xxff都有，若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由；a21(本小题满分 12 分) 【解析】（） （ 为常数）定义域为：2ln(x
9、xf),0(aa2)（）若 ，则 恒成立 在 上单调递增；00)(xf)(xf),0（）若 ，则 axaxaf 22)(2 令 ，解得 ；令 ，解得 0)(xf 20)(fx在 上单调递减，在 上单调递增)(f),a),2(a综上：当 时， 在 上单调递增；0a(xf,0当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增)(f)2,a),2(a（）满足条件的 不存在理由如下：a若 ，由（）可知，函数 在 为增函数；02ln)(xaxf,1e不妨设 ，则 ，即 ；ex21| 2121ff 12)(1)(xfxf由题意： 在 上单调递减，xfxg)(,1e 在 上恒成立；即 对 恒成立；02)( a, 21
10、xa,1e又 在 上单调递减； ；故满足条件的正实数 不21xy,e021eaa存在22.（12 分）已知函数 f(x) .xex 2e(1)求曲线 y f(x)在 x0 处的切线方程；(2)设函数 g(x) m(mR)，试讨论函数 f(x)与 g(x)的图象在(0，)上1x ln xx交点的个数21解：(1)由题意知， f( x) ，1 xex f(0)1，又 f(0) ，2e故所求切线方程为 y x，即 x y 0.2e 2e(2)令 h(x) f(x) g(x) m(x0)，xex 2e 1x ln xx则 h( x) .1 xex 1x2 1 ln xx2 1 xex ln xx2易知 h(1)0，当 00，当 x1时， h( x)1 时，函数 h(x)没有零点，1e 1e即函数 f(x)与 g(x)的图象在(0，)上没有交点；当 1 m0，即 m0)，xex 2e 1x ln xx则 h( x) .1 xex 1x2 1 ln xx2 1 xex ln xx2易知 h(1)0，当 00，当 x1时， h( x)1 时，函数 h(x)没有零点，1e 1e即函数 f(x)与 g(x)的图象在(0，)上没有交点；当 1 m0，即 m1 时，函数 h(x)有 2个零点，1e 1e即函数 f(x)与 g(x)的图象在(0，)上有 2个交点
