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类型椭圆性质总结及习题.doc

  • 上传人:weiwoduzun
  • 文档编号:4084388
  • 上传时间:2018-12-07
  • 格式:DOC
  • 页数:8
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    椭圆性质总结及习题.doc
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    1、椭 圆重点:椭圆的定义、椭圆的标准方程及椭圆的参数方程;难点:用椭圆的定义及基本性质求椭圆的方程。1 椭圆的两种定义:平面内与两定点 F1,F 2 的距离的和等于定长 的点的轨迹,即点集 M=P| 21Fa|PF1|+|PF2|=2a, 2a|F 1F2|;( 时为线段 , 无轨迹) 。其2121a中两定点 F1,F 2 叫焦点,定点间的距离叫焦距。平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于 1 的正常数的点的轨迹,即点集 M=P| ,0e1 的常数 。 ( 为抛物线; 为双曲线)dPee2 标准方程:(1)焦点在 x 轴上,中心在原点: (ab0) ;12yx焦点 F1(c,0) ,

    2、F2(c,0) 。其中 (一个 )2cRt(2)焦点在 y 轴上,中心在原点: (ab0) ;12xy焦点 F1(0,c) ,F 2(0,c) 。其中 c注意:在两种标准方程中,总有 ab0, 并且椭圆的焦点总在长轴上;2ba两种标准方程可用一般形式表示:Ax 2+By2=1 (A0,B0,AB) ,当AB 时,椭圆的焦点在 x 轴上,AB 时焦点在 y 轴上。3参数方程 :椭圆 的参数方程12byax)0(asincobyx)(为 参 数4.性质:对于焦点在 x 轴上,中心在原点: (a b0)有以下性质:12yx坐标系下的性质: 范围:|x| a,|y|b; 对称性:对称轴方程为 x=0,

    3、y=0,对称中心为 O(0,0) ; 顶点:A 1(-a,0) ,A 2(a,0) ,B 1(0,-b ) ,B 2(0,b) ,长轴|A 1A2|=2a,短轴|B1B2|=2b;( 半长轴长, 半短轴长) ; 准线方程: ;或cxcy2 焦半径公式:P(x 0,y 0)为椭圆上任一点。|PF 1|= =a+ex0,|PF 2|= =a-左r右rex0;|PF 1|= =a+ey0,|PF 2|= =a-ey0;下r上r caPFcaminmx,平面几何性质: 离心率:e= (焦距与长轴长之比) ; 越大越_, 是_。ac1,0e0e 焦准距 ;准线间距cbp2ca2二、焦点三角形结论一:若

    4、、 是椭圆 的两个焦点, 是椭圆上一点,且1F2 )0(12bayx P,当点 P 位于_时 最大,cos =_.21 |PF1|PF2|的最大值为_. 2tan21bSPF结论二:过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短,通径为_。三中点弦问题是椭圆 的一条弦,中点 M 坐标为 ,则直线的斜率为 AB21(0)xyab0(,)xy。四弦长问题.(1)斜率为 的直线与圆锥曲线相交于两点 , ,则所得的弦长 k1(,)Pxy2(,)xy或 .(2)当直线的斜率不存在时,可求出交点的坐标,直接运算;(3)经过圆锥曲线的焦点的弦( 也称为焦点弦)的长度问题,可利用圆锥曲线的定义,将其转化为利用

    5、 ,往往比利用弦长公式简单。五X轴正半轴到椭圆的最短距离问题:已知椭圆 ,则点(m ,O)到椭圆的最短距离为:_.)0(12bayx六过椭圆上点切线问题若 在椭圆 上,则过 的椭圆的切线方程是 .0(,)Pxy2xyab0P021xyab习 题1、 求椭圆 的长轴和短轴的长,离心率,焦点和顶点的坐标。26540xy2、已知椭圆的焦点为 和 ,P 是椭圆上的一点,且 是 与 的等1(,)F2(,)12F1P2差中项,则该椭圆的方程为_。3、 椭圆 上的一点 M 到左焦点 的距离为 2,N 是 的中点,则 ON 的长259xy1F1M是_。4、 如果方程 表示焦点在 x 轴上的椭圆,那么实数 k

    6、的取值范围是2kxy_。5、 过椭圆 的左焦点 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P, 为右焦点,21(0)ab1F2F若 ,则椭圆的离心率为_。126FP6、 设 是椭圆 的两个焦点,以 为圆心且过椭圆中心的圆与12,21(0)xyab1椭圆的一个焦点为 M,若直线 与圆 相切,则该椭圆的离心率为2F1_。7、点 P 是椭圆 上一点,F1 ,F2 是椭圆的两个焦点,且PF 1F2 的内切圆半径1625yx为 1,当 P 在第一象限时,P 点的纵坐标为_. 8、 (2009 年上海卷理)已知 1F、 2是椭圆1:2byaxC( a b0)的两个焦点,为椭圆 C上一点,且 P.若 21F的面积为 9,

    7、则 =_.9、 (2009 北京文)椭圆29xy的焦点为 12,,点 P 在椭圆上,若 1|4F,则2|PF; 12F的大小为 .10、已知椭圆 的左、右焦点分别为 、F 2,点 P 在椭圆上,若 P、F 1、F 2是一962yx1个直角三角形的三个顶点,则点 P 到 轴的距离为_。x11、设点 P(x,y)在椭圆 , (1)试求点 P 到直线 的距离 d 的最9y16x2 05yx大值和最小值。(2) 求 x+2y 的最小值。12、设 、 分别是椭圆 的左、右焦点.1F242y()若 是该椭圆上的一个动点,求 的最大值和最小值 ;P1PF2()设过定点 的直线 与椭圆交于不同的两点 、 ,且

    8、 为锐角(其),0(Ml ABO中 为坐标原点) ,求直线 的斜率 的取值范围. Ok13、已知椭圆的中心在原点 ,焦点在 x 轴上,点 ( 是其左顶点,点 在椭圆O)0,32C上,且 , 0CA|C()求椭圆的方程;()若平行于 的直线 和椭圆交于 两个不同点,求 面积的最大值,lNM, MN并求此时直线 的方程 l14、 已知椭圆 的离心率为 ,长轴长为 ,直线 21(0)xyab6323:lykxm椭圆于不同的两点 , AB()求椭圆的方程;()若 ,且 ,求 的值( 点为坐标原点) ;1m0OkO()若坐标原点 到直线 的距离为 ,求 面积的最大值l32AB15、在直角坐标系 中,点

    9、到 F1 、F 2 的距离之和是 4,点 的轨xyM(,0)(,)M迹 与 轴的负半轴交于点 ,不过点 的直线 : 与轨迹 交于不同的CAlykxbC两点 和 PQ(1)求轨迹 的方程;(2)当 时,求 与 的关系,并证明直线 过定点 0Akbl16、已知点 )1,(是椭圆)0(12ayx上的一点, 1F, 2是椭圆的两个焦点,且满足 4F.()求椭圆的方程及离心率;()设点 C, D是椭圆上的两点,直线 AC, D的倾斜角互补,试判断直线 CD的斜率是否为定值?并说明理由. 17、设椭圆方程为 ,过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于点 A、B,O 是坐42yx标原点,点 P 满足 ,点 N

    10、 的坐标为 ,当 l 绕点 M 旋O(A)B)21,(转时,求(1)动点 P 的轨迹方程;(2) 的最小值与最大值.|P18、已知椭圆 (ab0)的离心率 e= ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的21xyab32面积为 4.()求椭圆的方程;()设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B,已知点 A 的坐标为(-a,0).(i)若 ,求直线 l 的倾斜角;42AB5|=(ii)若点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上,且 .求 的值.y0( , ) QB=4Ay017、解:(1)法 1:直线 l 过点 M(0,1)设其斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1.记 A(x1,y1),B(x2,y2

    11、),由题设可得点 A、B 的坐标 (x1,y1)、 (x2,y2)是方程组的解. 将代入并化简得(4+k 2)x2+2kx-3=0,142yxk所以 .48,221ky于是 ).4,()2,()( 2211 kyxOBAP 设点 P 的坐标为(x,y), 则消去参数 k 得 4x2+y2-y=0 .4,2kyx当 k 不存在时,A 、B 中点为坐标原点(0,0) ,也满足方程,所以点 P 的轨迹方程为 4x2+y2-y=0 解法二:设点 P 的坐标为(x,y),因 A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上,所以 1421yx .2得 ,0)(12所以 .0)(4)( 212221yyxx当

    12、时,有 211 x并且 将代入并整理得 4x2+y2-y=0 .1,2,2xyyx当 x1=x2 时,点 A、B 的坐标为(0,2) 、 (0,2) ,这时点 P 的坐标为(0,0)也满足,所以点 P 的轨迹方程为 .14)(162yx(2)由点 P 的轨迹方程知 所以.,2x即127)6(3)()1()(| 222 xyxN故当 , 取得最小值,最小值为41| 1;4当 时, 取得最大值,最大值为16x|NP.62118.【解析】 ()解:由 e= ,得 .再由 ,解得 a=2b.3ca24ac22ab由题意可知 ,即 ab=2.124b解方程组 得 a=2,b=1,所以椭圆的方程为 .,a

    13、214xy()(i)解:由()可知点 A 的坐标是(-2,0).设点 B 的坐标为 ,直线 l1(,)xy的斜率为 k.则直线 l 的方程为 y=k(x+2).于是 A、B 两点的坐标满足方程组 消去 y 并整理,得2(),1.4ykx.222(14)6(1)0kxk由 ,得 .从而 .122184x124ky所以 .222| 4kkABk(2)当 时,线段 AB 的垂直平分线方程为 。0k221844kkyx令 ,解得 。x02614ky由 , ,02,QAy10,Bxy21010 2228646411kkx ,42654k整理得 。故 。所以 。27k1702145y综上, 或 。0y0245y

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