1、 目 录 第 1 章 索洛增长模型 视频讲解 6 第一部分 重难点解读 . 6 第二部分 经典考题详解 . 18 第 2 章 无限期界与世代交叠模型 视频讲解 . 22 第一部分 重难点解读 . 22 第二部分 经典考题详解 . 38 第 3 章 新增长 理论 视频讲解 . 48 第一部分 重难点解读 . 48 第二部分 经典考题详解 . 60 第 4 章 真实经济周期理论 视频讲解 . 62 第一部分 重难点解读 . 62 第二部分 经典考题详解 . 73 第 5 章 传统凯恩斯主义波动理论 视频讲解 . 77 第一部分 重难点解读 . 77 第二部分 经典考题详解 . 88 第 6 章 不
2、完全名义调整的微观经济基础 视频讲解 . 91 第一部分 重难点解读 . 91 第二部分 经典考题详解 . 108 第 7 章 消 费 视频讲解 . 111 第一部分 重难点解读 . 111 第二部分 经典考题详解 . 120 第 8 章 投 资 视频讲解 . 124 第一部分 重难点解读 . 124 第二部分 经典考题详解 . 139 第 9 章 失 业 视频讲解 . 145 第 10 章 通货膨胀与货币政策 视频讲解 . 160 第一部分 重难点解读 . 160 第二部分 经典考题详解 . 170 第 11 章 预算赤 字与财政政策 视频讲解 . 173 第一部分 重难点解读 . 173
3、第二部分 经典考题详解 . 180 AP0068AP0074AP0074AP0070AP003AAP002FAP002FAP007AAP0068AP0061AP006FAP0072AP0065AP006EAP0078AP0069AP002EAP0074AP0061AP006FAP0062AP0061AP006FAP002EAP0063AP006FAP006D第 1 章 索洛增长模型 视频讲解 第一部 分 重难点解读 “ 一 旦人们开始思考（ 经济增长 ） 问 题，他将很难再顾及其他问题 。 ” 罗伯特 卢卡斯 （ Robert Lucas， 1988） 1.1 模型 假设 投入与产出 生产函数
4、采取如下形式： ,Y t F K t A t L t 其中， t ： 时间 ， A ： 有效劳动 劳动增加型 的或 哈罗德中性 。 生产函数 生产函数 是 规模报酬不变 的： ,F cK cAL cF K AL ，对于所有 0c 规模不变 结合 两个不同的假设：第一是经济规模足够大，以至于专业化的收益已被全部利用。第二是除资本、劳动与知识以外 的其他投入相对不重要。 把单位有效劳动的产出写成单位有效劳动的函数： 1,1 ,KF F K ALAL AL 定义 /k K AL ， /y Y AL 以及 ,1f k F k ， 得： y f k 关于 fk的 假设 ： （ 1） 00f ， 0 fk
5、 ， 0 fk （如何推导？比较重要！） AP0051AP0051AP003AAP0031AP0034AP0038AP0037AP0033AP0036AP0036AP0032AP0033AP0030AP0051AP0051AP003AAP0031AP0034AP0038AP0037AP0033AP0036AP0036AP0032AP0033AP0030（ 2）稻田条件（ Inada condition）： 0lim k fk， lim 0 k fk柯布一道格拉斯函数 ： 1, , 0 1 F K AL K AL。 根据规模报酬不变假设，整理可得： ()f k k ，图示如图 1.1 所示。 图
6、 1.1 柯布 -道格拉斯生产函数 生产投入的演化 给定资本、劳动与知识的初始水平，劳动与知识以不变的增长率增长： L t nL t A t gA t 其中， n 与 g 是外生参数 。 求解 以上 两微分方程，可得： 0 ntL t L e 0 gtA t A e 假设： 用于投资的产出份额 s 是外生且不变的 ，则 有 资本动态积累方程 ： K t sY t K t 其中， 为 资本折旧 率。 1.2 模型动态学 AP0068AP0074AP0074AP0070AP003AAP002FAP002FAP007AAP0068AP0061AP006FAP0072AP0065AP006EAP007
7、8AP0069AP002EAP0074AP0061AP006FAP0062AP0061AP006FAP002EAP0063AP006FAP006Dk 的动态学 由于 /k K AL ，利用链式法则： 2 K t K tk t A t L t L t A tA t L t A t L t K t K t L t K t A tA t L t A t L t L t A t L t A t结合如上关于技术进步率与人口增长率的假设， 可得： sY t K tk t k t n k t gA t L t Yts k t n k t g k tA t L t 由规模报酬不变假设 有： k t sf k
8、t n g k t 第一项 sf kt 为每单位有效劳动的实际投资：每单位有效劳动的产出为 fk，该产出的投资份额为 s ；第二项 n g k 为 持平投资 为使 k 保持在 现有水平上 所必须进行的投 资量。 当每单位有效劳动的实际投资大于持平所需的投资时， k 上升；当实 际投资小于持平所需的投资时， k 下降；当二者相等时， k 不变 ，如图 1.2 所 示 。 图 1.2 实际投资与持平投资 一个重要问题： 试证明图 1.2 中实际投资曲线与持平投资曲线只相交一次。 资本 k 与其增长率的图示可表示如下： 图 1.3 索洛模型中 k 的相图 平衡增长路径 AP0051AP0051AP0
9、03AAP0031AP0034AP0038AP0037AP0033AP0036AP0036AP0032AP0033AP0030AP0051AP0051AP003AAP0031AP0034AP0038AP0037AP0033AP0036AP0036AP0032AP0033AP0030平衡增长路径下， 劳动与知识分别以速率 n 与 g 增加。资本存量 K 等于 ALk ；由于 k 在 k 处不变， K 在以速率 gn 增长（且 /KK 等于 gn ）。在资本与有效劳动以速率 gn 增长的条件下，规模不变的假设意味着产出Y 正在以该速率增长。最后，每工人的平均资本 LK 以及每工人的平 均产出 LY
10、 在以速率 g 增长。在平衡 增长路径上，每个工人的平均产出增长率只由技术进步率唯一地决定。 1.3 储蓄率变动的影响 假设一 索洛经济 体处于平衡增长路径 ， s 永久性增加 对产出的影响 s 的增加使实际投资线向上移动，因而 k 上升 ，如 图 1.4 所示。 图 1.4 用于投资的储蓄率增加的效应 图 1.4 分析的是比较静态，转移动态如图 1.5 所示： AP0068AP0074AP0074AP0070AP003AAP002FAP002FAP007AAP0068AP0061AP006FAP0072AP0065AP006EAP0078AP0069AP002EAP0074AP0061AP0
11、06FAP0062AP0061AP006FAP002EAP0063AP006FAP006D图 1.5 储蓄率增长的效应 通过如上分析： 储蓄率的变化具有 水平效应 ，但不具有 增长效应 ：它改变了经济的平衡增长路径，但这并不影响平衡路径 上每个工人的平均产出增长率。 对消费的影响 设 c 表示均衡增长路径上单位有效劳动的消费 ， 等于单位有效劳动的产出减去单位有效劳动的投资 sf k 。在平衡增长路径上，实际投资等于持平投资 n g k ， 因而： c f k n g k 平衡路径上的资本 k 由 s 以及模型的其他参数靠 n 、 g 与 决定 ， 即 , , ,k k s n g 。 对消费
12、关于储蓄率求导： , , , , , k s n gc f k s n g n gss s 的增加是否在长期内会提高或降低消费 取决于 资本的边际产品 fk 是否大于或小于 ng 。如果 fk 小于 ng ，那么由增加的 资本所获得的产出的增加并不 足以把资本存量维持在较高水平上，消费必定下降。 另一方面，如果 fk 大于 ng ，消费 必定 上升。 平衡增长路径上的 产出 、 投资与消费 参 见 图 1.6。在平衡增长路径上，消费等于产出减去持平投资。因此，在 kk处， c 等于 fk与 n g k 之间的距离。 AP0051AP0051AP003AAP0031AP0034AP0038AP0
13、037AP0033AP0036AP0036AP0032AP0033AP0030AP0051AP0051AP003AAP0031AP0034AP0038AP0037AP0033AP0036AP0036AP0032AP0033AP0030图 1.6 平衡增长路径上的产出 、 投资与消费 1.4 定量含义 长期内对产出的影响 储蓄增加对产出的长期效应可 由以下公式表示： , , , k s n gy fkss 平衡增长路径上 k 满足： AP0068AP0074AP0074AP0070AP003AAP002FAP002FAP007AAP0068AP0061AP006FAP0072AP0065AP00
14、6EAP0078AP0069AP002EAP0074AP0061AP006FAP0062AP0061AP006FAP002EAP0063AP006FAP006D , , , , , , s f k s n g n g k s n g 两边求关于 s 的导数， 可 得： kksf k f k n gss 整理得： fkks n g sf k 代 入上式 得： f k f kys n g sf k如下变化为求解产出对于储蓄率的弹性： ( ) /1/ f k f ks y ssy f k n g s f kn g k f kf k n g n g k f k f kk f k f kk f k f
15、k / k f k f k 是在 kk处的产出关于资本的弹性 ， 用 Kak表示这个弹性 ： 1 K Kaksysy a k 在完全竞争市场下， Kak为资本收入份额。 直觉上， Kak的一个较小值会使储蓄对产出产生影响 ， 其理由是 ：其一，它意味着实际投资曲线 sf k 更为弯曲，曲线的向上移动只会将它与持平投资线的交点向上移出一点；其二， Kak的低值意味着 k 的变化对 y 产生的影响不大。 收敛速度 目标在于确定 k 怎样快速地趋向 k 。在 kk附近， kk的一阶泰勒展开式的近似值为： kkkkk k kk 设 表示 /| kkk k k， () k t k t k。 求解常微分方
16、程，可得： 0 tk t k e k k 求解 得 ： AP0051AP0051AP003AAP0031AP0034AP0038AP0037AP0033AP0036AP0036AP0032AP0033AP0030AP0051AP0051AP003AAP0031AP0034AP0038AP0037AP0033AP0036AP0036AP0032AP0033AP0030 |1 kkKkkksf k n gn g sf kn g k f kngfka k n g证明 ： y 以与 k 趋向于 k 的相同的速率趋向于 y ，即 0 ty t y e y y。 1.5 索洛模 型与增长理论的核心问题 索
17、洛模型确认了每个工人平均产出的两种 可能的变化来源：每个工人平均资本（ LK ）的差异与劳动有效性（ A ）的差异。索洛模型的核心结论是，如果在市场中资本所要求的报酬是其对产出贡献的 大致指标，那么，物质资本积累的变化并不能解释世界性经济增长的显著部分，或者国家间的收入差别。 索洛模型意味着资本积累的差异无法说明收入的较大差别。理解这个结论有两种方法： 其一 ， 考虑每个工人平均资本所要求的差异。设以每个工人平均资本的差异为基础来解释两个经济间每个工人平均产出的 X 倍的差异。由于每个工人平均产出关于每个工人平均资本的弹性是 Ka ，所以每个工人平均资本的对 数必须存在 数量为 ln KXa的
18、差异，即每个工人平均资本的差异为 (ln )/ KXae 或 1/KaX 倍。 其二， 资本所需要的差异意味着资本报酬率的巨大差异。如果市场是竞争性的，资本的报酬率等于其边际产品 fk减去折旧 。 对于 柯布一道格拉斯型生产函数，资本的边际产品为 ： 1 1 1/ f k ak ay，意味着 资本的边际产品关于产出的弹性为 1。因此，由于资本的报酬是 fk ，报酬率的差异甚至更大 ， 并不存在证明这种报酬率差异的证据。 在索洛模型中，每个工人平均产出差异的其他潜在来源是劳动的有效 性 。把生活标准的差异归之于劳动有效性的差异，这并不要求资本或报酬率的巨大差异。沿一个平衡增长路径，例如，资本正以
19、 与产出相同的速度增长，资本的边际报酬 fk是不变的。 更为根本的是，索洛模型并没有确认 “ 劳动的有效性 ” 是什么 ， 它只是一个除了劳动与资本之外的影响产出的其他因素的 结合 。声称收入的差异起因于劳动有效性的差异，这无异于断言收入的差异并非来源于每个工人资AP0068AP0074AP0074AP0070AP003AAP002FAP002FAP007AAP0068AP0061AP006FAP0072AP0065AP006EAP0078AP0069AP002EAP0074AP0061AP006FAP0062AP0061AP006FAP002EAP0063AP006FAP006D本的差异。为
20、了推进分析，必须 分析 诸如劳动有效性的含义是什么，什么因素引致其变化 等 问题。 一种自 然的可能性是劳动有效性与抽象的知识相对应。为了理解世界性的增长，分析那些随着时间变化的知识存量的决定因素将是必要的。为了理解国家间真实收入的差异，人们将必须解释为什么一些国家的 厂商比另一些国家的厂商拥有更多的知识，以及为什么更大的知识不能快速地转移给穷国。这些将成为内生增长理论 要研究的基本问题。 1.6 经验性应用 增长因素分析 增长 因素分析法 由埃布拉默维茨（ Abramovitz）与索洛开创 。 生产函数 ,Y t F K t A t L t ，全微分分解 ： Y t Y t Y tY t K
21、 t L t A tK t L t A t YL与 YA分别表示 Y AL A与 Y AL L。给该式两 边同除以 Yt并且改写右边的项可得： KLY t K t Y t K t L t Y t L t A t Y t A tY t Y t K t K t Y t L t L t Y t A t A tK t L ta t a t R tK t L t 并且利用 1LKa t a t 得 出 每工人平均产出增长率的表达式： KY t L t K t L ta t R tY t L t K t L t 该式 把每工人平均产出的增长分解成每工人平均资本的增长的贡献与剩余项 索洛残值 ，它有时被解释
22、成对技术进步贡献的度量 ， 反映了除资本积累通过其私人 报酬所做出的贡献之外的增长的所有来源。 杨格 （ Young， 1995） 利用 增长因素分析 来研究 新兴工业化国家的超常规增长 ，研究发现， 在这些国家中，比世界其他国家高的增长几乎完全可归功于投资增加、劳动力参与的提高以及劳动力质量的改善（用教育表示），而不能归功于影响索洛残值的快速技术进步与其他力量。 收敛性 基于以下三个理由，人们期待出现 穷国比富国倾向于更快地增长 ： （ 1） 索洛模型预期国家会收敛于其平衡增长路径。每工人平均产出的差异程度来源于其现在所处的与其平衡增长路径相对应的不同的位置。人们会预期穷国赶上富国。 （ 2
23、） 索洛模型意味着资本的报酬率在具有更多的每工人平均资本的国家是较低的。因此，存在着资本由富国流向穷国的激励。这也将倾向于引致收敛。 （ 3） 若存在着知识扩散的 延滞，那么由于一些国家仍未使用最好的可利用的技术，收入差异会出现，这些差异会随着穷国获得尖端的方法而趋于减少。 鲍默尔 （ Baumol， 1986） 检查 了 16 个工业化国家 1870 1979 年间的收敛性，依据一个常数与初始收入回归了这个时期的产出增长，估计了如下公式： ,1 9 7 9 ,1 8 7 0 ,1 8 7 0l n l n l n ii i iY Y YabN N N其中， ln /YN 是人均收入的对数，
24、是误差项， i 代表国家。如果存在收敛性， 则 b 是负的：具有 较高初始收入的国家存在较低的增长。 回归结果 为： AP0051AP0051AP003AAP0031AP0034AP0038AP0037AP0033AP0036AP0036AP0032AP0033AP0030AP0051AP0051AP003AAP0031AP0034AP0038AP0037AP0033AP0036AP0036AP0032AP0033AP0030 0 .0 9 4, 1 9 7 9 , 1 8 7 0 , 1 8 7 0l n l n 8 .4 5 7 0 .9 9 5 l n i i iY Y YN N N 2
25、 0.87, . . . 0.15R s e e 图 1.7 显示了与 这种回归相 对应 的散点图 。横轴表示 1870 年的每资本收入对数，纵轴表示每资本收入增长对数。 图 1.7 鲍默尔样本中的初始收入与随后的增长 回归表明了几乎完善的收敛性 ， b 的估计几乎等于 -1，并且它被估计得十分精确。 但是， 德 朗格（ DeLong， 1988）证明，鲍默尔的结论大体是伪造的 。 它存在两个问题： （ 1） 样本选择。德 朗格考虑了 1870 年最富有的国家。图 1.8 是无偏样本的散点图。新国家的纳入显著地削弱了收敛情形。回归现在产生了数量 为 -0.566 的 b 的估计值 ， 标准差为
26、 0.1440。 考虑了鲍默尔程序中的选择偏向的分析消除了大约一半其所发现的收敛性。 图 1.8 扩大的样本中初始收入与随后的增长 （ 2） 度量误差。在 1870 年的每资本平均真实收入的估计是不太精确的，度量误差再次形成了寻找收敛性的偏差。因此 ， 德 朗格考虑了如下的模型： *, 19 79 , 18 70 , 18 70l n l n l n ii i iY Y YabN N N *,18 70 ,18 70l n l n iiiYY uNN 其中 ， *1870ln /YN在 1870 年是每资本收入的对数的真实值，而 1870ln /YN是其估计值 ， 假设 与 u 彼此不相关，且
27、与 1870ln /YN也不相关。 储蓄与投资 费尔德斯汀与胡瑞卡（ Feldstein and Horioka， 1980）发现，储 蓄与投资之间是强相关的。特别地，费尔德斯汀与胡瑞卡依据一个常数与储蓄占 GDP的平均份额对 21 个工业化国家在 1960 1974 年间的投资占 GDP的平均份额进行了回归分析，得出的结 论为： AP0068AP0074AP0074AP0070AP003AAP002FAP002FAP007AAP0068AP0061AP006FAP0072AP0065AP006EAP0078AP0069AP002EAP0074AP0061AP006FAP0062AP0061A
28、P006FAP002EAP0063AP006FAP006D( 0 .0 1 8 )( 0 .0 7 4 )0 .0 3 5 0 .8 8 7 iiISYY， 2 0.91R 对于费尔德斯汀与胡瑞卡的发现，存在各种可能的解释 ： （ 1） 资本流动性的障碍显著存在。在这种情形下，国家间储蓄与投资的差异将与报酬率的差异相关联，但是并不存在这种报酬率差异的迹象 。 （ 2） 存在一些影响储蓄与投资的基本变量。例如，高税率既会减少储蓄 和 投资 。 （ 3） 储蓄与投资之间强劲的联系可能来自政府政策 它们抵消那些使储 蓄与投资产生差异的力量。 1.7 环境与经济增长 区分如下两种环境因素：第一种是存在
29、良好界定产权的环境因素 如 自然资源与土地；第二种是没有良好产权界定的环境因 素 如 自由排放在空气与水中的污染。 对于一种环境性的产品，产权的存在将具有两个重要含义 ： 第一， 市场提供了有关产品如何被利用的宝贵信号 ； 第二， 可利用产品的价格获得有关其在生产中的意义的证据。 在环境产品并不存在产权的条件下，产品的使用具有外部性。例如，厂商可在不对其所侵害的人们做出补偿的条件下进行污染。在这种情形 下，政府干预会更强。并且 ， 也没有市场价格提供有 关产品重要性的便利且总结性的证据 。 因此，对环境问题感兴趣的经济学家必定试图自己去评估该证据。 自然资源与土地 ：一种基本情形 为使分析具有
30、可操作性，以柯布一道格拉斯生产函数的情形分析 ： 10 , 0 , 0 , 1 Y t K t R t T t A t L t其中， R 表示生产中可利用的资源， T 表示土地数量。 资本、土地与劳动有效性的动态学与前面一样： K t sY t K t， L t nL t ， A t gA t 。 此外最重要的假设： 0 Tt 。 资源禀赋被固定以及资源在生产中使用的事实意味着资源使用必定会最终下降 ： R t bR t ， 0b 在生产函数中，资源与土地的出现意味着 KAL 不再收敛于某一个值。在这种情 形下 ，提出 如下 疑问，是否存在平衡增长路径 ， 如果存在，那么处在该路径上的经济变量
31、的增长率是什么 ？ AP0051AP0051AP003AAP0031AP0034AP0038AP0037AP0033AP0036AP0036AP0032AP0033AP0030AP0051AP0051AP003AAP0031AP0034AP0038AP0037AP0033AP0036AP0036AP0032AP0033AP0030依据假设， A 、 L 、 R 与 T 都 以不变的速率增加。 资本的运动方程 K t sY t K t，意味着 K 的增长率为： K t Y tsK t K t因此，为使 K 的增长率保持不变， KY 必定是不变的，即 Y 与 K 的增长率必定相等。 对生产函数两边
32、 取对数，可得： l n l n l n l n 1 l n l n Y t K t R t T t A t L t 可得： 1 Y K R T A Lg t g t g t g t g t g t 其中， Xg 表示 X 的增长率。 R 、 T 、 A 与 L 的增长率分别是 b 、 0 、 g 与 n ， 因此 ： 1 YKg t g t b n g 如果经济处在一个平衡增长路径上， Yg 与 Kg 一定相等 ， 把 KYgg代 上式，可得： 1 1 bgpY n g bg 其中， bgpYg 表示处在平衡增长路径上的 Y 的增长率。 一种解释性 的计算 资源与土地的约束引致每工人平均的资
33、源利用量与土地利用量下降，从而减少了增长。假设 T t nT t 与 R t nR t 替代，不存在资源与土地的限制 二者均同人口一起增长。在这个经济的平衡增长路径上，每工人平均产出的增长率为： 1 11 bgpYLgg 源于资源与土地限制的 “ 增长阻力 ” （ growth drag）等于这种假设情形中的增长与资源和土地限制情形中的增长二者之间的差额： 11 11 b g p b g pY L Y L g g b n bnD r a g g g 因此，增长阻力随资源份额（ ） 、土地份额 （ ） 、正在下降的资源利用率（ b ）、人口增长率（ n ）与资本份额（ ）而递增。 复杂性 土地资
34、源的存量是固定的，并且资源的使用最终 必定下降。因此，尽管在过去的几个世纪内，技术已能够超越资源与土地的限制，但它仍然表明，那些限制必定最终成为对生产能力的严格约束。 污染 生产造成了污染，这种污染减少了可度量的产出。也就是说，如果关于真实产出的数据在反映产出对其效用影响的价格水平上解释了全部生产的产出，污染将会以一个负的价格进入。此外， 污染 会上升，直至其减少传统度量的产出的点。例如，全球变暖由其对海平面与天气状态的影响而减少产出。 经济理论并不会为我们提供有关污染的乐观理由。由于那些制造污染的人并不负担污染成本，一个非管制的市场将会导致 过度 污染。 应当估计负的外部性的 价值 ，并且对
35、污染征收该数量的税款。 AP0068AP0074AP0074AP0070AP003AAP002FAP002FAP007AAP0068AP0061AP006FAP0072AP0065AP006EAP0078AP0069AP002EAP0074AP0061AP006FAP0062AP0061AP006FAP002EAP0063AP006FAP006D第二部 分 经典考题详解 1 设生产函数是柯布 道格拉斯型的。 （ a）找出作为模型参数 s 、 n 、 、 g 和 的函数的 k 、 y 与 c 的表达式。 （ b） k 的黄金律值是什么？ （ c）获得黄金律资本存量所需的储蓄是什么？ 解： （ a
36、）下式描述了每单位有效劳动的资本的动态方程式： 定义柯布 道格拉斯生产函数为： f k k ，将其代入上式， 得 ： 在平衡增长路径处，每单位有效劳动的投资恰好与每单位有效劳动持平投资相等，从而 k 保持不变，则有 ： sk n g k 从上式可以解出： 1 / 1k = s / n + g + （ 1） 下面求解平衡增长路径处的每单位有效劳动的产出水平 y ： 将方程（ 1）代入 f k k ，则可以解出平衡增长路径处的每单位有效劳动的产出水平 y ： /1* /gy s n （ 2） 下面求解平衡增长路径处的每单位有效劳动的消费水平 c 。 将方程（ 2）代入 1c s y ，则可以求得平
37、衡增长路径处的每单位有效劳动的消费水平为： /11/*c = s s n g （ 3） 综合上述方程（ 1）、（ 2）和（ 3）可以解出 k 、 y 与 c 关于模型参数 s 、 n 、 、 g 和 的函数表达式。 AP0051AP0051AP003AAP0031AP0034AP0038AP0037AP0033AP0036AP0036AP0032AP0033AP0030AP0051AP0051AP003AAP0031AP0034AP0038AP0037AP0033AP0036AP0036AP0032AP0033AP0030（ b）黄金率的资本存量水平是指每单位有效劳动的消费水平达到最大化时的资
38、本存量水平。考察这一指标的意义在于考察社会的福利水平，这也是经济学一切分析的核心所在，比考察资本、产出等经济变量更有意义。 由方程（ 1）可以解出 s ，即： 1s= n+ g+ k （ 4） 将上式代入方程（ 3），有下式： /1111c = n + g + K n + g + K / n + g + 上式可以简化为： * *c = k n+ g + d k （ 5） 即每单位有效劳动的消费等于每单位有效劳动的产出减去每单位有效劳动的实际投资，而均衡状态时，每单位有效劳动的实际投资等于每单位有效劳动的持平投资。 下面求 *c 关于 *k 的最优化，可以由（ 5）得出： * * * 1/0c
39、k k n + g + 再简化为： *1=aak n+g+ （ 6） 方程（ 6）的定义暗含了黄金规则的资本水平。其中，方程（ 6）左边，因为 * 1 *ak f k ，则， *f k n g 表明生产函数的斜率等于持平投资的斜率。 可以由方程（ 6）解出黄金规则要求的最佳资本水平 ， 即 k 的黄金律值： 1 / 1*GRk / n + g + （ 7） （ c）将方程（ 7）代入方程（ 4）即可以得到黄金规则所要求的资本水平： 1 / 1GRs = n + g + / n + g + 进一步简化为： GRs （ 8） 由方程（ 8）可以得出：对于柯布 道格拉斯生产函数，黄金规则所要求的储蓄
40、率等于产出的资本弹性，也即资本的产出份额。 2 索洛模型中的要素支付。假设劳动与资本均按其边际产品支付。令 w 表示 /F K AL L ， ，且 r 表示 F K AL / K ， 。 （ a）证明劳动的边际产品 w 是 A f k kf k。 （ b）证明如果资本与劳动均按其边际产品支付，那么不变的规模报酬意味着生产要素的总支付量等于总的净产出，即证明在不变的规模报酬条件下， w L rK F K A L K ， 。 （ c）随着产出份额被支付给资本与劳动，资本报酬（ r ）大致也不随时间而变化。处在平衡增长路径上的索洛经济展现这些特征吗？处在均衡增长路径上的 w 与 r 的增长率是多少？ （ d）假设经济由一个数量为 *kk 的水平开始。随着 k 移向 *k ， w 是否以大于、小于或等于其处在平衡增长路径时的增长率的速率增长？ r 会怎样呢？ 答： （ a）劳动的边际产品为： /W = F K AL L ， 生产函数为： /Y = ALf k = ALf K AL AP0068AP0074AP0074AP0070AP003AAP002FAP002FAP007AAP0068AP0061AP006FAP0072AP0065AP006EAP0078AP0069AP002EAP0074AP0061AP006FAP0062AP0061AP006FAP00
