1、一、条件概率,二、全概率公式,三、贝叶斯公式,第2.1节 条件概率 全概率公式与贝叶斯公式,将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反两方面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正面”,事件B为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率.,分析,事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为,1. 引例,一、条件概率,说明 若事件B已发生,则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道B发生,故B变成了新的样本空间.,3. 性质,2)从加入条件后改变了的情况去算,4. 条件概率的计算,1) 用定义计算:,P(B)0,P(
2、A|B）=,B发生后的缩减样本空间所含样本点总数,在缩减样本空间中A所含样本点个数,例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?,解法1:,解法2:,解: 设A=掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出6点,应用定义,在B发生后的缩减样本空间中计算,5. 乘法定理,例2 一盒子装有4 只产品,其中有3 只一等品,1只二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品” ,事件B 为“第二次取到的是一等品”,试求条件概 P(B|A).,解,由条件概率的公式得,例3 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8, 活到25岁以
3、上的概率为0.4, 如果现在有一个20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是多少?,设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件; B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件,则有,解,例4 五个阄, 其中两个阄内写着“有”字, 三个阄内不写字 , 五人依次抓取,问各人抓到“有”字阄的概率是否相同?,解,则有,抓阄是否与次序有关?,依此类推,故抓阄与次序无关.,波利亚罐模型,解,此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.,当c=0时，对应有放回模型，当c=-1时，对应不放回模型，此模型是一般摸球模型,例6 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,
4、 第二次落下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.,解,以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.,1. 样本空间的分割,二、全概率公式,2. 全概率公式,全概率公式,证明,说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.,例7 有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占 30% , 二厂生产的占 50% , 三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?,设事
5、件 A 为“任取一件为次品”,解,由全概率公式得,30%,20%,50%,2%,1%,1%,例8(p61例3）送检的两批灯管在运输中各打碎一支，若每批10支，而第一批中有1支次品，第二批有两支次品，现在从剩下的灯管中任取一支，问抽得次品的概率是多少？,说明 由例8可以看出，同一个题目，都用到了全概率公式，但方法各异。主要原因是在对样本空间进行了不同的分割，导致了同一题目，不同解法的结果,三、贝叶斯公式,称此为贝叶斯公式.,贝叶斯资料,证明,证毕,例9,解,(1) 由全概率公式得,(2) 由贝叶斯公式得,解,例10,由贝叶斯公式得所求概率为,上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的, 叫做
6、先验概率.,而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做后验概率.,先验概率与后验概率,解,由贝叶斯公式得所求概率为,即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有38人患有癌症.,说明 后验概率的大小受到先验概率大小的影响。先验概率的取得可以通过以前的经验所得，或者由有经验的专家给出。,例11(p65例6）为了判断一个字母是C还是O，通常采用先抽取它的某一个特征X，然后再根据这些特征作出判决,贝叶斯决策,由贝叶斯公式可得,因此谁的后验概率大，谁发生的可能性就大,1.条件概率,全概率公式,贝叶斯公式,小结,乘法定理,作业 习题二 3、6、8、11、13、 14、15,贝叶斯资料,Thomas
7、 Bayes,Born: 1702 in London, EnglandDied: 17 April 1761 in Tunbridge Wells, Kent, England,例1 设袋中有4只白球, 2只红球 , (1) 无放回随机地抽取两次, 每次取一球, 求在两次抽取中至多抽到一个红球的概率? (2) 若无放回的抽取 3次, 每次抽取一球, 求 (a) 第一次是白球的情况下, 第二次与第三次均是白球的概率? (b) 第一次与第二次均是白球的情况下 , 第三次是白球的概率?,备份题,解,则有,例2 掷两颗骰子, 已知两颗骰子点数之和为7, 求其中有一颗为1点的概率.,解,设事件A 为“ 两颗点数之和为 7 ”, 事件 B为 “ 一颗点数为1 ”.,故所求概率为,掷骰子试验,两颗点数之和为 7 的种数为 3,其中有一颗为 1 点的种数为 1,例3 设一仓库中有10 箱同种规格的产品, 其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱 , 3箱, 2 箱,三厂产品的废品率依次为 0.1, 0.2, 0.3 从这 10箱产品中任取一箱 , 再从这箱中任取一件产品,求取得的正品概率.,设 A 为事件“取得的产品为正品”,分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的”,由题设知,解,故,
