1、华北电力大学 孙海蓉,第二章 控制系统的数学模型,2.1 基本概念2.2 微分方程的建立2.3 传递函数2.4 动态结构图（方框图）2.5 动态结构图的等效变换求传递函数2.6 信号流图和梅逊增益公式2.7 控制系统的典型传递函数2.8 典型环节的传递函数 附1：Laplace变换 附2：单元小结,2.1 基本概念,一、控制系统数学模型的定义 描述系统输入与输出动态关系的数学表达式。二、建立控制系统数学模型的意义 数学模型是进行控制系统性能分析的前提条件。三、建立控制系统数学模型的方法 1、理论建模* 2、试验建模 3、系统辨识四、控制系统数学模型的几种形式 1、微分方程 2、传递函数* 3、
2、频率特性*,2.2 微分方程的建立,2.2.1 微分方程的建立实例：无源电网络模型、机械位移、机械旋转、直流电动机系统2.2.2 控制系统数学模型特征1、微分方程的阶数等于整个系统中蓄能元件的个数；2、同一个系统，选择不同输入或输出信号，微分方程的形式则不同；3、数学模型存在的共性是系统性能仿真研究的理论依据(相似系统)。2.2.3 非线性模型的线性化1、线性模型的特征：齐次性和叠加性2、非线性模型线性化问题的提出：理论研究和工程应用的需要3、线性化的基本方法：静态工作点附近线性化（级数展开）4、液位系统线性化模型求取应用实例,课后练习一,无源电网络模型实例,要求：确定图示无源电网络的输入ur
3、(t) 和输出uc(t)之间的数学模型；求解：Step1.依据回路电压定律， 设置中间变量回路电流i(t)， 从输入到输出 建立微分方程组；Step2.代入消元，消除中间变量i(t)，获仅含输入输出变量的线性连续微分方程。化微分方程为规范结构形式,机械位移实例,要求：确定图示外力发F(t)(输入)与质量模块 m的位移y(t)(输出)之间的数学模型；求解：Step1.依据运动学定律 F = m a，建立微分 方程组Step2.获仅含输入输出变量的线性连续微分方程。化微分方程为规范结构形式,机械旋转实例,要求：确定图示动力矩Mf(输入)与物体旋转角 度或角速度(输出)之间的数学模型；求解：Step
4、1.依据运动学定律，作用力矩=反作用力 矩，M = J a，建立微分方程组。Step2.获仅含输入输出变量的线性连续微分方程。化微分方程为规范结构形式,直流电动机系统实例,要求：确定直流电动机电枢两端电压和转速之间的数学模型。 求解：依据基尔霍夫定律；运动学定律；直流发电机相关定律。 建立微分方程组 电网络平衡方程 电动势平衡方程 机械平衡方程 转矩平衡方程,（空载Ml=0）,当 时，有则函数y=f(x)在A点附近可以展开成泰勒级数,线性化的基本方法(微偏线性化),略去高次项，,已知,即,略去增量符号，则非线性函数在预定工作点A的线性化方程为,液位系统线性化模型求取应用实例,求取过程确定系统的
5、输入和输出建立原始方程组非线性模型线性化系统微分方程的求取,无源电网络模型,机械位移模型,相似系统,课后练习一,习题1 建立图示电网络输入电压和输出电压之间的微分方程。 习题2 建立图示初箱输入流量和末箱水位之间的微分方程。（两个水箱的横截面积分别为C1和C2）,记 ，称f(t) 为F(s)的拉氏逆变换（象原函数）,记 ，称F(s)为f(t)的拉氏变换（象函数）,附：拉氏变换定义,设函数f(t)当t=0时有定义，且积分,在s的某一域内收敛，则此积分可以写成,称上式为f(t)的Laplace变换式。,拉氏变换的线性性质,、为常数，,拉氏变换的微分性质,零初始条件下，,拉氏变换的平移定理,拉氏变换
6、的初值定理,拉氏变换的终值定理,基本函数及其拉氏变换,2.3 传递函数 2.3.1 定义及表示形式,设SISO线性定常系统，可用n阶线性微分方程描述： 令X(s)= Lx(t)，Y(s)=Ly(t)。零初始条件下，对上式左右两边求拉氏变换，得s的代数方程：定义：线性定常系统在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为系统的传递函数。,2.3.2 传递函数的特征及性质,1、传递函数表征了系统对输入信号的传递能力，是系统的 固有特性，与输入信号类型及大小无关。2、传递函数只适用于线性连续定常系统。3、传递函数仅描述系统的输入/输出特性。不同的物理系统可以有相同的传递函数。同一系
7、统中，不同物理量之间对应的传递函数也不相同。4、初始条件为零时，系统单位脉冲响应的拉氏变换为系统的传递函数。 5、实际系统中有nm，n称为系统的阶数；6、传递函数是系统性能分析的最简形式之一。,线性定常系统的线性微分方程描述：零初始条件下，两边取Laplace变换,方法一：依据系统微分方程确定输入/输出间的传递函数,2.3.3 传递函数的求取方法及应用举例,方法二：依据微分方程组代入消元求传递函数,解题过程：,负载效应,方法三:电网络系统可利用复阻抗的直接求取传递函数(例1),解题过程：,方法三:利用复阻抗的直接求取传递函数(例2),解题过程：,要点：复阻抗概念和分压定理,方法四：依据系统的输
8、入输出信号求传递函数,系统单位阶跃输入及零初始条件下的输出响应为：求传递函数。,2.4 动态结构图（方框图）,组成：信号线、方框、引出点、和点特点：直观明了，具有明确的物理意义和数量关系，用于定量分析；简化复杂系统传递函数的求取过程；便于在不同输入或输出情况下全面分析系统性能；便于进行控制系统的设计与改造。 绘制,依据原始模型,方框图的绘制-例1:双容水箱,方框图的绘制-例2:无源网络,无源网络依据复阻抗概念直接绘制,2.5 方框图等效变换求传递函数,1. 串联,2.并联,3.负反馈连接,Specially:,4.和点与方框的互换,移动前: C(s)=R1(s)R2(s)G(s),移动后: C
9、(s)=R1(s)G(s)R2(s)G(s),移动前: C(s)=R1(s) G(s)R2(s),移动后: C(s)=R1(s)G(s)R2(s),等价是唯一原则,5.引出点和方框的互换,6.和点互换、引出点互换,举例,解:,例1：,例2：,解:,例3：,解:,例4：,解:,X,Y,方法：引出点往一起移动，或和点往一起移动。,练习：,课后练习,2.6 信号流图和梅逊增益公式,信号流图：,节点：表示信号；支路：信号传递的方向和大小。！注意：”节点”在动态结构图中的表现形式,梅逊增益公式-基本术语,前向通路； 前向通路增益；回路； 回路增益；互不接触回路。,公式表述, ：特征式 ：所有回路增益求和
10、 ：所有两两互不接触回路增益求和 ：所有三个互不接触回路增益求和 n ：前向通道条数 ：第k条前向通道的增益 ：特征式对应于第k条前向通道的余因子式,梅逊增益公式,举例,余因子式:,前向通道的增益,所有回路和增益,例 1:,解:,L1=-G1G2G3H2, L2=-G1G2G3H1, L3=-G1G4H2,不接触回路:,例 2:,解:,L1=-G1G2H1, L2=-G2H1, L3=-G2G3H2,余因子式:,前向通道的增益,所有回路和增益,不接触回路:,例 3:,解:,L1=-G1G2G3, L2=-G1G2H1, L3=-G2G3H2, L4=G1G4.,余因子式:,前向通道的增益,所有
11、回路和增益,不接触回路:,局部应用梅逊公式，简化求取过程！,例 4:,余因子式:,前向通道的增益:,所有回路和增益:,例 5:,解:,一些变量,2.7 控制系统的典型传递函数,典型传递函数的定义 线性系统的叠加原理 典型传递函数的应用举例,（1）假定 N(s)=0，给定输入的闭环传递函数,（2）假定 R(s)=0，扰动输入的闭环传递函数,典型传递函数的定义,（3）假定 N(s)=0，给定输入的误差传递函数,（4）假定 R(s)=0，扰动输入的误差传递函数,（5）开环传递函数,举例,例:,假定 F(s)=0, N(s)=0 ，,假定 R(s)=0, F(s)=0,假定 R(s)=0, N(s)=
12、0,（1）N(s),R(s)同时作用于系统时的系统输出,（2）N(s),R(s)同时作用于系统时的系统误差,线性系统的叠加原理,SP1.给定系统如图所示 (1) 计算闭环传递函数 (2) 如果想克服扰动对输出的影响，确定 .,典型传递函数的应用举例-1,解:,(1),(2),SP2.如图所示系统,假定零初始条件下，r(t)=n(t)=1(t)，计算系统的输出响应c(t)和稳态误差ess.,典型传递函数的应用举例-2,解:计算c(t),稳态误差ess解法一:,Laplace终值定理，,稳态误差ess解法二:,2.8 典型环节的传递函数,比例环节惯性环节积分环节微分环节二阶振荡环节一阶微分环节二阶
13、微分环节,基本概念 建模的目的控制系统数学模型的定义数学模型的求取方法和求取过程方法数学模型的种类重点之一：控制系统的典型结构形式及其数学模型重点之二：构成控制系统的典型环节的传递函数 典型习题归类习题讲解与练习,单元总结-线性连续控制系统数学模型,数学模型的种类,传递函数,频率特性,微分方程,传递函数：（1）具有明显的因果关系C(s)=G(s)R(s)（2）通过传递函数，将研究系统输入输出动态关系的复杂问题过渡到研究传递函数的结构特征上。（3）将复杂系统的建模过程分解为对局部设备的建模因此，传递函数在后续系统性能分析与设计过程中使用的最为频繁!,注意传递函数定义!,典型习题归类,已知物理模型
14、求数学模型 物理模型种类：无源电网络、有源电网络、机械位移、机械旋转。 数学模型求取方法：依据相关定理，建立原始微分方程组；由零初始条件下的拉氏变换求代数方程组；绘制系统方框图；确定输入和输出信号，求系统传递函数。 已知系统方框图化简求表征系统各种特征的数学模型 确定所求模型的名称及输出和输入，方框图等效变换求传递函数； 确定所求模型的名称及输出和输入，梅逊增益公式求传递函数； 化整为零，局部应用增益公式求传递函数； 等效变换与梅逊增益公式相互结合，扬长避短求传递函数。 已知系统零初始条件的输出输入函数求数学模型 分别求输入和输出函数零初始条件下的拉氏变换； 依据传递函数的定义求系统确定输入输出之间的传递函数。,已知某控制系统的输入 ，输出 求系统传递函数 C(s)/R(s)。 单位反馈系统的开环传递函数的单位阶跃响应函数为 ,求系统的开环传递函数和闭环传递函数。 试绘制下图所示无源网络方框图并求其传递函数，其中R1=R2=1，L=1H，C=1F。 求图示系统输入电压与输出电压之间的传递函数。,习题讲解与练习,求图示方框图中系统开环传递函数、特征方程以及各种输入输出间的闭环传递函数。,1,2,3,习题讲解与练习,
