1、1第一章 行列式1. 231540136=8(1)()()2()241312 012)nnnnm m （ ） 该 数 列 为 奇 排 列（ ） 该 排 列 为 偶 排 列（ ） 当 或 时 ， 为 偶 数 ， 排 列 为 偶 排 列当 或 时 ， 为 奇 数 ， 排 列 为 奇 排 列 （ 其 中 ， ，（ ） 12 (1)35)6()0224351)46)( 012)2.()(n nnnik （ 当 或 时 ， （ 为 偶 数 ， 排 列 为 偶 排 列当 或 时 ， （ 为 奇 数 ， 排 列 为 奇 排 列 （ 其 中 ， ，解 ： 已 知 排 列 的 逆 序 数 为 ， 这 个 数 按
2、 从 大 到 小 排 列时 逆 序 数 为1 12 )2()xxxn nxiriinxii 个 .设 第 数 之 后 有 个 数 比 小 ， 则 倒 排 后 的 位 置变 为 ， 其 后 个 数 比 小 ， 两 者 相 加 为故 3 证明：.因为：对换改变排列的奇偶性，即一次变换后，奇排列改变为偶排列，偶排列改变为奇排列 当 n 2 时，将所有偶排列变为奇排列，将所有奇排列变为偶排列 因为两个数列依然相等，即所有的情况不变。 偶排列与奇排列各占一半。4 （1） 不是行列式的项 是行列式的项 因为它的列排排列逆序列3241a1423a=(4321)=3+2+0+0=5 为奇数， 应带负号（2）
3、不是行列式的项 = 因为它的列排排列逆5142351135241324512a序列 (34512)=2+2+2+0+0=6 为偶数 应带正号。 5 解： 利用 为正负数来做，一共六项， 为正，则带正号， 为负则带1234142aa负号来做。6 解：（1）因为它是左下三角形= =1233.120.0nnnaaa12314122344.0nnaaa=2331232（2）= +1231452341250aaa2324514520aa= =0213245124510aa11121200a（3） = =3220317512345（4）= =00xyyx012 2310xy yy x 5y7.证明： 将行
4、列式转化为 若 零元多于 个时，121212nnnaaaa12120.0naa2n行列式可变为 故可知行列式为 0.210.0.na8.（1） 5 = 5 50436120413623106243109244595106312373121211212121112211211.)(.)0=ymxbyxyxyxybyxyxyx 第 一 章 高 数 3册9.()经 过 ， ，斜 率 代 入 (，则又 由左 边 21212 0yxx 右 边则问 题 特 征 ：2222sincosics10.45cs.=+1=bcabbcabab利 用 性 质 和 分 成 六 个 行 列 式 相 加其 余 结 合 为
5、零 故原 式 性 质 222 cos1scooo-2+(1)_cscs05oo（ ） 列 列性 质4 2234220013. 04010101.23432yzxxyxyzzz yzzxyzyzyzxxabcdabc 列列列列 1- 2+3234 43-4 461060 0233261063602abcdabcdabcabcabcdbca 列 加 到 行 行列 行 行行 行1-2+3-1+1213112231231230-0623-260-34!4nnn nnxaaxx 列 列列 列列 列降 阶 312323 121311211 221-+2 + 313- 10-0n nn nx n nxaxa
6、xaa x 列 列列 列 降 阶习题一13 （1）xyDxyy根据“定义法” (.45.)()Innyy（2） 0D 6根据“降阶法” n(1)(+1)23n-14(+1)2n-1D 将 第 2列 加 到第 列 上 得 -123n-1123n- 041n(+) (+)= 12 1n 将 前 一 行 乘 以 加到 后 一 行 得(2)n11-1-1n(+)(n-)=- -11 将 列 加到 列 上 得变 为 阶 1-nn(+)=-21-n1 -(1)2n10()-100nn 列 加 到列2(1)2 32(1)2()n n nn n （3） 2122221111211111 a(1)()()()(
7、)1()()nnnnnnaaaaana 转 置(1-!n 范 达 蒙 行 列 式注：根据范达蒙行列式原式= 123(1)()2()(!()!nnA 1 -1 =(1)2!()!n7（4）121112222n12-11 annnnnnabaab 第 行 提 出 得12111222n-1121211 1nnn nnnn babaabbaa = =21122n-1121211nn nnbbaaa 1231()()jnni jijbaab14 （1）证明：cosicos22n+cosicos22inincos2=coscs+2cos2sin-+co+2cos2 +=s(insin)cos(incoss
8、in)222 +co(icosi)228cosincosincosin222111i()()()ssisi(2)证明： 1234241xx12341x（3）12 (-1)()naxaanxaaa最 后 一 行 乘 以 加 到 行 得121212300nnnxxxaa （4） “递推法”01210100nxax01n+ 112 0(-) ()0nnxxaa x 降 阶 1nxD1221201:nnnnnaxD 由 此 类 推915.(1) = +=(ab+1)(cd+1)-a(-d)=(ab+1)(cd+1)+ad(2) = =(4-6) (-1-15)=32(3) = +=-a(c-d) -a
9、(d-b) -a(d-c) =abd= abd (c-b)(d-b)(c-d)10(4) = =( = =16.范达 行列式 V( )= 31()x13221()()()nnnxxx （ 21112211nnnnxxaaaa 转 量行 列 式1112121112nnnnxaa = 21()nxax ） （ ） 21(a-） 1na （ ） 32(-） 11nna（ ） (-)（1）因为 2a 为常数。所以 p(x)是 n-1 次的多项式（2）令 p(x)=0.得 x= 1.x= 2 1na即 p(x)的根为 121na 第二章 矩阵代数4.计算下列矩阵乘积（1）32041=3*20()3*1(
10、2)3(1)20*444()() =6570241(2)20314=*21()2*3(1)400* =237815(3). (1,-1，2） 1=（ 1*2+（-1）*1+2*4,1*1+(-1）*1+2*2，1*0+（-1）*3+2*1=（9，4，1）（4）（x,y,1）121abxyc12()a=（x,y,1）121xaybc12 12121212()()xaybaxybxyc= xc（5）1022102=102201=4015.设 A=32，B=02，求222,()AB与2A=11=702B=3012=9542A=70=6308B=132= 52()A=656=24036.(1)A=co
11、sini13n=1 时 A=cosinin=2 时 2A=isincossinico=cosin=3 时 3A= 2A=cosin2iscosini=cosini假设 nAsiicon（1 当 n =1 时， 1A=sinico（2 假设当 n2 时（n 为自然数）成立，令 n=k，则 kA=cosini成立；当 n=k+1 时1kA= A=cosiiskcosini=cosinnicoscosiisnkkk =(1)i(1)sik 成立综上当 n 微自然数时 nAcosini10(2)A当 n=1 时， 1014当 n=2 时， 2101210A当 n=3 时， 330110假设 =nA()
12、201n当 n=1 时 =10假设 n=k+1 时1 (1)020kKkA =(1)120k= 成立(1)120k综上当 n 为自然数时，(1)20nnA15A10a当 A=2 时 222100aan=3 时 3A232310aan=4 时 43243460aan=5 时 5A432545100aa假设 n 时成立 3n12312100nnnnCa当 n=3 时 3A232310aa假设 n=k 时成立 k12312100kkknkkaCa当 n=k+1 时 1ka12312100kkkkkaCa0a16=1212321100kkkkkkkkaaCaC 整理得成立1ka12(1)23(1)31
13、 21()00kkkkkkaCa 所以 nA12312100nnnnaaC()综上 =nA2 123122 110100()() ()0nnnnaaaCan 7、已知 B=14032证明 E,当 n 为偶数；nBB,当 n 为奇数证明： 21421421003032()kkBE21kkB =E,当 n 为偶数；nB,当 n 为奇数8、证明两个 n 阶上三角形矩阵的乘积仍为一个上三角形矩阵。证明：设两个 n 阶上三角形矩阵为 A,B,17且 A= 12120nnaaB=12120nbb根据矩阵乘法，有AB=112120nnnnababab 则可知 AB 为上三角形矩阵同理，可得 BA 也为上三角
14、形矩阵。9、若 AB=BA,AC=CA,证明：A、B、C 为同阶矩阵，且 A(B+C)=(B+C)A,A(BC)=BCA.证：设 A= ，B= ，C=()ijmna()ijnt()ijns由题知 AB、BA 有意义，则可知必有 m=s,又由于 AB=BA,且 AB 为 mn 阶矩阵，则可知 m=n,所以A、B 均为 n 阶矩阵。同理可知 A、C 均为 n 阶矩阵，故可得 A、B、C 为同阶矩阵C,ABA又 由 于=CCB则 A10、已知 n 阶矩阵 A 和 B 满足等式 AB=BA，证明：（1） 22（2） （3） 12mmmABABCB为 正 整 数2解 ： 118=AB222,BAB由 于
15、 则 原 式22AB0由 于 ， 则2=BA故3数 学 归 纳 法22mB当 时 ， 成 立n设 时 成 立 ，123211nnnABACmB当 时 ，121nnnB23311nnnACA1B221n nnB3231nCA2nnB12mmmCAB综 上 ，11、 121212nnnbbBn 解 ： 由 题 知 必 为 阶 矩 阵 ， 设12212nnnabbABa 则1912nabab1212212nn nbBAba 12122nnnbaba 12AB由 于 ， 且 ， ， ， 两 两 互 不 相 等 ，1nb则 必 有 除 ， ， ， 等 元 之 外 的 元 均 为 零 ，2nBb故即 必
16、为 对 角 矩 阵 。12、证明1,ijijmnnsAaBb将 分 成 块 ， 分 成 一 行 为 一 块12112212,nmmnnaaAB即 121212nmmnaaAB则201212212nmmnaaABi的 第 个 行 向 量 为12,1,iiinaa Bns若 将 分 成 一 列 为 一 块 ， 分 成 块12121212, snnnsbbA 即 121212, snnnsbbBA 121212TnsssbbAABj的 第 个 列 向 量 为12,1,jjnjbbs 13、acdAbdaTacdcdbbabda22222200accbcdac 21422TAabcd从 而又 22c1
17、4、11212 211nnnnnxyxyD 记 为122 212=xyDxy当 时 ， 3n当 时 ， 1212300010nnnxyyDx 12120,3xyn，故 原 行 列 式2记 121311222333123cosscossssnnnnnD1212co=2co当 时 ，12cssin3n当 时 ， 1122cosi0coscosinin00sinnD 22212sin,03D故记 11122212121nnnnnnnnababDabab21nijijijij1221nnnD则1222111nnnabb 11jijiijnijnabjijiij15、1,0abAdcc1*1baa 则d
18、bca*AT其 中 为 的 伴 随 矩 阵 （ 下 同 ）23cosin2iA1*siinco23301A*272,010A1(2)A当 n=1 时， 10A当 n=2 时， 212100当 n=3 时， 331100A假设 =n()210n当 n=1 时 =1A0假设 n=k+1 时241 (1)020kKkA =(1)120k= 成立(1)120k综上当 n 为自然数时，(1)20nnAA10a当 A=2 时 222100aan=3 时 3A232310aan=4 时 43243460aa25n=5 时 5A43254510aa假设 n 时成立 3n12312100nnnnaCa当 n=3
19、 时 3A232310aa假设 n=k 时成立 k12312100kkknkkaCa当 n=k+1 时 1ka12312100kkkkkaCa0a=1212321100kkkkkkkkCaaa 整理得成立1ka12(1)23(1)31 21()00kkkkkkaCa 所以 nA12312100nnnnaaC()综上 =nA2 123122 110100()() ()0nnnnaaaCan 16、 （1）26解：设 1234x123456x1243x 由得： 1234;08;xx得 08（2）设 1234x1234689x123468x由，得： 1213431;();(9)4xxx得：1133(
20、9)4x（3）设123x12310x271230x由方程组，得： 123;xx得（4）设123465x123465911075x324615324917xx得 13142562;();(7)8(85);3xx x得：1212()(7)385xxxx（5）设123456789xx28123456789001x45612378901x465132789430x得 123456789;1;2xxx得012x19、（1）解： 3210DA15324213D3562方程组的解为：312123,2Dx（2）2911242035DA1251244;283503D3416;42521030D方程组的解为：31
21、24124,1,Dx（3） 1212356056056()005()56193195606DA1 400515673;3956DD1205601D方程组的解为：（4）3512412345,507966xx有且仅有 或 时，222()()()DAabcbcabca bc0a无意义；则其他情况=00DA302223232113abcDabcabc22323222cabcca方程组的解为：22323231Dcbcabca312,Dxyzc（4） 257634A1523*8479A*11342（5） 131026A由 1EEA经 过 初 等 变 换31得 12341006AE12343410152026C 23(1)3410052301C 341()524105620331451C 432418052530814C 32150124975013C 2102671750314C 1EA162750314A(6)
