1、固体物理学习题解答 ( 仅供参考 ) 参加编辑学生 柯宏伟（第一章），李琴（第二章），王雯（第三章），陈志心（第四章），朱燕（第五章），肖骁（第六章），秦丽丽（第七章） 指导教师 黄新堂 华中师范大学物理科学与技术学院 2003 级 2006 年 6 月 1 第一章 晶体结构 1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为 a。 解： 氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个 Na+和一个 Cl 组成的正负离子对。金刚石的基元是一个面心立方上的原子和一个体对角线上的原子组成的原子对。 由于 NaCl和金刚石都由面心立
2、方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为： 123()2()2()2aaa a j ka k ia i j相应的晶胞基矢都为： ,.aaaaibjck2. 六角密集结构可取四个原胞基矢1 2 3,a a a 与 4a ,如图所示。试写出 13OAA 、1 3 3 1AABB 、 2 2 5 5ABBA 、 1 2 3 4 5 6A A A A A A 这四个 晶面所属晶面族的晶面指数 hkl m 。 解： (1)对于 13OAA 面，其在四个原胞基矢上的 截矩分别为：， 12 ，。所以，其晶 面指数为 1121 。 (2)对于 1 3 3 1AABB 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：， 12
3、， 。所以，其晶面指数为 1120 。 (3)对于 2 2 5 5ABBA 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：， 1 ， ， 。2 所以，其晶面指数为 1100 。 (4)对于 1 2 3 4 5 6A A A A A A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为： ， ， ，。所以，其晶面指数为 0001 。 3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的比为： 简立方： 6 ；体心立方： 38 ； 面心立方： 26 ；六角密集： 26 ； 金刚石：316 。 证明： 由于晶格常数为 a，所以： (1)构成简立方时，最大球半径为 2m aR，每个原胞中占有一个原子， 3
4、 343 2 6m aVa 3 6mVa (2)构成体心立方时，体对角线等于倍的最大球半径，即： 43mRa ，每个晶胞中占有两个原子， 3 34 3 3223 4 8mV a a 32 38mVa (3)构成面心立方时，面对角线等于倍的最大球半径，即： 42mRa ，每个晶胞占有个原子， 3 34 2 2443 4 6mV a a 34 26mVa (4)构成六角密集结构时，中间层的三个原子与底面中心的那个原子恰构成一个正四面体，其高则正好是其原胞基矢 c 的长度的一半，由几何知识易知463 mRc 。原胞底面边长为 2mR 。每个晶胞占有两个原子， 3 334822 33m m mV R
5、R ， 原胞的体积为： 2 3462 s i n 6 0 8 23m m mV R R R2 2632mVV (5)构成金刚石结构时， 14 的体对角线长度等于两个最大球半径，即： 32 4mRa，每个晶胞包含 8 个原子， 3 34 3 3883 8 1 6mV a a 38 316mVa 4. 金刚石结构原子间的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同，试用矢量分析的方法证明这一夹角为 10928 。 证明： 如图所示，沿晶胞基矢的方向建立坐标系，并设晶格常数为。选择体对角线 AB 和 CD ，用坐标表示为 1,1, 1和 1,1,1 。 所以 ,其夹角的余弦为： 1c o s 3A B C
6、DA B C D 1a r c c o s ( ) 1 0 9 2 83 5. 试求面心立方结构 (110)和 (111)晶面族的原子数面密度，设晶格常数为 a。 解： 如图所示，面 ABCD 即 (110)面，面 CDE 即为 (111)面。设该面心立方的晶格常数为 a，则 在 (110)面内选取只包含一个原子的面 AFGD，其面积为 222a a a ，所以其原子数面密4 度为： 221222aa 在 (111)面内选取只包含一个原子的面 DHIG，其面积为： 2223( ) s in2 3 4aa ， 所以其原子数面密度为： 221 4 3334aa 6. 若在面心立方结构的立方体心位置
7、上也有一原子，试确定此结构的原胞，每个原胞内包含几个原子，设立方边长为 a。 解： 这种体心立方结构中有五种不同的原子。顶角、体心上的原子是两种不同的原子，另外，面心上的原子前后、上下、左右的原子两两一组，是互不相同的原子。故此种结构共有五种不同的原子，整个面心立方就是一个原胞。每个原胞中的原子数为： 118 1 3 2 582 （个） 7. 底心立方（立方顶角与上、下底心处有原子）、侧心立方 （立方顶角与四个侧面的中心处有原子）与边心立方（立方顶角与十二条棱的中点有原子）各属何种布拉维格子？每个原胞包含几个原子？ 解： 这三种结构都属于简立方结构，原胞包含的原子数分别为： 底心立方： 1 8
8、18 侧心立方： 118 4 382 边心立方： 118 12 484 8. 试证六角密集结构中 8 1.633ca 5 解： 如图所示， ABC 分别表示六角密集结构中中间层的三个原子，表示底面中心的原子。 DABC 构成一个正四面体，为长为 a。 DO ABC面 ，则 2cDO 3 1 3 3,2 3 2 6D E a O E a a ，且 DO OE 则由勾股定理得， 223 3 62 6 3O D a a a ， 262 3c O D a ， 2 6 8 1 .6 333ca 第二章 晶体中的衍射 1. 试证明面心立方与体心立方互为正倒格子。 方法 1： 6 面心立方： 123()2(
9、)2()2aaaa j ka k ia i j（ 1） 由正格子和倒格子的转换关系 1 2 32 3 13 1 22 ( ) /2 ( ) /2 ( ) /b a ab a ab a a （ 2） 其中： 1 2 3()a a a 得： 1232()2()2()b i j kab i j kab i j ka （ 3） 在体心立方中 123()2()2()2aa i j kaa i j kab i j k （ 4） 由（ 2）式可得 1232()2()2()b j kaa k iaa i ja（ 5） 比较（ 1）与（ 5），（ 3）与（ 4）便可得面心立方与体心立方互为正，倒格子。 方法 2
10、： 由方法一中的（ 1）可知正格子与倒格子之间存在如下关系： 7 2i j i jab 10ij ,ijij 由此可得面心立方的倒格子基矢：1232 ()2 ()2 ()b i j kab i j kab i j ka 同理可得体心立方的倒格子基矢：1232()2()2()b j kaa k iaa i ja比较可得面心立方和体心立方互为正倒格子。 2. ,abc 为简单正交格子的基矢，试证明晶面族（ h k l）的晶 面间距为 2 2 2 1 / 2 ( / ) ( / ) ( / ) h k ld h a k b l c 解： , , ,a a i b b j c c k ()a b c
11、a b c 由 19(2.2.7)p 知 *2 ( ) /2 ( ) /2 ( ) /a b cb c ac a b 可得： *222aiabjbckc * * * 2 2 2hk h a k b l c h i k j l ka b c 再由 22p 中 hk 和 hkld 的关系： 2/h hklkd可得： 8 2 2 22 2 222 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )h k lh k l a b ch k la b chd k 得证。 3. 六角密集结构如取如下原胞基矢 1233,2 2 2 2aaa i a j a i a j c c k 试写出其倒格子基矢。 方法一： 2
12、12 33( ) ( 3 ) ( )2 2 2 2aaa a c i j i j c k a c 12 22 ( ) / ( 3 3 )3b a c i ja 21 22 ( ) / ( 3 3 )3b c a i ja 解得。 12 22 ( ) /c a a kc 方法二： 由正格子和倒格子之间的关系： 2i j ijab 可得： 1 1 1 2 1 32 2 3, , 03b b baa 2 1 2 1 2 32 2 3, , 03b b baa 3 1 3 2 3 3 20 , 0 ,c c c c 12 22 ( ) / ( 3 3 )3b a c i ja 21 22 ( ) /
13、( 3 3 )3b c a i ja 12 22 ( ) /c a a kc 9 4. 如 X 射线沿简立方原胞的 Oz 负方向入射，求证当 2 2/ 2 /( )a l k l 和2 2 2 2c o s ( ) /( )l k l k 时，衍射光线在 yz 平面上， 为衍射线和 Oz 轴的夹角。 证明： 简立方的原胞的正格子基矢为： 123a aia aja ak3a 其倒格矢为： 123222,biabjabka2 2 2hk h i k j l ka a a 由图可知： 2221 c o ss i n c o s22llk 22 2 2 2222 2 1 / 22 2 1 / 2 2
14、2 1 / 22sin22 sin22()( ) ( )hlla k l l kmklkllkm k l k l 2 1 / 22将 ， 代入得：2m （h ）ah当 m=1， 2h =0 时，上式可以成立 当 h=0 时， hk 只有 ,kj分量，即 0k 只有 k 分量，而 0 hk k k ,k 亦只有 y，10 z 分量，即衍射光线在 yz 平面上。 5. 设在氯化钠晶体中， 位于立方晶胞的（ 0 0 0） ，（ 1/2 1/2 0） ，（ 1/2 0 1/2）与（ 0 1/2 1/2）诸点；而 Cl 位于（ 1/2 1/2 1/2），（ 0 0 1/2），（ 0 1/2 0）与（ 1
15、/2 0 0）诸点。试讨论衍射面指数和衍射强度的关系。 解： 25p 中 的 （ 2 . 4 . 1 1） 可 知： 22c o s 2 ( )sin 2 ( )j j j jjj j j jjf m h u m k v m lwf m h u m k v m lw m h , m k , m lI对于氯化钠晶胞： c o s ( ) c o s ( ) c o s ( )c o s ( ) c o s c o s c o sN a N a N a N ac l c l c l c lf f m k m h f m k m l f m h m lf m k m h m l f m l f m
16、k f m h m h , m k , m lI（ 1）当衍射面指数全为偶数时， 216( )Na clI f f衍射强度最大， （ 2）当衍射面指数全为奇数时， 216( )Na clI f f由于 cl 与 Na 具有不同的散射本领，使衍射指数全为奇数的衍射具有不为零但较低的强度。 6. 试求金刚石型结构的几何结构因子，设原子散射因子为 f 。 解： 几何结构因子 () ji k rjjF k f e 其中 j j j jr u a v b w c * * *0 ()h k l h k lK k k K m K m h a k b l c * * *2 ( ) / , 2 ( ) / ,
17、2 ( ) / ,a b c b c a c a b ()a b c 为晶胞的体积。 j j j jr u a v b w c 。 金刚石型结构的晶胞内八个原子的位矢为（ 0 0 0）， （ 1/2 1/2 1/2 ），（ 1/2 0 11 1/2），（ 0 1/2 1/2），（ 1/4 1/4 1/4），（ 3/4 3/4 1/4），（ 3/4 1/4 3/4），（ 1/4 3/4 3/4）且八个原子为同种原子， 金刚石型结构的几何结构因子为： 1 1 1()( ) ( ) ( ) 2 2 23 3 1 3 1 3 1 3 3( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2() i
18、m h k li m h k i m h l i m l ki m h k l i m h k l i m h k lF K f fe fe fe fefe fe fe 7. 设一二维格子的基矢 1 0.125a nm , 2 0.250a nm , 12aa与 夹角 a=120 ，试画出第一与第二布里渊区。二维倒格子基矢 12,bb与正格子基矢间有如下关系： 102 , i j i j i jba ,ijij 解： 120 . 1 2 5 ; 0 . 2 5 0a n m a n m 令 11,a a a ai则 2 3a ai a j 1222 2 233i j ijbab i j b j
19、aaa ， 1223bab i jbj令 。则b （ 3 + ）b中间矩形为第一布里渊区，阴影部分为第二布里渊区。 8. 铜靶发射 0.154nm 的 X 射线入射铝单晶，如铝（ 1 1 1）面一级布拉格反射角 19.2 ，试据此计算铝（ 1 1 1）面族的间距 d 与铝的晶格常数。 解： 12 *2 2 211a i b j ka a ah k l m *， ，c，2 2 2 2 3hhk i j k ka a a a ， 2 sinhkld 0 0 . 2 3 42 s i n 1 9 . 2h k ld n m22233 0. 40 5hhk lhk lhk lkdada d nm第三章
20、 晶体的结合 1. 试证明以等间距排列的一维离子晶体的马德隆常数等于 2ln2。 证明： 设相邻原子间的距离为 r，一个原子的最近邻、次近邻原子均有 2 个，该晶体的马德隆常数为： M= 2 2 22 2 3 4 + = 1 1 12(1 2 3 4 ） 13 =2 11 1 ( 1) nn n =2ln2 得证 2. 由实验测得 NaCl 晶体的密度为 2.16g/cm3 , 它的弹性模量为 2.14 1010 N/m2 ，试求 NaCl 晶体的每对离子内聚能 cUN 。（已知马德隆常数 M=1.7476, Na和 Cl 的原子量分别为 23 和 35.45） 解： NaCl 晶体中 Na+
21、和 Cl-的最近距离为 0r 晶胞基矢长为 2 0r ， 一个晶胞中含有四对正负离子对 一个原胞（一个 NaCl 分子）的体积为： 302vr = 623( 2 3 3 5 .4 5 ) 1 02 .1 6 6 .0 2 1 0mN NaCl 晶体中的正负离子的平衡间距为： 80 2 . 8 2 1 0 0 . 2 8 2r c m n m 由晶体体积弹性模量的公式： 2400( 1)36m n MeB r ， 并且由于 NaCl 晶体为面心立方结构，参数 =2，故由上式可得： 4002361 mrnBMe = 1 2 9 4 101 9 23 6 3 . 1 4 8 . 8 5 1 0 2
22、(0 . 2 8 2 1 0 )1 2 . 4 1 1 01 . 7 4 7 6 ( 1 . 6 1 0 ) =7.82 由平衡时离子晶体的内聚能公式： 2001(1 )4c N M eU rn ， 将 n=7.82 代入得 NaCl 晶体的每对离子的内聚能为： 2001(1 )4cU MeN r n = 1 9 21 2 1 91 . 7 4 7 6 ( 1 . 6 1 0 ) 1( 1 )4 3 . 1 4 8 . 8 5 1 0 0 . 2 8 2 1 0 7 . 8 2 181 .2 4 1 0 J 14 3. LiF晶体具有 NaCl结构，已由实验测得正负离子间的最近距离 0r =0
23、.2014nm(1摩尔的内聚能 cU 1012.8kJ/mol, 以孤立离子系统的内能为能量的零点 )。试计算该晶体的体积弹性模量 mB ，并与它的实验植 10 26.71 10 /Nm 进行比较。 解： 由平衡时离子晶体的内聚能公式： 2001(1 )4c N M eU rn ，其中 M=1.784 计算 1mol 的内聚能时， N=Na=6.02 1023 ，且 0r =0.2014，计算得： n= 10024(1 )crUN M e = 1 9 9 32 3 1 9 24 3 . 1 4 8 . 8 5 1 0 0 . 2 0 1 4 1 0 ( 1 0 1 2 . 8 1 0 ) 1
24、6 . 0 2 1 0 1 . 7 4 8 ( 1 . 6 1 0 ) =6.33 2400( 1)36m n MeB r LiF 晶体具有 NaCl 结构，将 =2， n =6.33, 0r =0.2014 代入上式得：晶体的弹性模量为 : 2400( 1)36m n MeB r = 7.242 101 0 (N/m2) 相对误差为： 7 .2 4 2 6 .7 1 1 0 0 % 7 .9 %6 .7 1 4. 试说明为什么当正负离子半径比 / 1.37rr 时不能形成氯化铯结构，当/ 2.41rr 时不能形成氯化钠结构，当 / 2.41rr 时，将形成什么结构？已知：RbCl, AgBr
25、, BeS 的正负离子半径分别为： r （ nm） r (nm) RbCl, 0.149 0.181 AgBr, 0.113 0.196 BeS 0.034 0.174 若把它们看成典型的离子晶体，试问它们具有什么晶体结构？若近似把正负离子都看成是硬小球，试计算这些晶体的点阵常数。 解： （ 1）要形成氯化铯的体心立方结构，正负离子的直径必须小于立方体的边长，考虑密堆积，体对角线上的离子相切。 15 即： 22 ( )33dr a r r 可得： 1/ 1 . 3 731rr故， / 1.37rr 时，不能形成氯化铯结构。 要形成氯化钠的面心立方结构，考虑密堆积，取面上的离子观察。 即： 2
26、2 ( )r d r r 1/ 2 . 4 121rr故， / 2.41rr 时，不能形成氯化钠结构，将形成配位数更低的闪锌矿结构。 （ 2） RbCl, 0 .1 8 4 1 .2 1 5 1 .3 70 .1 4 9rr 为氯化铯结构 晶格常数为： 22( ) (0 . 1 8 1 0 . 1 4 9 ) 0 . 3 8 133a r r n m AgBr, 0 .1 9 6 1 .7 3 1 .3 70 .1 1 3rr 为氯化钠结构 晶格常数为： 2 ( ) 2 ( 0 . 1 9 6 0 . 1 1 3 ) 0 . 6 1 8a r r n m BeS： 0 .1 7 4 5 .1
27、1 8 2 .4 10 .0 3 4rr 为闪锌矿结构 晶格常数为： 88( ) (0 . 0 3 4 0 . 1 7 4 ) 0 . 3 433a r r n m 5. 由气体分子的实验测得惰性气体 Xe 的伦纳德 琼斯势参数0 . 0 2 , 0 . 3 9 8e V n m在低温下 Xe 元素形成面心立方的晶体，试求 Xe 晶体的晶格常数 a,每个原子的内聚能 cUN 及体积弹性模量 Bm。若对 Xe 晶体施加压力82/6 10 NmP 。试在近似假定体积弹性模量不变的情况下，计算这些晶体的晶格常数 a 将变为多少？并求这时的内聚能 cUN 将变为多少？ 解： 原子间的平衡间距为 ： 0
28、 1 . 0 9 1 . 0 9 0 . 3 9 8 0 . 4 3 4r n m n m 16 因结构为立方晶体，则晶格常数为： 02 0.6142ra nm每个原子的内聚能为： 8 . 6 8 . 6 0 . 0 2 0 . 1 7 2cU eVN 体积弹性模量： 3 9 3 1 97 5 7 5 0 . 0 2 ( 0 . 3 9 8 1 0 ) 1 . 6 1 0Bm =3.81 109 N/m2 由体积弹性模量的定义式可知： ()TPBm V V 0 0lnVVd V VP B m B mVV 因为： 3V N r 故 P03 lnrBm r 8 96 1 03 3 . 8 1 1
29、00 0 . 4 3 4 0 . 4 1 2PBme e n mrr 晶格常数 2 0.583r nma / 1.09r 内聚能 2 /612() 8 . 6 0 . 1 4 92 7 5cU r A BmNA 6. 原子轨道波函数 2s,2Px,2Py,2Pz 相互正交、归一，请证明由 sp3 杂化后的未配对电子轨道 1, 2, 3, 4 也相互正交归一： * ( , 1 , 2 , 3 , 4 )i j ijd i j 如已知在球面极坐标中，轨道波函数 2s,2Px,2Py,2Pz 可写成： 2 12 ( ) 2s R r 2 132 ( ) s i n c o s2xp R r 2 13
30、2 ( ) s i n s i n2yp R r 2 132 ( ) c o s2zp R r 请求出杂化轨道 1, 2, 3, 4 在球面坐标中的表达式并由此求出杂化轨道具有最大值的方向。 解： （ 1） 原子轨道波函数 2s,2Px,2Py,2Pz 相互正交、归一 且1 1 ( 2 2 2 2 )2 x y zs p p p 17 2 1 ( 2 2 2 2 )2 x y zs p p p 3 1 ( 2 2 2 2 )2 x y zs p p p 4 1 ( 2 2 2 2 )2 x y zs p p p *12 1 ( 2 2 2 2 ) ( 2 2 2 2 )4 x y z x y
31、zd s p p p s p p p d * * * *1 2 2 2 2 2 2 2 2 41 ( 1 1 1 1 )40x x y y z zs sd p p d p p d p p d 其余同理可证，波函数 1, 2, 3, 4 相互正交。 *11 1 ( 2 2 2 2 ) ( 2 2 2 2 )4 x y z x y zd s p p p s p p p d * * * *1( 2 2 2 2 ) ( 2 2 2 2 )41 2 2 2 2 2 2 2 2 41( 1 1 1 1 )41x y z x y zx x y y z zs p p p s p p p ds sd p p d
32、 p p d p p d 其余同理可证，波函数 1, 2, 3, 4 归一。 亦可以证明 * ( , 1 , 2 , 3 , 4 )i j i jd i j （ 2） 1, 2, 3, 4 在球面坐标中的表达式为： 122232421( ) ( 1 3 sin c os 3 sin sin 3 c os )41( ) ( 1 3 sin c os 3 sin sin 3 c os )41( ) ( 1 3 sin c os 3 sin sin 3 c os )41( ) ( 1 3 sin c os 3 sin sin 3 c os )4RrRrRrRr （ 3） 1, 具有最大值时 1 ,
33、1 ,0, 0,( s i n c o s ) c o s s i n 22sin sin cos 2tan 18 2, 具有最大值时 2 , 2 ,0 , 0 ,( s i n c o s ) c o s s i n 22sin sin cos 2tan 3, 具有最大值时 3, 3,0 , 0 , ( c o s s i n ) t a n 22sin sin cos 0 2tan 4, 具有最大值时 4 , 4 ,0 , 0 , ( s i n c o s ) t a n 22sin sin cos 0 2tan 轨道具有最大值时，概率最大，即波函数的模的平方有最大值： *2iiP 对
34、1, 212100 010154.7345 同理可得： 020254.73225 0303144.73135 0404144.73315 7. sp2 杂化轨道可写成1 1 ( 2 2 2 )3 xsp ，2 1 1 3( 2 2 2 )232 xys p p ， 3 1 1 3( 2 2 2 )232 xys p p 在球面系中写出轨道表达式，并求杂化轨道最大值的方向。 解： 在球坐标系中：由2 12 ( ) 2s R r 2 132 ( ) s i n c o s2xp R r 19 2 132 ( ) s i n s i n2yp R r 2 132 ( ) c o s2zp R r 可
35、得： 212223()( 1 6 sin c o s )23() 33( 1 sin c o s sin sin )22 3 2() 33( 1 sin c o s sin sin )22 3 2RrRrRr 1, 具有最大值时 1 , 1 ,0, 0, cos cos 0 cos 0cos 1或 sin 0sin 1sin sin 0 2, 具有最大值时 2 , 2 ,0 , 0 ,33c o s c o s c o s s i n 02 2 33s i n s i n s i n c o s 02 2 cos 0sin( ) 16 或 sin 0cos( ) 16 3, 具有最大值时 3,
36、 3,0 , 0 ,33s i n s i n s i n c o s 02 2 33c o s c o s c o s s i n 02 2 cos 0sin ( ) 16 或 sin 0cos( ) 16 利用 220, 0ii（ i=1,2,3）可得： 20 0101900 ， 020290120 ， 030390240 第四章 晶格振动和晶体的热学性质 1. 一维单原子晶格，在简谐近似下，考虑每一原子与其余所有原子都有作用，求格波的色散关系。 解： 设第 n 个原子的势能函数为 2( 0 )12 m n n mmmU x x 其中， m 为与第 n 个原子的相距 ma 的原子间的恢复力
37、常数， a 为晶格常数。则，第 n 个原子的受力为 n nUF x21 ( 0 )11()( ) ( )( 2 )m n m nmmm n m n m n m nmm n m n m nmxxx x x xx x x 其中，利用了 mm 。第 n 个原子的运动方程为 nnMx F 1 ( 2 )m n m n m nm x x x 令其试解为 i qna tnx Ae 代入运动方程得 2 1 2i q m a i q m ammM e e 1212 c o s( ) 14 sin ( )2mmmmq m aq m a故， 2211 4 s in ( )2mmq m aM 2. 聚乙烯链 C H
38、 C H C H C H的伸张振动，可以采用一维双原子链模型来描述，原胞两原子质量均为 M ，但每个原子与左右的力常数分别为 1 和2 ，原子链的周期为 a 。证明振动频率为 122122122124 sin 211qaM 解： 单键及双键的长分别为 1b 和 2b ，而 12a b b 2 1 2 112( 1 , 2 ) ( ,1 ) ( , 2 ) ( 1 ,1 )bbn n n nC H C H C H C H C H 22 原子 (,1)n 与 (,2)n 的运动方程分别为 1221( , 1 ) 1 , 2 ( , 1 ) , 1 , 2( , 2 ) , 1 ( , 2 ) ,
39、2 1 , 1M u n u n u n u n u nM u n u n u n u n u n 令这两个方程的试解为 2() ( ) ( ,1)( , 2 ) i q n a ti q n a b tu n A eu n B e 把试解代入运动方程得 12212 122 21i q b i q bi q b i q bM A B e A A B eM B A e B B A e 有非零解的条件为 122121 2 1 222 1 1 2 0i q b i q bi q b i q bM e ee e M 解得 22 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) 2 ( ) 2
40、 c o s ( ) 0M M q b b 利用 12b b a，方程的解为 122122122124 sin 211qaM 3. 求一维单原子链的振动模式密度 g ，若格波的色散可以忽略，其 g 具有什么形式，比较这两者的 g 曲线。 解 : 1 一维单原子链的晶格振动的色散关系为 sin 2m qa 其中， 2m M 此函数为偶函数，只考虑 0q 的情况，下式右边乘 2。 d 区间振动模式数目为 1( ) 2 2lg d dg r a d 其中， 122 2c o s2 2 2mmd a q a ag r a d dq 23 故色散关系为 122 22 mlg a 122 22 mN 其中， l 为单链总长， a 为晶格常数，因此， N 为原子个数。 2 若格波没有色散，既只有一个 E（爱因斯坦模型）。而且振动模式密度函 g数满足下面关系 g d N 故， g 为 函数 EgN 12色散关系的曲线图如下： g( )g( )=2 N( 2m2)-1 / 2/ g( )=N ( E)4
