1、1目 录第二章 流体的运动1 理想流体的定常流动1.1 流体运动的描述方法一、两种描述方法二、理想流体三、流场、流线和流管1.2 定常流动1.3 连续性方程2 理想流体的伯努利方程2.1 理想流体的伯努利方程2.2 伯努利方程的应用一、压强与高度的关系二、流速与高度的关系（小孔流速）三、压强与流速的关系3 黏性流体的运动3.1 黏性流体的运动一、层流二、牛顿黏滞定律 黏性系数相关链接：超流动性三、湍流和雷诺数相关链接：流动相似性3.2 黏性流体的运动规律一、黏性流体的伯努利方程二、泊肃叶公式3.3 物体在黏性流体中的阻力一、黏性摩擦阻力 斯托克斯阻力公式二、涡旋尾流 压差阻力2思考题习题参考文
2、献3第二章 流体的运动气体和液体没有一定的形状，各部分之间极易发生相对运动，具有流动性，因而被统称为流体（fluid） 。研究流体运动规律及其与边界相互作用的学科称为流体动力学（fluid dynamics） 。流体动力学是气体动力学、水利学、生物力学等学科的理论基础，在工业、农业、交通运输、石油化工、航空航天、气象、地学、生物医学等领域应用极其广泛。流体的运动广泛存在于我们的周围及生命体内。掌握流体的运动规律，有助于理解日常生活中发生在身边的流体运动现象，深入研究人体的血液循环、呼吸过程以及相关的医疗仪器设备。本章主要介绍流体动力学的一些基本概念和规律。1 理想流体的定常流动红细胞在毛细血管
3、中的流动 从图中可以清楚地看到红细胞发生形变，同时，由于红细胞的圆盘直径接近甚至小于毛细血管的直径，因此流动不能看作是均质流体的流动。41.1 流体运动的描述方法一、两种描述方法在流体力学中将流体看作是大量的宏观小微观大的流体质元组成并研究其宏观行为，因此可忽略物体微观结构的量子性，而视流体为连续介质。直接采用牛顿质点力学方法，把流体分成许多流体质元，每个流体质元满足牛顿定律，跟踪并研究每一个流体质元的运动情况，把它们综合起来就能掌握整个流体运动的规律，这种方法称拉格朗日（Lagrange）法。拉格朗日法形象、直观，物理概念清晰，但是对于易变形、流动的流体，不易追踪，并需无穷多个方程才能描述由
4、无穷多个流体质元组成的流体的运动状态，在数学上难以做到，而且也没有必要。对于固体运动，特别是简化为刚体运动后，虽然刚体由无穷多个质点构成，但质点之间具有固定的位置和距离，这时只需要研究刚体上两个质点的运动就可以反映刚体的运动状态，所以拉格朗日法在固体力学中应用较多。欧拉（Euler）法与力学中惯用的方法不同，它不是考察流体中的某一流体质元的运动过程，而是研究各流体质元的速度、压强、密度等物理量对流经的空间及时间的分布规律，即从场的观点、整体上来把握流体的运动。这种方法的物理意义不如拉格朗日法直观，但对研究流体流场的运动状况较为方便，在流体力学中得到广泛应用，本章将用欧拉法来讨论流体的运动规律。
5、二、理想流体实际气体和液体都是可以压缩的，即流体的体积随其所受压强不同而改变。气体的可压缩性（compressibility）非常明显，如用不太大的力推动活塞，就可以使汽缸中的气体明显地压缩。但对于流动着的气体，由于气体的密度小，在压强差不太大，流速不很高的情况下，也能使密度较大处的气体迅速流向密度较小的地方，使气体的密度趋于均匀，因此可近似地看成是不可压缩的。液体不容易被压缩，如每增加一个大气压，水体积的减少量不到其原体积的两万分之一，水银体积的减少量不到其原体积的百万分之四。在一般情况下，实际液体可近似地认为是不可压缩的。实际流体运动时，层与层之间存在阻碍相对运动的内摩擦力，这被称为流体的
6、黏滞性。不同流体的黏滞性不同，如从玻璃杯中倒出水来很容易，但要倒出油漆则5要困难得多。油类的黏滞性较大，水、酒精的黏滞性较小，气体的黏滞性更小。实际流体的运动很复杂，影响因素很多。在一些实际问题中，根据可压缩性、黏滞性对流体运动的影响不同，可分别将流体抽象为不可压缩流体、非黏性流体和既不可压缩又无黏性的理想流体（ideal fluid）等理想模型，即突出了运动的主要特征，又简化了问题。三、流场、流线和流管流体运动时，流体质元（宏观大、微观小的区域中流体分子的集合）的运动情况，一般是各不相同的。在流体运动过程中，任一瞬间，在流体占据空间的任一点都具有一定的速度，每一点都有一个流速矢量，通常将由这
7、些流速矢量构成的空间称为流速场，简称流场（flow field ） ，如图 2-1 所示。当流体做规则运动时，为了形象描述流场，引入流线（streamline） ，任一瞬间，流线上的任意一点的切线方向，与流过该点流体质元的速度方向一致。在流体内部，由流线围成的细管称为流管（stream tube） ，在流体力学中，往往取一流管作为代表加以研究。图2-2 显示了流体绕过不同障碍物时流场的变化。流体运动时，若流线无头无尾形成闭合曲线，这样的流动称为有旋流动，如河流中的涡旋，对应的流场为有旋场；若流线有头有尾不形成闭合曲线，这样的流动称为无旋流动，对应的流场为无旋场。（a）流场 （b）流线 （c）流
8、管图 2-1 流场、流线和流管图 2-2 流体绕过不同障碍物时的流线6一般而言，当某时刻一个物理量在空间中每一点都有确定值，即物理量在空间有确定分布时，则该物理量在此空间形成一个场。例如在第一章遇到的重力场、本章要讨论的流场和下面要涉及的电磁场。如果物理量是标量，这个场就是一个标量场；若是矢量，则是一个矢量场。在标量场中，常用等值面（如等温面、等势面）形象地表示物理量的空间分布状态。在矢量场中，则常用矢量线描述场中物理量的分布（如用流线表示流场） ，不仅可以用矢量线上每一点的切线方向表示该点矢量的方向，还可以用矢量线的稀密表示矢量的数值。随时间变化的场叫做可变场或非稳定场（如可变电磁场） ，不
9、随时间变化的场则叫做稳定场。1.2 定常流动一般情况下，流场中各点的流速随位置和时间的变化而改变，流线的形状亦随时间而变，这种随时间而变化的流动称为非定常流动。如果流场中各点的流速不随时间变化，这种流动称为定常流动。对于定常流动，流线不随时间改变，不同时刻的流线不相交；流管形状也不随时间改变，流管内的流体不会流出到管外，流管外的流体不会流入到管内。1.3 连续性方程流体作定常流动时，在任一细流管内取与流管垂直的两个截面 S 1 和 S 2 与流管构成封闭曲面，流体由 S 1 流入，从 S 2 流出，如图 2-3 所示。当选取的流管截面足够小时，流管上任一截面上各点的物理量都可视为均匀的。若设
10、S 1 和S 2 处流体的速度分别为 v1 和 v2，流体的密度分别为 1 和 2，由于流体是作定常流动，流管内各点流体的密度不随时间改变，因此封闭曲面内流体的质量不会有变化，即在 t 时间内，从 S 1流入封闭曲面流体的质量 m1 应等于由 S 2 流出流体的质量 m2，即m1= m21（v 1t）S 1=2（v 2t ）S 21 v1S 1=2 v2S 2 图 2-3 流管中流量的连续性7上式对流管中任意两个与流管垂直的截面都是正确的，一般可以写成Q m= vS= 常量 （2-1）式中 Q m 称为质量流量。该式表明：在定常流动中，单位时间内通过同一细流管的任一垂直截面流体的质量相同，该式
11、称为定常流动的连续性方程，也称为质量流量守恒定律。对于不可压缩流体， 为常量，则有v1S 1= v2S及Q v= vS=常量 （2-2）式中 Q v 称为体积流量。该式表明：不可压缩流体作定常流动时，单位时间内通过同一细流管的任一垂直截面流体的体积相同，该式称为不可压缩流体的连续性方程，也称为体积流量守恒定律。连续性方程的物理实质体现了流体在流动中质量守恒。这些方程均是对细流管而言，若不是细流管，则 v、 应理解为其在截面 S 上的平均值。由连续性方程可知：（1）不可压缩流体作定常流动时，流管的任一垂直截面积与该处的平均流速的乘积为一恒量。 （2）同一流管，截面积较大处流速小；截面积较小处流速
12、较大。 （3）流场中，流线密集处流速较大；流线稀疏处流速较小。河道宽的地方水流比较缓慢，而河道窄处则水流较急，这已是人们熟知的常识。例 2-1 正常人心脏在一次搏动中泵出血液 70 cm3 ，每分钟搏动 75 次。心脏主动脉的内径约 2.5cm，腔静脉的内径约 3.0cm，毛细血管横断面的总面积比主动脉的横断面面积约大倍。若将血液的循环看作是不可压缩流体在刚性管道中的定常流动，试求：主动脉、腔静脉和毛细血管的平均血流速度。解：心脏输出血液的流量 Q= 13513-6 sm08.s0751 主动脉的横截面积 2422A9.4).(.34DS上、下腔静脉的总横截面积823222V m104.4)1
13、0.3(.4 DS根据连续性方程有：主动脉的平均血流速度 1-1-45As8.s09.8SQv腔静脉的平均血流速度 -2-3V0.6.1毛细血管的平均血流速度为 144sm28由此可见，血液经主动脉、大动脉、动脉、小动脉、微动脉到毛细血管，虽各类血管的管径愈来愈小，但其总截面积愈来愈大，所以血流速逐渐减慢。血液经毛细血管流入微静脉、小静脉、静脉、腔静脉，回到右心房，各类血管的总截面积又逐渐减小，回流在各种静脉血管的血液流速逐渐增大。2 理想流体的伯努利方程2.1 理想流体的伯努利方程1738 年伯努利（D. Bernoulli）提出了著名的伯努利方程。在作定常流动的理想流体中，取任一细流管，设
14、在某时刻 t，流管中一段流体处在 a1a2 位置，经过很短的时间 t，这段流体到达 b1b2 位置，如图 2-4 所示。这段流体的机械能有何变化呢？由于是理想流体作定常流动，流体中各点的压强、流速、密度等物理量不随时间变化，因此 b1a2 段流体的运动状态在流动过程中没有变化，即该段流体的动能和重力势能没有改变，只需考虑 a1b1 和 a2b2 两段流体的机械能E1、E 2 的改变。由连续性方程可知，a 1b1 和 a2b2 两段流体的质量、体积和密度均相等，可分别设为 m、 V 和 。如图 2-4 所示，设这两段流体在重力场的高度分别为 h1 和 h2、速度分别为 v1 和 v2、压强分别为
15、 p1 和p2。则这两段流体的机械能增量为图 2-4 伯努利方程的推导9)21()21( 12 mghmghEvv()1m)(22V流体流动是由后方流体推动前方流体前进，前方流体有阻碍作用，即压力 F1 作正功，压力 F2 作负功。理想流体从 a1a2 流到 b1b2 位置过程中，外力所作的总功为A=A1A 2=F1 v1tF 2 v2t=p1S 1 v1t p 2S 2 v2 t= p1 Vp 2 V=（p 1 p2） V根据功能原理，理想流体从 a1a2 流到 b1b2 位置过程中，其机械能的增量等于外力所作的功A= E2E 1即 )2()()( 1221 ghghVpvv（2-3）21p
16、考虑到 S 1、S 2 的任意性，上式还可以写成=常量 （2-4） gh2v（2-3）式、 （2-4 ）式称为伯努利方程。伯努利方程给出了理想流体作定常流动时，同一流管上的任一截面处流体压强、流速和高度之间的关系。显然 、 gh21v分别相当于单位体积流体所具有的动能和重力势能，而 p 则可视为单位体积流体的压强能。可见，伯努利方程实质上是能量守恒定律在流体运动中的具体表现。由于、 gh 和 p 都是压强的量纲，因此常称 为动压强， ghp 为静压强。21v 21v在以上的推导过程中，选择的是一段细流管内流体的运动，所涉及的压强 p 和流速 v 实际上是细流管横截面上的平均值。若令 S0，流管
17、就演变为一条流线，（2-4）式中的各量则表示在同一流线上各点的取值。可得以下结论：重力场中的理10想流体作定常流动时，同一流管内（或流线上）各点的量 p+ +gh 为一常量。21v2.2 伯努利方程的应用在流体力学中，伯努利方程十分重要，应用极其广泛。伯努利方程表明了压强、流速、高度三个变量之间的关系。压强与流速有关，也与高度有关。一、压强与高度的关系若流管中流体的流速不变或流速的改变可以忽略时，伯努利方程可以直接写成 21ghp或=常量上式表明流速不变时，理想流体稳定流动过程中流体压强能与重力势能之间的转换关系，即高处的压强较小，低处的压强较大。两点的压强差为 )(1221hgp由此可见，静
18、止流体是定常流动流体的特例。（1） “管涌”的力学原理在汛期,若防洪大堤出现大面积管涌,会造成大堤溃口。管涌是如何形成的呢？为何会危及堤坝？管涌的形成原因是多方面的，一般来说，堤身下的上层是相对不透水的粘性土或壤土，其下面是粉沙、细沙，再下面是砂砾卵石等强透水层，并与河水相通(图 2-5)。在汛期，水位由平时的 h1增高到 h2，并一直处于高水位 h2状态，由于水位增高了 h，根据伯努利方程可知，堤坝外深水区各处水的静压强相应增大，地下水经强透水层的渗流也随之增大，大堤背水侧数百米范围内表土层底部要承受很大的水压，如果这股水压冲破了粘土层，粉沙、细沙就会随水流出，形成管状的渗流通道（管涌）。因
19、此，当堤坝防御水位提高，渗水压增大，或堤背水侧的 图 2-5 管涌示意图11地面粘土层厚度不够时，都有可能引发管涌。管涌一旦形成，随着出水口涌水挟沙增多，涌水量也随着增大，如将附近堤(闸)基下沙层淘空，就会导致堤（闸）身骤然下挫，甚至酿成决堤灾害。（2） 体位对血压的影响血液的压强简称为血压。血压的测量以心脏的位置为参考水平。根据伯努利方程，在流速不变的条件下，利用压强与高度的关系，可以解释体位因素对血压的影响。人体取平卧位时，头部与足部的动脉压大致相等，但比心脏的动脉压要略低一些；头部与脚部的静脉压大致相等，但比心脏的静脉压要略高一些。而当取直立位时，与平卧位相比，头部位置升高，位于心脏水平
20、以上的脑的动、静脉血压会减少相当于从脑至心脏垂直高度的一段血柱的压强值；足部则高度降低，所以位于心脏水平以下的足部的动、静脉血压会增加相当于从心脏到足部垂直高度的一段血柱的压强值。因此，在测定人体血压时，应将测量部位置于心脏相同的水平位置。同理，在行手背部小静脉穿刺输液时，手背与心脏的相对高度也会对静脉压产生影响，从而影响液体的流速。二、流速与高度的关系（小孔流速）在自然界、工程技术和我们的日常生活中，存在着许多与容器排水相关的问题，如水库放水（泻洪与发电） 、水塔经管道向城市供水及用吊瓶给患者输液等，其共同的特点是液体从大容器经小孔流出。如图 2-6 所示，大容器的下部有一个小孔，小孔的面积
21、比容器内液体自由表面积小很多，根据连续性方程，小孔处流出液体时，容器自由表面的液面高度h 下降非常缓慢，可近似认为零。若将容器中的液体看作是理想流体，对于任一流线 AB，由伯努利方程得 2001vpgh式中 p0 表示大气压，v 为小孔处液体流速， 为液体的密度，可得 gh2v所以理想液体从自由面下 h 处的小孔流出时的速率，与物体从同一高度自由落下的速率相同，与液体自身的密度无关。这一关系是意大利物理学家、数学家托里图 2-6 小孔流速12拆利（E.Torricelli ）首先发现的，又称为托里拆利定理。它反映了压强不变时，理想流体稳定流动过程中，流体重力势能与动能之间的转换关系。三、压强与
22、流速的关系在许多问题中，所研究的流体是在水平或接近水平条件下流动。此时，有 h1=h2或 h1h 2，伯努利方程可直接写成 2211vvpp或=常量2上式表明，在重力势能不变的情况下，理想流体稳定流动过程中，压强能与动能之间的转换关系，即我们早已熟知的事实：平行流动的流体，流速小的地方压强大，流速大的地方压强小。（1） 流速计在图 2-7 中，a 是一根直管， b 是一根直角弯管，直管下端的管口截面与流线平行，而弯管下端的管口截面与流线垂直，流体在-A 处受阻形成流速为零的“滞停区” ，即 A点流速为零，该点称为驻点。对流线 OA 应用伯努利方程得（2-5）2O1vpA式中 vO 是 O 点的
23、速率，对于粗细均匀的这段流管，也就是管中各点的速率。P A 比 PO 大，表明流体的动压在滞停区全部转化为2静压。（2-5）式可用来测量流体的流速，只要知道了 PA 与 PO 的差值及流体的密度 ，就可以求出流体的速率 vO，这就是测速用的皮托管的基本原理。图 2-8 是一种可以测量气体流速的皮托管的结构示意图，它由两个很细的同轴管组成，内管的开口正对气体，外管开口在管壁上，两管分别与盛有工作液体（密度为 ）的 U 型管相连。考察流线 OA 与图 2-7 流速计原理图 2-8 皮托管13QB。其中 A 点为驻点，流速为零，B 点的流速即为气体的流速。在远处未受皮托管干扰的地方，流体以相同的速度
24、相对皮托管作匀速运动，O 、Q 两点对应的量可认为是相等的；两个同轴管很细，A 与 A 两点的高度差很小，可认为 hAh B。由此，根据伯努利方程有 2B1vp式中 为气体的密度，A、B 两点的压强差为PA PB =gh可得气体的速率（2-6）ghB2v（2） 流量计汾丘里流量计的设计原理如图 2-9 所示，一段中间细两端粗的管子，在管子的粗、细部分分别开口接一垂直细管，测量时，将其水平接入被测管路。根据伯努利方程有 ghp21221v由连续性方程得Q =S1 v1= S2 v2所以（2.7）212Sgh从图 2-9 中可见，由于 S2 的截面积较小，该处细管中液体上升的高度比 S1 处的低，
25、若管中的流体速度很大，则可出现 S2 处细管内的压强小于细管外的压强，于是该处的流体带着从管外吸入的气体（或液体）一并流走，这种现象被称为空吸作用，水流抽气机、喷雾器、汽化器等就是根据空吸作用的原理制成的。根据压强与流速的关系，还可以解释飞机升力的形成、水翼船的高速行驶、运图 2-9 汾丘里流量计14动中的车船具有吸引力、换气扇与吸排油烟机的原理等等。例 2-2 用一根跨过水坝的粗细均匀的虹吸管，从水库里取水，如图 2-10 所示。已知虹吸管的最高点 C 比水库水面高 2.50 m，管口出水处 D 比水库水面低 4.50 m，设水在虹吸管内作定常流动。 （1）若虹吸管的内径为 1.5010-2
26、m2，求从虹吸管流出水的体积流量。 （2）求虹吸管内 B、C两处的压强。解：水面为参考面，则有 B、B 点的高度为零，C 点的高度为 2.50 m，D 点的高度为 4.50 m。（1）取虹吸管为细流管，对于流线 ABCD 上的 A、D 两点，根据伯努利方程有2A2A11pghpghvv由连续性方程有 ，因 SA 远大于 SD，所以 vA 可以忽略不计，p A= pD=p0。Dv整理后得 )(2DADhg1-1-sm4.95.8从虹吸管流出水的体积流量 DvSQ131-322sm07.1s4.9)5.(4结果表明，通过改变 D 点距水面的垂直距离和虹吸管内径，可以改变虹吸管流出水的体积流量。（2
27、）对于同一流线上 A、B 两点，应用伯努利方程有图 2-10 虹吸管从水库取水152B2A11vpvp即 0B根据连续性方程可知，均匀虹吸管内，水的速率处处相等，v B=vD。所以有Pa107.54.91.213. 4235B p结果表明，在压强不变的情况下，流速大处压强小，流速小处，压强大。B 点压强小于大气压，水能够进入虹吸管。对于同一流线上的 C、D 两点，应用伯努利方程有 D2DC211ghpghpvv均匀虹吸管内，水的速率处处相等，v C=vD，整理得)(D0CPa12.3 Pa)5.24(8.90.435可见，虹吸管最高处 C 点的压强比入口处 B 点的压强低，正是因为这一原因，水
28、库的水才能上升到最高处，从而被引出来。3 黏性流体的运动上节讨论的是仅考虑由流动性决定的流体运动规律。但实际流体是同时具有黏滞性和可压缩性的，这两种性质对实际流体的运动状态都会产生一定影响。本节我们讨论主要由黏滞性决定的流体运动的一些规律。3.1 黏性流体的运动一、层流如图 2-11(a)所示，如果在一支竖直放置的玻璃管中注入无色甘油，然后在它上面再加一段着色甘油，二者之间存在明显的分界面。当打开玻璃管下端的活塞使甘油缓慢流出，经过一段时间，分界面呈“锥”型，表明沿管轴流动的甘油流速最大，而距管轴越远，甘油流速越小，在管壁上甘油附着，流速为零。这表明管内的甘油的流动是分层的，如图 2-图 2-
29、11 粘性流体的流动1611(b)，这种流动称为层流（laminar flow） 。流体层流时，流动稳定，相邻各层以不同的速度作相对运动，彼此不相混合。 流体作层流时，相邻流层作相对滑动，两层之间存在切向的相互作用力。流速快的流层对流速慢的流层的作用力方向与流速方向相同，使其加速；流速慢的流层对流速快的流层的作用力方向与流速方向相反，阻碍其流动，这对作用力即为流体的内摩擦力，也称为黏性力。二、牛顿黏滞定律 黏性系数黏性流体作层流时，速度的逐层变化可以用速度梯度来定量表示。如图 2-11(c)所示，若相距的x 两流层的速率差为v，则 表示这两层之间的速率变化率，当xvx 0 时，有 xvlim0
30、d式中 称为沿 x 方向（与流速方向垂直）的速率梯度。实验证明，流体内部相邻两dv流体层之间黏性力 F 的大小与这两层之间的接触面积 S 及该处流体的速率梯度成正比，即x（2-8）xFdv上式称为牛顿黏滞定律，式中的比例系数 称为黏性系数或粘度，它是反映流体黏性的宏观物理量。黏性强的流体其黏性系数也大。黏性系数的量纲是 L1MT1。在国际单位中，黏性系数的单位为牛顿秒米 2，即帕斯卡秒（Pas） ；在厘米克秒制中，黏性系数的单位是达因秒厘米 2，称为泊（P） 。泊（P）帕秒（Pas） 。表几种流体的黏性系数流体 温度（）黏性系数（ 5Pas）流体 温度（）黏性系数（ 3Pas）空气 1.71
31、水 0 1.8 1.82 37 0.6917 2.71 100 0.3氢气 20 0.88 酒精 0 1.77251 1.30 20 1.19二氧化碳 20 1.47 水银 0 1.68100 1.83 20 1.55250 2.45 蓖麻油 17.5 1225.0氧气 20 2.03 50 122.7氦气 20 1.96 甘油 20 8.30甲烷 20 1.10 26.5 4.94氨 20 0.974 血液 37 3.05.0水蒸气 100 1.30 血浆 37 1.01.4血清 37 0.91.2表-给出几种流体的黏性系数。流体的黏性系数与物质的性质有关，还与温度有关。液体的黏性系数随温度
32、的升高而减小，气体的黏性系数随温度的升高而增大，大致以正比于 的规律增大（T 为绝对温度） 。一般说来，液体的内摩擦力小于固体之间的摩擦力，古人开凿运河，用于运输；用机油润滑机械，减少磨损，延长使用寿命，都是这一原理的应用。气体的黏滞性则更小，气垫船的使用就是利用了气体的这一特性。遵从牛顿黏滞定律的流体称为牛顿流体，不遵从牛顿黏滞定律的流体称为非牛顿流体。一般说来，只含有相同物质的均匀流体多为牛顿流体，而含有悬浮物或弥散物的流体则多为非牛顿流体。水、酒精、血浆都是牛顿流体，其黏性系数不随速度梯度的变化而改变；血液、胶体溶液和燃料水溶液都是非牛顿流体，它们的黏性系数随速度梯度的变化而改变，不再是
33、常数。相关链接：超流动性在寒冷的冬天，随着温度降低，水蒸汽凝结成水，水又结成冰，这即是所谓的相变或者物质状态的变化，可以粗略地用经典物理理论来描述和理解。温度下降时，18气体、液体和固体中的热运动就会减弱。但是对于氦，则情况不同。自然界中，存在氦的两种同位素： 4He和 3He， 3He极其稀少。在一个大气压下， 4He在绝对温度4.125K（ -269.025）液化， 3He在绝对温度3.191K（-269.959）液化。1911年荷兰物理学家昂尼斯 (HKOnnes)在实验中发现，当温度降到绝对温度2.2K（-270.95）附近时，液 4He不但停止了收缩，反而开始膨胀。1932年昂尼斯的
34、学生凯松（WHKeesom）等发现，液 4He的比热曲线在绝对温度2.2K附近是不连续的，其在相应温度有一突变，形状与希腊字母 相似。这意味着相变的发生，相变点的温度被称为点，记为 T(-2.17K)。人们把 T以上的液 4He相称为 4HeI相， T以下的相称为 4He相。1938年苏联的卡皮查（P LKapitaz）与英国的阿伦（ JFAllen）和密申纳（DMisener）分别独立发现，当温度降到-2.17K （-270.98）以下， 4He可以以每秒几厘米的速度轻易地流过小于0.1微米的通道，其黏度至少比 4HeI小1500倍，在1010Pas以下，流速几乎与通道两端的压强差大小无关，
35、意味着此时 4He流过通道时的黏度实际上是零。卡皮查将这种 4He在极低温（-2.17K 以下）情况下，没有黏滞性的流动称为超流动性。1972年，美国物理学家李（DMLee） 、奥谢罗夫（DD Osheroff）和理查森（R Richardson）在mK级的低温下，又发现了 3He的超流动性。 3He对温度的要求极为苛刻比 4He转换为超流体的温度低1000 倍。当液体变为超流体时，液体中的原子突然失去随机运动的特性，而以有序的方式运动。这种情况下液体失去所有的内摩擦力，它们可以从杯子中溢出，可以从很小的孔内流出，能无阻地穿过0.1微米的间隙，此外还表现出其它许多非经典的效应。要理解超流体的性
36、质,必须用到量子力学，因此这种极低温下的流体又被称为量子流体。虽然超流体原理的应用尚在研究之中，但这一领域已经曙光初现。2002年，德国科学家实现了铷原子气体超流体态与绝缘态的可逆转换。世界科技界认为该成果将给量子计算机研究领域带来重大突破。超流现象发现40年后，1978年的诺贝尔物理奖授给了卡皮查。但遗憾的是在有关超流的颁奖介绍中，没有提到阿伦和密申纳的工作。美国物理学家李、奥谢罗夫和理查森3人被授予1996年诺贝尔物理奖。苏联物理学家朗道（LD Landau）因其超流动性的理论研究在1962年获得诺贝尔物理奖。具有英国和美国双重国籍的科学家莱格特（AJLeggett ）因最先成功地从理论上
37、解释了新发现的 3He的超流动性，19获2003年诺贝尔物理奖。三、湍流和雷诺数黏性流体作层流时，层与层之间仅作相对滑动而不混合。但当流速逐渐增大到某种程度时，层流的状态就会被破坏，出现各流层相互混淆，外层的流体粒子不断卷入内层，流动显得杂乱而不稳定，甚至会出现涡旋，这种流动称为湍流（turbulent flow） 。建议打开水笼头观察水的流动：流速缓慢时，细流清晰；流速略有增大后，流水出现颤动；再增大流速，流动开始紊乱。烟雾也有类似的流场特征，烟雾自下而上，先是细流清晰，而后出现紊乱。英国科学家雷诺（OReynolds）最早对湍流现象进行系统研究，1883 年他通过大量的实验，证实了流体在自
38、然界存在两种迥然不同的流态，层流和湍流，并发现直圆管道中的黏性液体，其流动状态是层流还是湍流主要取决于雷诺数（Reynolds number）Re 的大小。（2-vrRe9）式中为 液体的密度，r 为管道的半径，v 是液体的平均流速， 是液体的黏性系数。雷诺数是一个无量纲的纯数，它是鉴别黏性流体流动状态的唯一的一个参数。实验表明，对于直圆管道中的流体，当 Re1000 时，流体作层流；Re1500 时，流体作湍流；当 1000Re1500 时，流体可作层流也可作湍流，称为过渡流。由（2-9 ）式可见，流体的黏度愈小、密度愈大、流速愈大、管半径愈大，愈容易发生湍流。在管道弯曲、分支或管半径骤变，
39、以及流体被迫流经小孔、绕过障碍物时，较小的 Re 值也能发生湍流。人的心脏、主动脉以及支气管中的某些部位，容易产生湍流。例 2-3 若主动脉内直径约为 2.5102m，血液的平均流速为 0.60 ms1，血液的黏性系数为 3.5103Pas，密度为 1.05103kgm3，试求雷诺数，并说明血液的流动状态。解： 250105.36.2.32vRe因 Re1000，主动脉中血液的流动为湍流。但是由于动脉血管具有良好的弹性，20同时由于心脏泵血的周期性，血管中实际的血流状况远比粘性流体在长直刚性圆管中的流动复杂。流体在作湍流时，能量消耗比层流多，湍流与层流的主要区别之一是湍流能将一部分能量转化为声
40、能（噪声） ，这在医学上具有实用价值，正是利用湍流的这一特性，医生才能利用听诊器辨别出血流的非正常情况，从而诊断某些心血管疾患；通过听取支气管、肺泡呼吸音的正常与否，诊断肺部疾病。测量血压时，在听诊器中听到的声音，也是血液通过被压扁的血管时，产生湍流所发生的。相关链接：流动相似性1883 年英国科学家雷诺（OReynolds）在研究黏性流体流动状态时，引入与黏性系数有关的无量纲参量雷诺数 Re，并用它来划分层流与湍流。雷诺通过大量实验还证实了这个无量纲参数是描述黏性流体运动的相似参数，发现流动的相似性原理，即雷诺数相等的流场具有相同的流动状态和性质，也被称为雷诺相似准则。例如同在直圆管中流动，
41、但管的粗细、流速、流体种类不同；或都是来自无穷远的均匀流动绕过圆柱体，但流速、圆柱直径、流体种类不同等等这些相似流动，根据流动的相似性原理，只要雷诺数不变，则流动性质就不变，即流动是动力相似的。流动的相似性原理，在流体力学工程的模拟实验中有着重要的应用。例如在空气动力学的实验中，使气流通过筒形通道，观测气流或气流与物体之间相互作用的装置称风洞。设计飞行器时，将几何相似的小尺度模型置于风洞中，选择气体种类和流动方式，便雷诺数接近实际。这样，风洞中的气流将反映飞行器飞行时空气相对飞行器流动的特点。研究飞行器的性能和设计，都离不开建立在相似性原理基础上的风洞试验。同样，研究船舶的性能和设计，也都离不
42、开建立在相似性原理基础上的水洞试验。随着工业技术的发展，从 20 世纪 60 年代开始，风洞试验（主要是低速风洞）从航空航天领域扩大到一般工业部门。如当研究设计水利工程时，可以制造远小于实物的模型，令其中流动的雷诺数与实际情况相近，则模型的流动便能反映真实流动的基本特征。对于大型工厂、矿山群，也可以做成模型，在风洞中进行防止污染和扩散的试验。3.2 黏性流体的运动规律21一、黏性流体的伯努利方程前面推导理想流体的伯努利方程时，我们忽略了流体的黏滞性和可压缩性，因此，该方程只适用于理想流体稳定流动的情况。黏性流体作稳定流动时，流体的可压缩性仍可以忽略不计，但是必须考虑由于黏性流体的内摩擦力引起的
43、能量损耗。对于图 2-4，黏性流体从 a1a2 流到 b1b2 位置，修正后的黏性流体的伯努利方程为 （2-10）Wghpghp 211 vv式中 W为单位体积流体在流管中，从 a1a2 流到 b1b2 位置过程中所消耗的机械能。对于截面均匀的水平管，由于 h1=h2，v 1=v2，所以上式可写为p或 W21这表明，黏性流体在水平管稳定流动时，因克服内摩擦力作功，而造成流体压强下降，或者说因克服内摩擦力作功，消耗了液体的压强能。即使在水平管中，也必须有一定的压强差，才能使黏性流体作稳定流动。这个结论可用图 2-12 所示的实验装置验证。实验显示了黏性液体在粗细均匀的水平管中作层流的情况。几根间
44、隔均匀的竖直管中的液面表明，沿着液体流动方向，液体的压强是逐渐降低的。二、泊肃叶公式由图 2-12 可见，要使管内的黏性液体作匀速运动，必须有外力来抵消液体的内摩擦力，这个外力就是来自管道两端的压强差。1840 年法国生理学家泊肃叶（JLMPoiseuille）通过大量实验证明，在水平均匀的细长玻璃圆管内作层流的不可压缩黏性流体，其体积流量 Q 与管道两端压强梯度 及管半径 R 的四次方Lp21成正比，即（2-)(8214pLR11）图 2-12 均匀水平管中粘性流体的压强分布22式中 为液体的黏性系数，该式称为泊肃叶公式（或泊肃叶定律） 。若令（2-48RLf12）则泊肃叶公式可以写成（2-
45、fRpQ2113）或 （2-14）fp式中 Rf 称为流阻，医学上称为血流阻力。流阻的国际制单位制是帕秒米 -3（Pasm -3） 。可以看出，黏性液体在水平均匀细长刚性圆管中，以一定的平均速度流动时，流量、压强差、流阻三者之间的关系与电学中的欧姆定律相似。当流体通过几个流阻不同的管道时，可以用电阻的串并联公式来计算它的总流阻。若流体通过 n 个串联在一起不同管径的水平细长圆管，其总流阻为各流阻之和，即（2-fnfff RR2115）若流体通过 n 个并联在一起不同管径的水平细长圆管，其总流阻的倒数等于各流阻倒数之和，即（2-fnfff RR11216）通常情况下，血液的循环流动从整体上看，可
46、视为层流。医学上在研究心血管系统时，常用这些关系式近似地分析心输出量、血压降、血流阻力和外周阻力的关系。例如通过泊肃叶公式可以发现，控制血流量的最有效因素是血管半径，在其他条件不变时，血管半径增大 1%，可导致血流量增大 4%。反之，如果血管半径减小1%，外周阻力增大 4%，则必须血压增高 4%，才能保证正常的血流量。因此，扩张血管是降低血压的有效方法，降低血液黏度也可以降低血流阻力、血压，保证正常23的血流量。这些都是临床治疗中经常采用的方法。例 2-4 成年人的主动脉内半径约为 1.210-2m，问在一段长 0.20m 的血管中的血流阻力和血压降各为多少？（设血流量 Q 为 2.7104m
47、3s-1,血液的黏性系数 为 3.5103Pas）解： 343-4234 sPa106.8sPa)10.(58 RLf由 fpQ得 Pa23106.87.244f与平均动脉压 13.3kPa 相比较，可知主动脉的血压降是极其微小的。血液是黏性流体，当血液从主动脉流向外周时，要不断消耗能量，血压也就逐渐降低。在主动脉和大动脉段，血压降落较小。到小动脉时，血管变细，血流阻力大，血压降落的幅度也变大。体循环中，微动脉的血管更细，该段的血流阻力最大，血压降落也最为显著。虽然毛细血管的管径更小，但此时血液不能近似看成牛顿流体，实验和理论都表明毛细血管处的流阻比小动脉处小，血压降落较慢。因此，医学上将小动
48、脉和微动脉对血流的阻力称为外周阻力。由于大动脉中的血压降落很小，所以通常将在上臂测得的肱动脉压代表主动脉压。3.3 物体在黏性流体中的阻力静止流体中的物体受到浮力的作用，黏性流体中的运动物体（根据运动的相对性，也可以看成是物体静止，流体运动）则会受到阻力作用。由流体的黏滞性所导致的这种阻力，表现为直接的黏性摩擦阻力与间接的压差阻力。一、黏性摩擦阻力 斯托克斯阻力公式流体与物体作相对运动时，物体表面附着了一层流体（附面层） ，附面层内的流体存在速率梯度，层内与物体相接触的流体微团的流速为零，层外侧的流体微团则具有流体的速度，层与层之间存在内摩擦力，表现为对物体的黏性摩擦阻力。附面层外可近似为无黏性流场。当物体速度不大或个体较小时，物体所受到的黏性摩擦阻力与速度成正比，即f=kv （2-17）24比例系
