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1、孙会元主编的固体物理基础中的习题参考解答 1复 习 思 考 题 与 习 题 选 编 第 1章 金属自由电子费米气体模型 1. 试解释金属自由电子气体模型的内容，指出它的成功和不足。 答： 金属自由电子气体模型的发展经历了三个阶段，首先是 1900 年特鲁德(Drude)建立的经典的金属自由电子气体模型；之后， 1904 年洛仑兹（ Lorentz）发展了特鲁德模型，主要是引入了经典的麦克斯韦 -玻尔兹曼统计规律，所以仍属于经典金属自由电子气体模型； 1928 年，索末菲在特鲁德模型的基础上，重新考虑了金属晶体中的价电子。按照索末菲的观点，金属中的电子气应服从量子力学原理，应该利用量子力学原理去

2、计算电子气的能量和动量，价电子的能量分布服从费米 狄拉克统计。但是所有金属自由电子气体模型均包括： （ 1）自由电子近似（ free electronic approximation） ，忽略了电子和离子实之间的相互作用； （ 2）独立电子近似（ independent electronic approximation） ，忽略了电子和电子之间的相互作用； （ 3）驰豫时间近似（ relaxation approximation） ，认为电子受到的碰撞和散射由驰豫时间简单描述。 它的成功之处是： 自由电子气体模型与费米统计的应用，对于理解金属尤其是一价金属的物理本质方面取得了巨大的成功。尽管索

3、末菲模型忽略了正离子和电子之间的强静电作用力。但是本章的学习使我们看到该模型对于以下金属的性质仍能作出满意地解释。如：电子气的比热、泡利顺磁性、金属的电导率、金属的热导率、维德曼夫兰兹定律、金属对可见光具有高的反射率和简单霍尔效应等。 它的不足之处是： 尽管该模型能够解释以上诸多金属的性质，但是对于物质为什么会分为导体、绝缘体、半导体以及类金属等则根本无法解释。还有，除去一价金属以外，在定量计算方面和实验结果的偏离极大。如比热、磁致电阻、霍尔系数等。对于某些金属的正的霍尔系数也不能用该模型给出解释。 2. 试解释 k 空间？ k 空间中的态密度？单位体积中的能态密度？ 答： 以波矢 k 的三个

4、分量 kx、 ky,、 kz为坐标轴的空间称为波矢空间或 k 空间。在 k 空间中许可的 k 值是用分立的点来表示的， 每个点表示一个允许的单电子态。k 空间单位体积中的状态代表点数，即 k 空间态密度。单位体积样品中，单位能量间隔内，包含自旋的单电子态数，称为单位体积中的能态密度。 孙会元主编的固体物理基础中的习题参考解答 23. 试解释费米面？费米能级？金属的费米面随温度如何变化？ 答： 把 k 空间中， N 个电子的占据区和非占据区分开的界面叫做费米面 (Feimi surface)。基态时，电子填充的最高能级，称为费米能级 F。由于费米能量和温度满足如下关系 20201 ( ) 12B

5、FFFkT= 所以，随着温度的升高，会导致费米能稍稍下降。也就是说，自由电子费米气体对应的费米球略有变小。 4. 试说明电子密度在金属自由电子气体模型中的作用？ 答： 自由电子气体模型可用价电子密度 n 来描述，而且， n 是仅有的一个独立参量。对于给定的金属，价电子密度是已知的。由此，我们可以求得具体的费米波矢、费米能量、费米速度、费米温度等。 5. 如何理解金属自由电子气体的简并性？ 答： 在统计物理中，把体系与经典行为的偏离，称为简并性 (degeneracy)。在绝对零度时电子仍有相当大的平均能量，这与经典的结果是截然不同的。按照经典的自由电子气体 (Drude)的模型，电子在 T=0

6、 时的平均能量为零。因此，在 T=0K时，金属自由电子气是完全简并的。系统简并性的判据是： 0FBkT 因而，只要温度比费米温度低很多，电子气就是简并的，由于费米能量在几个电子伏特，而室温下的热扰动能大约为 0.026 电子伏特，所以室温下电子气也是高度简并的。 6. 试解释泡利顺磁性的起因；并说明泡利顺磁磁化率与温度基本无关的原因。 答： 施加磁场后，在磁场的作用下，自旋取向与磁场相反的电子具有正的附加能： +BB，自旋取向与磁场相同的电子具有负的附加能： -BB，从而使得按照泡利原理分布的两支电子，出现非平衡暂态；但是，当达到平衡态时，电子将达到最大能量费米能 F，意味着高能态的电子 (反

7、平行 B)将要转向低能态 (平行 B)，从而导致两个支系中的电子数不同。具有平行于 B 的自旋磁矩的电子数目增大。如此对全部电子气来说要出现沿磁感应强度 B 方向的净磁矩，因而，出现了泡利自旋顺磁性。 由于 T0K 时泡利顺磁磁化率为 220 20 0()1 ( )12BBFFkTg= 而02 4(/)10BFkT ，所以泡利顺磁磁化率与温度基本无关。 7. 如何理解电子比热系数的测量是研究费米面性质的一个重要手段？ 答： 金属中自由电子费米气体的比热容 孙会元主编的固体物理基础中的习题参考解答 3220() ()3eVVBFuCkgTT = =式中220()3BFkg = ，称为电子比热容系

8、数。由于电子比热容系数与费米面处的能态密度有关， 所以利用电子比热容系数可以直接提供费米面附近能态密度的信息。 8. 求一维、二维和三维情形下，自由电子的能态密度。分别示意画出一维，二维，三维自由电子气的能态密度曲线，并由此说明对于一维系统是否具有长程序，为什么？ 答： 三维下单位体积的能态密度为 32()(2 ) ()nnkdsgk =nullnull 二维情况，等能面退化为等能线，则单位面积的能态密度为 22()(2 ) ()nnkdlgk =nullnull 一维情况，等能面退化为两个等能点，则单位长度的能态密度为 22()2 ()/nngdkdk = null 对于自由电子气体，能量为

9、 22()2nkkm =nullnull2()nkkkm=nullnullnull；121(2 )km=null三维下，对应等能面为球面，所以单位体积的能态密度为： 2113223322241() (2 )(2 ) 8 /()nnkds kgmkmk=nullnullnullnull二维下，对应等能面退化为等能线，为圆周长，所以单位面积的能态密度为： 2222() 244()nnkdL mmgkkk=nullnullnullnull一维下，对应两个等能点，所以单位长度的能态密度为： 2222 1212 21()2()/ 2nmm mgdkdk k m =nullnullnull null孙会元

10、主编的固体物理基础中的习题参考解答 4能态密度对应固态电子的能谱分布。从统计物理的角度出发，低能激发态被热运动激发的概率比高能激发态大得多。如果低能激发态的能态密度大，体系的热涨落就强，相应的有序度降低或消失，不易出现有序相。也就是说，低能激发态的能态密度的大小影响着体系的有序度和相变。所以，从计算结果可以看出，三维自由电子体系，在低能态的能态密度趋于零，因而低温下所引起的热涨落极小，体系可具有长程序。对一维自由电子体系来说，从图中可以看出，在低能态的能态密度很大，而且随能量的降低而趋于无穷，因而低温下所引起的热涨落极大，导致一维体系不具长程序。从图中可以看出，二维自由电子体系的能态密度是常数

11、，介于一维和三维中间，体系可具有准长程序，而且极易出现特殊相变，导致新的物理现象。如二维电子气系统中的量子霍尔效应、分数统计等现象。 9. 什么是费米分布函数？它的物理实质是什么？说明费米分布函数具有哪些特点？ 解答： T0K 时，自由电子费米气体在有限温度下的宏观状态可以用电子在其本征态上的分布定量描述。其平衡统计分布函数就是费米 -狄拉克分布函数，费米分布函数可表示为： B()1()e1ii kTf=+上式直接给出了体系在热平衡态 (温度为 T)时， 能量为 i的单电子本征态被一个电子占据的概率。根据泡利原理，一个量子态只能容纳一个电子，所以费米分布函数实际上给出了一个量子态的平均电子占据

12、数。 由费米分布函数表达式和它的物理意义可知 0()1if 特别是当 T=0K时 1()0f =由上式可知， 时的所有状态都被占据，而 态上电子占据率为零。所以，在基态 T=0K 时，化学势相当于占据态和非占据态的分界线，这和前面费米能量的定义相当，所以基态时的化学势和基态费米能量相等。此外，由于热激发能 kBT，远小于基态费米能。因而，激发态系统增加或减少一个电子时所增加或减少的能量，即化学势 和费米能量相差不多。从而对化学势 和费米能级 F不孙会元主编的固体物理基础中的习题参考解答 5加以区分。因此，很多的固体书中把费米分布函数表示为 ()1()1FBkTfe=+当 T 0 K 时，费米分

13、布函数有 1() 012f =下图给出了在基态 T=0K 和较低温度下 T 0 K 时的费米分布函数。 基态和较低温度下的费米分布函数 从 () -()11 111BBkT kTBfkTe e =+可以看出， (/)f 是关于（ -）的偶函数，而且具有类似于 函数的性质，仅在 附近 kBT 的范围内才有显著的值，即 ()f 10. 已知铜的质量密度 m = 8.95g/cm3，电阻率 = 1.55 10-6.cm，试计算： (1)铜的价电子浓度； (2)弛豫时间； (3)费米能量和费米速度； (4)费米面上电子的平均自由程。 解答： (1) 铜有一个价电子，所以铜的电子浓度： 2322 3 2

14、8 36.02 10 1 8.958.48 10 8.48 1063.54mAZNnN cm mVA= = = = (2)弛豫时间： 221ne mmne= = ()31142228 19 89.11 102.7 108.48 10 1.6 10 1.55 10msne= = = 孙会元主编的固体物理基础中的习题参考解答 6(3)费米能量和费米速度： 2232,32FFFkknm=null ()222332Fnm=null()()2342228 183311.0557 103 3.14 8.48 10 1.13 10 7.0629.1110FJeV= = =11822631211.130,1.

15、5/29FFFFmv v m sm= = (4)费米面上电子的平均自由程： 614 81.58 10 2.7 10 4.27 10Flv m=i 11. 已知低温下金属钾的摩尔电子热容量的实验测量结果为 Ce = 2.08T mJ/mol K，其中 T 是温度，请在自由电子气体模型下估算钾的费米温度及费米面上的态密度。 解答： 在自由电子气体模型下钾的摩尔电子热容量为 22eABFTCNZkT= 2223 1 23 11142C3.146.02 10 1 1.38 1022.81.97 10FABeTTNZkTKmol JKTmJmol KK= =因为：FBFkT = ； ()()13 223

16、12gm=null所以： () () ()11332223 23131 3 23 1 4 22343112212 (9.1 10 ) 1.38 10 1.97 103.14 (1.054 10 )FeF eBFgm mkTkg JK KJs= = nullnull11223232246 463346 325.54 10 5.54 10() ( )5.54 10 /kg kgJkgmssmmJss = =12. 证明： 孙会元主编的固体物理基础中的习题参考解答 7(1)三维自由电子气体基态下的动能为：035FUN= ； (2)基态下电子气体的压强和体积的关系为：023UPV= ； (3)基态下电

17、子气体的体弹性模量为：0105239 3FUPB nV= = 式中 F为费米能量， N 表示体积为 V 的金属内的价电子数目， n 为电子密度。 解答： (1)三维自由电子气体的基态能量 U0，可由费密球内所有单电子能级的能量相加得到。 22022FkkkUm=null因子 2 源于泡利不相容原理 ,由此 ,单位体积自由电子气体的基态能量为 22022FkkU kVV m=null考虑到 33(2 ) 1(2 )kkVV= =nullnull所以 2203282FkkU kkVm=nullnull由于电子数目非常大，可认为量子化的波矢在费米球内准连续分布，因而上述求和可过渡为积分，从而求得单位

18、体积自由电子气体的基态能为 22 22 252033022 148282 10FFkFkkU kk kdk k dkVm m m = =nullnullnull null所以三维自由电子气体的基态能量 U0， 250213310 5 5FFFkUVnVNm=null利用单位体积的能态密度，同样可求得自由电子费米气在基态时单位体积的总能量 00 2551002202213() ( )5105FFFFFkugd CdC nm =null从而得到三维自由电子气体的基态能量 U0， 250213310 5 5FFFkUVnVNm=null(2)基态下电子气体的压强和体积的关系： 孙会元主编的固体物理基

19、础中的习题参考解答 822320333552FNUN NmV=null ()52232 302232 0321352 32321352 3 3UPNNVm VUNNmV VV= = =nullii inullii i(3)基态下电子气体的体弹性模量为： ()82232 3 010325152(/ ) 352 3 3 3 9 3FUPB VpV VN N nmVV = = = = = nullii i 13. 试用费米 狄拉克分布导出自由电子费米气体每单位体积热容的表达式为： 202eVBFTCT nkT= 式中 n 为电子浓度， kB为玻尔兹曼常数， TF为费米温度。 解答： 单位体积自由电子

20、费米气体的内能 u 为 () ()ugfd =这是费米积分，令 () ()Hg= ；()0()QHd，则采用分部积分可得 0()( )fuQ d=考虑到 (/)f 函数具有类似于 函数的性质，仅在 附近 kBT 的范围内才有显著的值。所以，上式的积分下限即使扩展到 -也不会影响积分结果，同时，可将 Q()在 附近展开为泰勒级数 21() () () ()2QQ Q Q=+ + +（） （） 从而在准确到二级近似下，可得 22()+ ()( )6BuQ Q kT 由于化学势 和 T 0 时的费米能量0F 非常接近，所以，我们可以将 Q()在0F 附近展开得 000 0201() ()+(-)()

21、 (-) ()+2FFF FFQQ Q Q =+null 又 孙会元主编的固体物理基础中的习题参考解答 9() ()0000()FFFQHdgdu=()0000() ()FFFFQH g = 所以 000 0000() ()+(-)()= (-) ()FFF FFFQQ Q u g + 00() ( ) ( ()FFdQQ gd = 从而得到 ()0200 0 20()() ()6FFF F Bduu g g kTd =+ + 式中 ()000Fugd=，为基态单位体积的内能，与温度无关。将化学势 ()02020()6()FFBFgkTg= 式代入并整理得 ()2020()6FBuu g kT

22、=+ 所以金属中自由电子费米气体的比热容 22220 200() ()32eVVBF B BFFuTTC k g T nk nk TTT = = = =式中22220 200()32BF B BFFk g nk nkT=，称为电子比热容系数。 14. 金属的体弹性模量和声速的关系。 试证明电子气体在绝对零度下动能对其体弹性模量 B 的贡献为 213FB nmv= 式中 n 是电子浓度， m 是电子质量， vF是费密速度。用以上结果可以求出金属中的声速。在可压缩流体中声速为 ()1/2/vB= 其中， 是流体的质量密度。由此证明单价金属的声速为 ()1/2/3FvmM v= 其中， M 是金属离

23、子的质量。上式称为玻姆 斯特威尔 (Bohm-Staver)关系。 解答： 在 T= 0K 时，金属中自由电子的动能为： 035FEN= 而 孙会元主编的固体物理基础中的习题参考解答 102223(3 )22FFNkmmV=nullnull所以电子气体在绝对零度下动能对其体弹性模量 B 的贡献为 2 22022321533FFFdE d NB VNV nmvdV dV V= = 利用单价金属的质量密度 = nM，金属中的声速： 11122221(/) ( / ) ( )33FFmvB nmvnM vM= = 得证。 15. 在什么波长下，对于电磁波辐照，金属铝是透明的？试解释为什么很多金属可以

24、做镜子来用 (亦即为什么金属对可见光具有很好的反射性 )？ 解答： 当频率很高时， 1，复数相对介电常数 22 222 22 2011(1 )pp pri = + +成为实数。显然对于p 来说，相对介电常数 0r 。由于2crn = ，所以，折射率为实数，其虚部 n2为零。此时，金属不再吸收电磁波，电磁波将无损耗的透过金属，因此，金属如同透明的电解质。对于金属铝，因为电子密度为 29 31.81 10mAZnN mA= 所以 ( )2160=2.397 10penem=弧度s278.6ppcnm= 因而，当波长 =nullnull，所以， () 0EgE=当 ，绕每个 4 次轴旋转 /2、 、

25、 3/2 都是对称操作，这样对于三条 4 次轴，共有 9 个对称操作；还有四条 3 次轴 (空间对角线 )，绕每个 3 次轴旋转 2/3、 4/3 都是对称操作，这样对于四条 3 次轴，共有 8 个对称操作；再就是六条 2 次轴 (面对角线 )，绕每个 2 次轴旋转 都是对称操作，这样对于六条 2 次轴，共有 6 个对称操作；不动 (旋转 2)本身也是 1个对称操作。所以纯旋转操作加起来共 24 个，由于立方对称有对称中心，所以纯旋转操作加上中心反演的组合操作，即非纯旋转操作共 24 个，合起来 48 个。 由于把立方体相间的四个顶点连接起来就构成了正四面体，所以，正四面体所有对称素和对称操作

26、包含于立方体中。由于正四面体没有对称中心，立方对称的三条 4 次轴 和对称中心退化为四次旋转反演轴【 6 个非纯转动 (转动 /2或 3/2)加上 3 个纯转动 (转动 )】 。同理，四条 3 次轴 和对称中心退化为三次旋转反演轴 (等价于 8 个纯转动 )，六 条 2 次轴 和对称中心退化为二次旋转反演轴 (6 个非纯转动 )，加上不动，共 24 个对称操作。它保留了立方体的 12 个纯旋转操作和 12 个非纯旋转操作。 对于一个具体的晶体材料，如果知道了它的点对称性，那么它的某种物理性质就可以确定，这称为 Neumann 原理。所以，根据对称性可以简化复杂的计算，也可以预言物理过程的发展趋

27、势，还可以对体系的许多性质作出定性的了解。 6. 什么是晶面指数？什么是米勒指数？对于面心立方晶格， 如果取晶胞的三边为基矢，某一族晶面的米勒指数为 (hkl)，问如果取原胞的三边为基矢，该族晶面的面指数是多少？ 答： 以原胞的三个基矢 a1、 a2、 a3为坐标轴，以它们的大小 a1、 a2、 a3为天然长度单位建立坐标系，并由此所确定的晶面的指数，称为晶面指数，记为(h1h2h3)。 以晶胞基矢 a、 b、 c 为坐标轴，以它们的大小 a、 b、 c 为天然长度单位建立坐标系，并由此所确定的晶面的指数，称为密勒指数 (Miller indices)，用(hkl)表示。 对于晶胞的三个基矢

28、a、 b、 c，对应倒格子的三个基矢 a*、 b*、 c*为 孙会元主编的固体物理基础中的习题参考解答 17*222aiabjacka=nullnullnull nullnullnull密勒指数为 (hkl)的晶面族，可由相应的晶胞的倒格矢来描述，即 2hklGhikjlka=+nullnullnull null对于面心立方结构来说，倒格子的原胞的倒格矢为 123 123 1232( ) ( ) ( ) hG hhhi hhhjhhhka= + + +nullnullnull null如果晶面指数 (h1h2h3)和密勒指数 (hkl)对应同一晶面族，则有 hhklGpG=null null其

29、中 p 为比例系数。所以 123123123hhh phhh h pkhhh pl+=+=+=亦即 123222klhphlhphkhp+=+=+=比例系数 p 的选择，要使得 h1、 h2、 h3三个数互质。 (h1h2h3)即为所求面指数 7. 什么是倒格子？引入倒格子的意义是什么？ 答： 对布拉维格子中所有格矢 Rn，满足 1hniG Re=null null或 Gh Rn=2m (m 为整数 )的全部 Gh端点的集合，也可以描述该布拉维格子。如果把 Rn所描述的布拉维格子称为正格子，则 Gh所描述的布拉维格子称为该正格子的倒格子，也叫倒易点阵或简称为倒点阵。 Gh称为倒格矢。 倒格子也

30、可以这样定义：空间点阵可以由三个不共面的矢量 a1、 a2、 a3来描述，称为正格子。则由满足 孙会元主编的固体物理基础中的习题参考解答 18()()()123231312222baabaabaa=nullnull nullnullnull nullnullnull null的三个矢量 b1、 b2、 b3描述的格子称为该正格子的倒格子。 可见，每个晶体结构有两个点阵同它联系着，一个是正点阵，一个是倒点阵。倒点阵是正点阵的傅里叶变换，它是与坐标空间联系的傅里叶空间中的周期性阵列。傅里叶空间中的每个位置都可以有一定的物理意义，但是由一组倒格矢所确定的那些点有特别的重要性。比如当一个电子在刚性周期

31、结构中运动时，可以推断它的动量变化由一组倒格矢确定。此外，引入倒格子，可以把坐标空间的物理量转化为波矢空间；可以方便画出布里渊区，进而讨论能带结构；有利于理解 X射线衍射。 8. 在晶体衍射中，几何结构因子与坐标原点的选取有关。证明，谱线的衍射强度和坐标系无关。 证明 :与原子数目有关的晶体的几何结构因子为 : ()hjhGdijhGjSfGe=nullnullnullnull式中 () ()hiG rjh jf Gnred=nullnullnullnull null，为与某一倒格矢相联系的原子形状因子， dj(j=1， 2，3， ， p)是原胞里第 j 个原子的位矢。如果新的坐标系相对于原来

32、的坐标系有一位移 r，显然 : ()()hjhh hGdriG rijhGGjSfGe eS+ =nullnullnullnullnullnullnullnulli 所以，几何结构因子与坐标原点的选取有关。 衍射束的相对强度比例于晶体的几何结构因子的平方： 旧坐标系：2*hhhGGGI SSS=null nullnulli 新坐标系：2* *hhhhh h hhhiG r iG rGGG G GGGI SSSeSeSSS = =null nullnullnullnull nullnull null null nullnull因此谱线强度和坐标原点的选取无关。 9. 试计算 sc、 bcc、 f

33、cc 和金刚石结构元素晶体的配位数、密堆积时的原子半径、晶胞中的原子数目和堆积密度。 解： sc 结构中，配位数为 6，晶胞只含 1 个原子球，原子球半径为 a/2，容易计算其致密度为： 孙会元主编的固体物理基础中的习题参考解答 193341 / 0.5232 6scaa= = bcc 结构中，配位数为 8，晶胞含 2 个原子球，原子球半径为立方体空间对角线的 1/4，等于 3/4a ，其致密度为： 3343 32 / 0.6834 8bccaa= = fcc 结构中，配位数为 12，晶胞含 4 个原子球，球半径为立方体表面对角线的 1/4，等于 2/4a ，其致密度为： 3342 24 /

34、0.7434 6fccaa= = 对于金刚石结构，金刚石的晶胞由 18 个碳原子以共价键结合而成，其中 8 个分布在立方体的 8 个顶角上， 6 个分布在 6 个面心上，还有 4 个分布在 4 条体对角线的 1/4 长度处。顶角上的原子和体对角线 1/4 处的原子不等价 (共价键的空间取向不同 )，它们各自组成 fcc 结构。所以，每个晶胞包含 4 个基元、 8 个原子，每个原子有 4 个最近邻，形成正四面体配置，配位数为 4。由顶角上的原子和体对角线 1/4 处的原子之间的距离可知球半径为立方体空间对角线的 1/8，等于3/8a ，从而致密度为： 3343 38 / 0.3438 16DIA

35、aa= = 10. 对金刚石结构，说明金刚石结构是一个复式格子，由两个面心立方的布拉维格子沿其空间对角线位移 1/4 长度套构而成；计算金刚石结构的四面体键角。 答： 对于金刚石结构，金刚石的晶胞由 18 个碳原子以共价键结合而成，其中 8个分布在立方体的 8 个顶角上， 6 个分布在 6 个面心上，还有 4 个分布在 4 条体对角线的 1/4 长度处。晶胞内的原子在纸面上的投影如图所示，圆圈内的数字表示该原子离纸面的高度分布。顶角上的原子和体对角线 1/4 处的原子不等价 (共价键的空间取向不同 )，它们各自组成 fcc 结构。在顶角和面心上的原子同分布在体对角线 1/4 长度处的原子是两类

36、不同的原子 ,因为它们的共价键取向不同 .如果一个指向右下方 ,则另一个指向左下方 ,故金刚石结构是复式格子 . 如图 AFGH 构成四面体 ,这四个 C 原子分别与正四面体中心位置的 C 原子成键 .依题意 ,求出 BA, BF 或 BA,BH 之间的夹角即可 .其 A、 B、 H、 F 的坐标分别为 (0,0,0),(1/4,1/4,1/4),(1/2,1/2,0)和 (0,1/2,1/2).所以 111444111444BAijkBFijk= = + +nullnullnullnull nullnull nullnullnullnullnull nullnullnull孙会元主编的固体物

37、理基础中的习题参考解答 20cosBA BF BA BF =nullnullnullnull nullnullnullnulli 1cos3BA BFBA BF=nullnullnullnull nullnullnullnulli所以，金刚石结构的四面体键角为 109 28 =null。 图 2.10 金刚石结构 11. 证明点阵平面上的阵点密度为 d/Vc，其中 Vc是原胞的体积， d 是该点阵平面所属的平面族中相邻两个平面的面间距。并由此分析指出体心立方和面心立方结构中，格点最密的面。 证明： 设点阵平面上的阵点密度为 ，点阵平面的面积为 S，在该晶体内任取一体积 V，设体积 V 包含 n

38、 个点阵平面。 依题意有： (1)VSn d= 由于每一个初级晶胞 (原胞 )对应一个格点 ,且每个格点对应的体积为 Vc，因而，体积 V 内包含的格点数为： (1)ccSn dVVV= 又，按照假设，体积 V 内包含 n 个面积为 S 的点阵平面，且阵点密度为 ，此外，考虑到第一个和第 n 个点阵平面上的阵点各有 1/2 属于体积 V，所以，体积 V 内包含的格点数又可以表示为： (2) (11)1/2 (1)Sn S Sn + + = ii ii i ii 由上述两式可以得出 (1)(1)cSn dSnV= 所以 孙会元主编的固体物理基础中的习题参考解答 21cdV= 得证。 从上式可知，

39、面间距越大的晶面，格点越密 。 体心立方的倒格子是边长为 4/a 的面心立方，其倒格矢为 ()()()123222bjkabikabija=+=+=+null nullnullnull nullnullnullnull null所以，倒格矢为 11 2 2 33 2 3 1 3 1 22( ) ( ) ( ) hG hbhbhb hhi hhj hhka=+= +null nullnull nullnullnull null从而可得面指数为 (h1h2h3)的晶面的面间距为 12322223 13 122()()()hh hhadGhh hh hh=+null 所以，体心立方格点最密的面的晶面

40、指数为 001 ; 011 相应的密勒指数为 110。 同理，面心立方的倒格子是体心立方， ()()()123222bij kabij kabij ka=+=+=+null nullnull nullnull nullnullnullnull nullnullnull倒格矢为 112233 123 123 1232( ) ( ) ( ) hG hbhbhb hhhi hhhjhhhka=+= +nullnullnull nullnullnull null从而可得面指数为 (h1h2h3)的晶面的面间距为 123222123 123 123()()()hh hadhhh hhh hhh=+ +

41、+ + +所以，面心立方格点最密的面的晶面指数为 100、 111，相应的密勒指数为111。 孙会元主编的固体物理基础中的习题参考解答 2212. 证明二维布拉维格子的 WS 原胞只能是矩形或六角形。 证明： 由于布拉维格子周期性的限制，二维布拉维格子绕垂直于该二维平面的轴的转动操作角只能是 = 0， 60， 90， 120， 180 中的一个。而 WS 原胞所具有的转动对称操作也只能是这几种。显然， = 60， 120时是六角形； = 90，180时是矩形。 13. 什么是布拉格反射？为什么布拉格条件和劳厄条件等价？什么是反射球？晶体衍射中为什么不能用可见光？温度升高时， 晶体 X 射线衍射

42、角如何变化？ X光波长变化时又如何？ 答： 连接原点和某一倒格点的倒格矢 Gh的垂直平分面称为布拉格平面。由于满足相长干涉的劳厄条件为12hhkG G=nullnull null，或 2sinhGk= ，所以 ,相干散射可看作正格子中与倒格矢 Gh垂直的一组晶面对 X 射线的反射 ,即布拉格反射 . 假定 Gh方向的最短倒格矢为 G0， d 为布拉格平面之间的面间距。由于 X 射线散射发生在实际的点阵平面上，而倒格矢 Gh恰好代表正格子空间中的一族晶面。所以，布拉格平面实际上和正格子空间中的这一族晶面对应。倒格矢 G0和布拉格平面之间的面间距 d 之间的关系满足 02Gd=null另外，倒格子

43、是倒易空间的布拉维格子，满足平移对称性。所以 0hGnG=null null式中 n 为整数。考虑到波矢的大小 k=2/，所以: 0222sin2sinhGk nGnd= =nullnullii 整理得 2sindn= 上式就是布拉格条件 (Bragg condition)，或布拉格方程。式中 为布拉格角 (入射角 )，实际应用中衍射束方向常用入射波波矢 k 和散射波波矢 k之间的夹角 2 来确定； n 称为整数，对应 X 射线的衍射级数，它表示同一族晶面在不同入射角下的衍射； d 为点阵平面 (或布拉格平面 )之间的面间距； 为入射 X 射线的波长。 从推导过程可以看出劳厄条件和布拉格条件是

44、一致的。 一个由倒格矢 Gh确定的劳厄衍射峰对应于一族正点阵平面的一个布拉格反射，该族晶面垂直于 Gh，布拉格反射的级数恰好等于 Gh的长度与该方向最短倒格矢 G0的长度之比。 如图所示，在倒空间取一倒格点为原点 O，以入射波矢 k 的起点 C 为球心，入射波矢 k 的大小为半径画一个球，要求入射波矢 k 的顶端落在原点 O 上，则孙会元主编的固体物理基础中的习题参考解答 23当倒格子和入射波矢 k 一定时，只能画出唯一的一个球，称为厄瓦尔球 (Ewald sphere)，也叫厄瓦尔反射球 (Ewald reflection sphere)。 图 厄瓦尔 (Ewald)球 由布拉格条件可知，布

45、拉格角 受到严格的限制。此外，由于布拉格条件左边最大为 2d，所以对于 d 的电磁波是不合适的。比如可见光的波长就不满足布拉格条件。晶体中原子间距的数量级为 10-10米 ,要使原子晶格成为光波的衍射光栅 ,光波的波长应小于 10-10米 . 但可见光的波长为 7.64.010-7米 ,是晶体中原子间距的 1000 倍 . 因此 , 在晶体衍射中 ,不能用可见光 . 温度升高时，由于热膨胀，布拉格平面之间的面间距变大，所以晶体 X 射线衍射角将变小； X 光波长变大时，假定布拉格平面之间的面间距不变，则晶体 X射线衍射角将变大。 14. 已知某立方晶系的 X 射线衍射粉末相中，观察到的前 8

46、个衍射峰对应的角度满足如下关系： 12345678sin :sin :sin :sin :sin :sin :sin :sin3: 4: 8: 11: 12: 16: 19: 20=(1)试确定 8 个衍射峰对应的衍射面指数； (2)试指出该立方晶系的具体结构类型； (3)使用波长等于 1.54 埃的 X 射线照射铜晶体 (晶胞参数 a = 3.61 埃 )，说明其X 射线衍射图中为什么不出现 (100)、 (110)、 (422)和 (511)衍射线的原因。 解： （ 1）当 h、 k、 l 全为偶数或全为奇数时， fcc 格子的几何结构因子等于 4f，当h、 k、 l 奇、偶混合时， fcc 格子的几何结构因子为零。所以，面心立方结构具有衍射峰的衍射面指数按 h2+k2+l2排成的数列为： 3， 4， 8， 11， 12， 16,19,20，亦即 8 个衍射峰对应的衍射面指数为 (111)， (200)， (220)， (311)， (222)， (400)， (331)，(420)； （ 2）该立方晶系的具体结构类型为 fcc 格子； （