1、第二章 分离变量法,一、有界弦的自由振动,二、有限长杆上的热传导,三、拉普拉斯方程的定解问题,四、非齐次方程的解法,五、非齐次边界条件的处理,六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论,基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。,适用范围： 波动问题、热传导问题、稳定场问题等,特点： a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证； b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。,令,带入方程：,令,带入边界条件,1 求两端固定的弦自由振动的规律,一 有界弦的自由振动,特征（固有）值问题：含有待定常
2、数常微分方程在一定条 件下的求解问题,特征（固有）值：使方程有非零解的常数值,特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解,分情况讨论：,1）,2）,3） 令 ， 为非零实数,分离变量,求特征值和特征函数,求另一个函数,求通解,确定常数,分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。,2 解的性质,x=x0时：,其中：,驻波法,t=t0时：,例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。,解：,弦的振动,振幅放大100倍，红色、蓝色、绿色分别为n=1,2,3时的驻波。,解：,例2求下列定解问题,初始条件,若l=1,a=10时的震动。,例3 求下
3、列定解问题,解：,例4 求下列定解问题,令,带入方程：,解：,二 有限长杆上的热传导,令,带入方程：,解：,令,令,带入方程：,令,例5 求下列定解问题,解：,例6 求下列定解问题,解：,若 则u为多少？为什么会出现这样的现象？,思考,若,有界杆上的热传导（杆的两端绝热）,分离变量流程图,三 拉普拉斯方程的定解问题,1 直角坐标系下的拉普拉斯问题,解：,例7 求下列定解问题,解：,例8 求下列定解问题,解：,2 圆域内的拉普拉斯问题,欧拉方程,例9 求下列定解问题,解：,欧拉方程,令,例10 求下列定解问题,解：,欧拉方程,令,其它为零,例12 求下列定解问题,解：,欧拉方程,其他为零,例13 求下列定解问题,解：,例13 求下列定解问题,解：,例14 求下列定解问题,解法一：令,解法二：令,常用本征方程 齐次边界条件,
