1、模糊数学的相关知识,1 普通集合及其运算规则 2 模糊集合及其运算规则,1) 普通集合的基本概念,论域,被讨论的对象的全体称作论域。论域常用大写 字母U、X、Y、Z等来表示。,1 普通集合及其运算规则,元素,论域中的每个对象称为元素。元素常用小写字 母a、b、x、y等来表示。,集合,给定一个论域，论域中具有某种相同属性的元素 的全体称为集合。集合常用大写字母A、B、C等来表 示，集合的元素可用列举法（枚举法）和描述法表示。列举法：将集合的元素一一列出，如：A=a1，a2，a3，an。描述法：通过对元素的定义来描述集合。如：Axx0 and x/2=自然数,全集,若某集合包含论域里的全部元素，则
2、称该集合 为全集。全集常用E来表示。,空集,不包含论域中任何元素的集合称作空集。空集 用来表示。,子集,设A、B是论域U上的两个集合，若集合A上的所 有元素都能在集合B中找到，则称集合A是集合B的子 集。记作A B。,集合相等,设A、B为同一论域上的两个集合，若A B，且 B A，则称集合A与集合B相等。记作A=B。,2) 普通集合的并、交、补运算,设A、B为同一论域上的集合，则A与B的并集 、交集 、补集 分别定义为：,2 模糊集合及其运算规则,在普通集合中，论域中的元素（如a）与集合（如A）之间的关系是属于（aA），或者不属于（a A），它所描述的是非此即彼的清晰概念。但在现实生活中并不是
3、所有的事物都能用清晰的概念来描述，如:,风的强弱,人的胖瘦,年龄大小,个子高低,在模糊数学中，我们称没有明确边界（没有清晰外延）的集合为模糊集合。常用大写字母下加波浪线的形式来表示，如 、 等。 元素属于模糊集合的程度用隶属度或模糊度来表示。 用于计算隶属度的函数称为隶属函数。,(1) 模糊集合的概念,隶属度即论域元素属于模糊集合的程度。用 来表示。隶属度的值为0，1闭区间上的一个数，其值越大，表示该元素属于模糊集合的程度越高，反之则越低。 计算隶属度的函数称为隶属函数。用 表示。,隶属度和隶属函数的表示形式看起来很相似，但是它们的意义是完全不一样的。 指论域中特定元素xi属于A的隶属度，而
4、中的x是一个变量，可表示论域中的任一元素。,(1) 向量表示法,(2) 扎德表示法,当论域U由有限多个元素组成时，模糊集合可用向量表示法或扎德表示法表示。设,模糊集合的表示,例：设论域U=钢笔，衣服，台灯，纸，他们属于学习用品的隶属度分别为:1， 0， 0.6， 0.8，则模糊集合学习用品可分别用向量表示法和扎德表示法表示如下：,如扎德给出的计算老年人模糊集合的隶属函数为:,其论域为0，200的连续区间，论域上任一元素的隶属度，可通过隶属函数求得。,当论域U为连续区域时，模糊集合可用隶属函数来表示,对论域U上一个确定元素u0是否属于论域上的一个边界可变的普通集合A*的问题，针对不同的对象进行调
5、查统计，再根据模糊统计规律计算出u0的隶属度。,用模糊统计法确定隶属度的基本思想,2)隶属度的确定,模糊统计法举例,例：用模糊统计法确定27岁的人属于“青年人”模糊集合的隶属度。,武汉工业大学张南伦教授调查统计结果如下：,表2-1 关于“青年人”年龄的调查,由张教授调查统计结果可知，共调查统计129次，其中27岁的人属于“青年人”这个边界可变的普通集合的次数为101次。根据模糊统计规律计算隶属度为：,3) 模糊集合的并、交、补运算,补集：将集合的每一个元素的隶属度取反。,设 、 为论域U上的两个模糊集合。则 与 的并集( )、交集（ ）、补集（ ）也是论域上的模糊集合。,并集：将对应的论域元素的隶属度两两取大。,交集：将对应的论域元素的隶属度两两取小。,(4)合成,(1)并、交、补,(2)相等与包含,(3)转置,(5)幂运算,2) 模糊关系矩阵的运算,(1)并、交、补运算,并运算：,交运算：,补运算：,(2)相等与包含,例如：,(4)合成运算,普通矩阵的乘法运算,模糊关系矩阵的合成与普通矩阵的乘法运算过程一样，运算符号不同。,
