1、边值问题数值解算例 对称正定矩阵的收敛性 超松驰迭代算法 分块矩阵的块迭代,数值分析 11,例1 常微分方程边值问题,在x1=0.1, x2=0.2,x9=0.9 处的数值解,解: 令 h = 0.1, 记 yj=y(xj) ( j = 1,2,9),将,代入微分方程,整理得 yj-1 + (2 h2) yj yj+1 = xj h2 ( j= 1,2,9),2/18,yj = xj h2 + yj-1 + yj+1/ (2 h2) , ( j= 1,2,9), yj-1 + (2 h2) yj yj+1 = xj h2 ,高斯-赛德尔迭代格式:,3/18,程序,h=0.1;x=0:h:1;
2、y=zeros(size(x); r1=h*h;r=2-r1; er=1;k=0; while e0.0001er=0;for j=2:10s=(y(j-1)+y(j+1) + r1*x(j)/r;er=max(er,abs(s-y(j);y(j)=s;endk=k+1 end,准确解: y(x)=sin x/sin 1 - x,- y(x) o yj,4/18,正方形区域上第一边值问题,准确解:,5/18,取正整数n,记 对区域做网格剖分:,xi = i h ( i = 0，1，n+1 ) yj = j h ( j = 0，1，n+1),在点(xi，yj ) 处记 uij = u(xi ,y
3、j) ,五点差分格式,整理,6/18,边界条件:,u0, j = 0 (j = 1, , n);un, j = ( j = 1, , n);ui,0 = 0 ( i = 1, , n);ui,n = 0 ( i = 1, , n),高斯-赛德尔迭代法实验:,7/18,定理4.4 方程组 Ax=b中, 若A是实对称正定矩阵,则Gauss-Seidel迭法收敛,证明: 由 A = D L LT BG-S = (D L)-1LT,设为BG-S的任一特征值, x为其特征向量,则 (D L)-1LT x =x LT x =(D L)x ,A正定,故 p = xTDx0, 记 xTLTx = a , 则有
4、,xTLTx =xT(D L)x,xTAx=xT(D L LT)x=p a a =p 2a 0,8/18,所以, 迭代矩阵BG-S的谱半径(BG-S) 1,从而当方程组 Ax=b的系数矩阵A 是实对称正定矩阵时,Gauss-Seidel迭代法收敛,称 R= ln(B) 为迭代法的渐近收敛速度,9/18,(i=1,2, n; k = 1,2,3, ),超松驰(SOR)迭代法,Gauss-Seidel迭代格式,10/18,定理4.8 若A是对称正定矩阵,则当02时SOR迭代法解方程组 Ax = b 是收敛的,定理4.9 若A是严格对角占优矩阵,则当01时SOR迭代法解方程组 Ax = b 是收敛的
5、,迭代矩阵,11/18,例4.3 用SOR方法解方程组(=1.4),w=input(input: w:=); A=2 -1 0;-1 2 -1;0 -1 2; b=1;0;1.8; x=1;1;1; er=1;k=0; while er0.0005er=0;k=k+1;for i=1:3s=0;t=x(i);x(i)=0;for j=1:3s=s+A(i,j)*x(j);endx(i)=(1-w)*t+w*(b(i)-s)/A(i,i);er=max(abs(x(i)-t),er);end end k,k=10 x= 1.1999 1.39991.5999,=1.2,只需k=6,12/18,块
6、迭代法简介 设 ARnn, xRn, bRn 将方程组A x = b中系数矩阵A分块,其中, AiiRnini, AijRninj , xiRni, biRni,13/18,将A分解, A = DB LB UB,Jacobi块迭代DB X(k+1) = (LB + UB)X(k) + b,i=1,2, r,(2)Gauss-Seidel块迭代DB X(k+1) = LB X(k+1)+ UBX(k) + b,i=1,2, r,14/18,块迭代求解,X1 = x1 x2 x3T X2 = x4 x5 x6T,b1 = 0 5 0T b2 = 6 2 6T,DX1 X2 = b1 X1+ DX2=b2,DX1(k+1)= b1+X2(k) DX2(k+1)=b2 + X1(k),15/18,( i,j = 1,n ),边值问题:,( i,j = 1,n ; k = 1,2,3, ）,保留三对角块,16/18,取正整数n, h=1/(n+1) 离散点 xi = i h yj = j h zm = m h(i, j, m = 0,1,n+1),用七点差分格式计算求解，用slice命令绘四维图,17/18,高斯-赛德尔迭代法,18/18,
