1、1,第4章 通信网理论基础,2,4.1通信网概论,1.现代通信网络 电话交换网： PSTN、 ISDN； IP分组交换网：Internet、NGI; ATM交换网：IP/ATM、MPLS； 无线移动通信网：GSM、CDMA、3G（IMT2000等）。,3,2.用户对通信网的基本要求 连通性：任意、快速 可靠性：迂回路由，自愈恢复、信息安全 灵活性：突发业务，新业务 经济性：价格性能比，最优化,4,3.主要性能指标 阻塞率：用户连接建立请求被拒绝的概率(面向连接网络) 丢失率：信息传输过程中被丢失的概率(链路误码、网络拥塞） 通过率：信息被成功传送的概率（吞吐量） 连接建立延迟：建立通信连接所需
2、的时间(面向连接网络) 信息传送延迟：信息在网络中的滞留时间,5,4.影响通信网性能的主要因素 传输延迟：链路传输延迟 信息处理延迟：压缩、打包等 交换延迟：输入缓冲、内部缓冲、输出缓冲,6,5.业务的随机性 业务需求的产生是随机的、突发的 业务的服务时间是随机的 网络资源（带宽/缓冲器）是有限的、共享的、膨胀的 网络流量控制和信令传输给网络带来了沉重的负担,7,6.各种通信网的特点和要求 1) LAN/MAN QOS：允许丢失时延无保证 特点：对共享媒体自由存取,8,2)电路交换网 QOS：连接阻塞概率连接建立时间无排队延时 特点：带宽保证QOS,9,3)分组交换网 QOS：吞吐量丢包率时延
3、无保证 特点：存储转发方式ACK/NACK 重传,10,4)帧中继网 QOS：吞吐量排队延时信息速率申请 特点：端到端的重传和纠错外部的拥塞控制,11,5)ATM 网络 QOS：吞吐量呼叫阻塞率信元丢失率排队延时和延时抖动 特点：短的固定长度信元交换异步传输虚网络,12,7.通信网性能分析的三种主要手段1)现场试验(Trial Implementation)最贴近实际网络，可以直接推广应用多用于商业化运作之前的实际检验，但开销巨大，试验周期长。,13,2)计算机仿真(Computer Simulation)简便易行，比较接近实际网络，多用于复杂网络性能的评估和验证，但难以得到一般性结论，且稀疏
4、事件难以仿真。,14,3)理论分析(Performance Evaluation)简便易行，且容易抓住问题的实质，多用于简单网络的性能预测和评估规划， 但需要引入近似，且难以应用到大规模复杂网络。,15,4.2通信网建模理论,4.2.1 通信业务建模的准则 真实性：尽量贴近实际业务的特征 可操作性：要能进行数学分析或计算机仿真 通用性：同时描述更多的业务，只需要改变某些参数而已 可适配性：模型的参数应能容易地从实际业务中拟合出来 安全性：近似计算或仿真得到的网络性能应不劣于实际网络性能（安全近似，做最坏的打算）,16,4.2.2连续时间业务源的建模 4.2.2.1 随机事件的两种描述法 (1)
5、 随机事件的概率分布描述法,17,18,(2) 随机事件的点过程描述(记数过程：counting process) 记数过程的统计特性 均值过程：m(t)=EN(t) 分散指数： 歪度指数：,19,两种描述方法之间的“等价”关系结论：记数过程能够更加详细地描述随机事件，它可以描述随机事件之间相关特性 通过改变区间长度t 可以考察不同time scale 内的随机特性以及它们之间的相关程度,20,4.2.2.2随机事件统计特性的物理意义 1)统计特性的物理意义 业务强度是衡量随机事件发生频度的基本参数 方差系数是衡量随机事件抖动(扩散程度)的重要参数,21,歪度系数是衡量随机事件对称性的重要参数
6、,22,2)自相关系数的物理意义 自相关系数是衡量随机事件之间相互关联性的重要参数,23,4.2.2.3 独立随机事件的建模 1) 一般更新过程(General renewal process),24,4.2.2.4纯随机(pure random)事件的描述 纯随机事件是现实生活中普遍存在的随机现象 纯随机事件也是最易进行数学分析的随机过程 纯随机事件的定义：事件之间相互独立事件间隔具有无记忆性,25,1)负指数分布 负指数分布是连续型概率分布函数中惟一具有无记忆性的概率分布,26,2) 泊松过程 记数过程N(t)服从泊松分布的随机过程称为泊松过程。 事件发生的间隔或事件持续的时间服从负指数分
7、布的连续型随机过程等效于泊松过程。 泊松过程是最简单的随机过程之一：具有无记忆性只有一个参数泊松过程的叠加/分解特性，对通信业务源的建模至关重要。,27,如果一个随机过程满足以下三个特性，可以证明该随机过程即为一个泊松过程 平稳性：以任意时间t0 为起点，(t0 , t0 + t) 时间间隔内事件发生的次数只与该时间间隔的长度t 有关，而与时间的起点t0 无关。 无记忆性：(t0 , t0 + t)时间间隔内事件发生的概率与t0之前的事件发生历史无关；即不相交时间区间内事件的发生相互独立(独立增量)。 稀疏性：在充分小的时间间隔内，两个以上事件同时发生的概率为高阶无穷小，且在有限时间区间内时间
8、发生的次数是有限的。,28,29,泊松过程与高斯过程： 大量的稀有事件流，如果每一个事件流在总事件流中起的作用很小，而且相互独立，则总的合成流可以认为是泊松流。 泊松流的间隔分布应该服从负指数分布，而负指数变量和的分布服从Gamma(k 阶爱尔兰）分布，且当k 趋向无穷大时逼近定长分布！ 但是，大数的定理告诉我们，大量稀有随机变量和的极限服从正态分布！ 实际上，这里面有个time-scale的问题 事实上，经过滤波的泊松过程是正态分布。,30,4.2.2.5平滑随机事件的概率描述 平滑随机事件是指方差系数小于1 的随机事件 k阶爱尔兰(k-Erlangian: Ek)分布或称分布可以描述 k个
9、负指数随机变量和的分布：属于更新过程、方差系数等于1/kk趋于无穷大时逼近于定长(deterministic)分布常用于多级服务系统的建模但有时为了简便，将其近似为泊松过程进行分析（安全近似）,31,32,4.2.2.6 突发随机事件的描述 方差系数大于1 或者相关系数大于0 的随机事件不能再用泊松过程来近似（危险近似） 1)间歇泊松过程(IPP: interrupted Poisson process)可以描述突发事件经过随机控制（采样）的泊松过程属于更新过程来源于迂回中继路由中溢出呼的建模，现已广泛应用于分组交换网的建模K阶超指数分布,33,34,2)K阶超指数分布 K阶超指数分布(Hk)
10、：K个负指数分布随机变量概率和的分布,35,3)间歇泊松过程 间歇泊松过程与2阶超指数分布的等价性间歇泊松过程的间隔分布服从2阶超指数分布，其参数为,36,反之，间隔间相互独立且服从2阶超指数分布的更新过程等价于间歇泊松过程，其参数为,37,38,另一个典型突发过程：开关模型(ON-OFF minisource)多用于ATM信源的建模 ON-OFF过程是一个更新过程 关键：ON区间和OFF区间均为无记忆性的负指数分布 等分布特性：,39,开关过程是这样的一种随机过程，一个强度为的Poisson过程经过一条线路，在线路上有一个开关，它的断开和合上的时间长度皆随机，合上的平均时间长为-1，.断开的
11、平均时间长为-1 。在线路的另一端得到的就是开关Poisson过程，简记IPP。IPP也可以看作一个2状态的MMPP。,40,4.2.2.7 非独立突发性随机事件的描述 现实网络中大量随机事件的发生并非独立的 即使某个单一连接的到达或服务过程假设为更新过程，单一般来讲更新过程的叠加不再是更新过程（泊松过程是惟一的例外），而且往往是具有正相关，因此更新过程近似是危险近似。,41,具有相关性的随机过程可以分为“短时相关”和“长时相关”随机过程，它们对网络性能的影响有很大不同。 短时相关：相关系数随间隔距离指数下降。 长时相关：相关系数随间隔距离呈线性下降(方差无限大！)，即随机事件在不同时间段内呈
12、现相似概率特性。 （自相似特性: self-similarity),42,1) 典型叠加过程的非独立性 马尔可夫更新过程马尔可夫更新过程(Markov renewal process)或称半马尔可夫过程(semi-Markov process)是目前唯一能够进行数学解析的非马尔可夫过程。,43,2)典型的马尔可夫更新过程 交互泊松过程（SPP: Switched Poisson Process）是最简单的马尔可夫更新过程 已经证明：M+IPP=SPP 交互泊松过程相当于泊松过程和间歇泊松过程的叠加。 一般不再是更新过程,44,交互泊松过程的统计特性,45,46,3)马尔可夫调制泊松过程 马尔可
13、夫调制泊松过程（MMPP: Markov modulated Poisson process ） 可以认为是SPP概念的推广 马尔可夫过程有k 个状态，在每个状态的停留时间是均值为r_i-1 的负指数分布 马尔可夫过程在状态i 时事件以速率i 的泊松过程产生,47,48,4)自相似业务源的概率模型 自相似业务的特征 相关系数随间隔距离呈线性下降(Long rangedependence, 方差无限大！） 随机事件在不同时间段内呈现相似的概率特性(自相似: self-similarity) TCP/IP-based Internet 业务具有明显的自相关性 基于反馈的流量控制机制可能是导致其长时
14、相关特性的原因之一 WWW链接之间的逻辑相关性可能也是其自相似特性的原因之一 MMPP近似是危险近似,49,离散时间定义 对于一个平稳时间序列x，我们定义m重聚集时间序列的方法是将原时间序列分成大小为m的块，然后在各块中求出平均值。这可以表达为例如，x(3)被定义为,50,观察多重聚集时间序列的一种方法是将其看作压缩时间尺度的一种技巧。我们可以认为x(j)是就这个时间序列而言可能有的最高放大率或最高分辨率。过程x(3)则是将同一过程的放大率减小3倍的结果。由于在每3个点上进行平均，我们就失去了在最高放大率时可以看到的细节。如果经过压缩而过程的统计特性(均值、方差、自相关等)保持不变，则我们遇到
15、的就是一个自相似过程。 我们也可以将序列x(m)中的各个点看成是过程x的一个时间平均。对于遍历过程而言，时间平均应该等于样本空间平均，并且时间平均的方差应该在m变大时相当迅速地趋向于零。这种情况对于自相似过程并不存在；方差确实趋向于零但比平稳遍历过程要慢得多。我们下面给出更准确的论述。,51,过程x被称为参数为的准确自相似(exactly self-similar)过程(01)如果对于所有m=1，2，我们有方差自相关 可以证明参数与所定义的Hurst参数有关，具体地说即H=1/2。对于平稳遍历过程，=1而且时间平均的方差以速率1/m衰减到零。对于自相似过程，时间平均的方差衰减得更慢。,52,较
16、弱的一个条件是：过程x被称为是渐近自相似的(asymptotically self-similar)，如果对于所有足够大的k方差当m 自相关因此，使用这种自相似性定义则多重聚集过程的自相关就和原过程的有相同的形式。这意味着变化的程度或突发性在不同时间尺度上是相同的。,53,4.2.3离散随机事件的概率描述 贝努里试验中第一次试验成功之前的失败次数服从几何(geometric)分布；两次相邻成功试验之间的间隔服从负指数分布； 贝努里试验中第n次试验成功之前的试验次数服从负二项分布或称Pascal分布；相邻n次成功试验之间的间隔服从特殊的Gamma (n-Erlang)分布； n次贝努里试验中k次
17、试验成功的概率服从二项分布； n次贝努里试验的时间段(0,t)内有k次成功试验的概率服从泊松分布。,54,几何分布相当于负指数分布离散化的结果，是离散型概率分布函数中惟一具有无记忆性的概率分布。 n 个几何随机变量和的分布服从负二项分布。,55,4.2.4通信业务源建模 一个随机点过程可以通过其间隔时间的概率分布来描述，也可以通过一定时间内随机事件的发生次数的概率分布来描述。两者一一对应，但又各有千秋。 在实际建模过程中，可以根据事件发生的一阶矩，二阶矩，三阶矩和自相关系数等特征值的测定值来选择/匹配不同的随机过程来近似。,56,泊松过程以及与其相对应的负指数分布在排队建模中起着非常关键的作用
18、,也是应用最广的随机过程之一。这主要源于它们的无记忆性 IPP和ON-OFF模型能够很好地描述具有突发性的业务源，两者均为三参数更新过程 MMPP本身是一个马尔可夫更新过程，它可以用来描述具有正相关的到达或服务过程。在分组语音，数据和图象业务建摸中，2相位的MMPP得到了广泛的应用。,57,4.3排队论的基本概念和基本定理,4.3.1排队模型和Kendall的记号 4.3.1.1排队模型 1)排队模型中的过程 到达过程: 到达间隔A(t);-1,2, 群组规模G(n); mg, vg 排队过程: 缓冲区容量（K）、排队规则(FIFO, LIFO,Random, Priority) 服务过程:
19、服务者数（s），服务时间B(t); -1,2,58,59,60,2)几个公理式假设 两个随机变量同时发生的概率为高阶无穷小，不予以考虑 一般多考虑排队系统达到稳态情况下的特性 求解性能指标的基本出发点: 状态概率,61,4.3.1.2Kendall的记号 AX/BX/s/K Z or A1+A2/B1,B2/s(K1,K2) Z 其中：A:到达时间间隔分布PDF(M,Ek,Hk,GI,MMPP,Geom, ) B:服务时间间隔分布PDF (M,Ek,Hk,GI,MMPP,Geom, ) s:服务者数量(s=1;s Finite;) K:最大允许等待者数(k=0;k Finite;) Z:服务规
20、律(FIFO;LCFS;Random,priority) X: 组大小PDF (Geom, ),62,4.3.1.3排队模型的性能参数 1)排队模型的特征参数 业务强度(traffic intensity) T(t,)为(t，t+)期间顾客带来的服务时间的总和 。,63,2)排队模型的性能参数 队列长度/队列状态概率 任意时刻：到达时刻：退去时刻： 队列长度的平均、方差 等待时间的概率分布、平均、方差 平均队列长度和平均等待时间是排队系统的两个最基本的性能参数 。,64,4.3.2排队论中的基本定理 4.3.2.1 PASTA定理 (Poisson Arrivals See Time Aver
21、age),65,PASTA的几点说明利用了泊松到达过程的无记忆性；泊松过程是定理成立的充分条件，而非必要条件(Anti-PASTA)；不要求排队系统达到平稳状态；已经被推广到一般更新过程(GASTA)。,66,4.3.2.2一般更新过程的 PASTA定理,67,4.3.2.3 Little定理,68,Little定理的物理意义,69,Little定理的几点说明,70,71,4.4 马尔可夫型排队系统的性能分析,4.4.1马尔可夫型排队系统 定义：可用当前状态变量或变量组(例如，任意时刻的队列长度)完全描述的排队系统,即给定当前时刻的状态概率就完全可以求解出将来时刻的状态概率。排队系统的状态变量
22、本身是一个马尔可夫过程。,72,由于排队系统的随机特性主要来源于顾客的到达和所需的服务时间，不难想象，如果顾客的到达和服务时间均没有记忆性，则该排队系统的状态变量也必然没有记忆性，或称马尔可夫性。对于马尔可夫型排队系统的性能分析，只要针对该排队系统的当前状态建立起马尔可夫状态转移方程式就可以求解出该排队系统的状态概率。,73,4.4.2离散时间马尔可夫链,74,4.4.3连续时间马尔可夫过程,75,76,4.4.4 M/M/1排队系统-最基本的排队模型 Poisson到达指数服务系统，实际上是一个最简单的马尔可夫过程，即生灭过程。 生灭过程的状态转移只在相邻状态之间发生。,77,78,全局平衡
23、方程式(Global Balance Equation)局域平衡方程式(local balance equation)： 平稳状态概率：,79,排队系统的性能参数 队列长度的均值、方差：等待/滞留时间的均值,80,平均队列长度的与和本身无关，只与两者的比有关； 但是，平均等待/滞留时间不仅与有关，而且与平均服务时间h成正比。,81,等待/滞留时间的概率分布,82,M/M/1排队系统的扩展 顾客到达率和服务率可变的M/M/1排队系统 应用：分组交换网中window-based flow controlATM网中用于ABR业务的rate-based flow control电路/分组交换网中的dy
24、namic bandwidth assignment,83,平稳状态概率,84,1)M/M/s(0)排队系统 (损失制) 有限源,85,86,无限源,87,2)M/M/n(m)排队系统 (等待制),88,3)M/M/n()排队系统 (等待制),89,等待时间的概率分布：,90,4)其它,91,92,4.5马尔可夫型排队网络,马尔可夫排队网络的定义排队网络的状态变量具有马尔可夫性排队网络可以描述成为一个多维马尔可夫过程 马尔可夫排队网络的分类开环网络(Open Network; Jackson Network)闭环网络(Closed Network; Gorden-Norwell Network
25、)混合网络(Mixed Network),93,4.5.1 Jackson网络,94,95,96,Jackson定理及其物理意义,97,Jackson网络的PASTA特性,98,4.5.2 Gordon-Newell闭环排队网络,99,100,Gordon-Newell定理,101,102,4.6 非马尔可夫型排队系统分析方法,非马尔可夫型排队系统定义： 仅用当前状态变量或变量组(例如，任意时刻的队列长度)无法完全描述的排队系统，即当前时刻的状态变量不具有马尔可夫性的排队系统。 由于排队、系统的随机特性主要来源于顾客的到达和所需的服务时间，不难想象，如果顾客的到达或服务时间其中之一或者两者都不
26、再具有无记忆性，则该排队系统即为非马尔可夫排队系统。,103,4.6.1非马尔可夫型排队系统的分析法 中心思想： 将非马尔可夫型排队系统转化为马尔可夫型排队系统！ 三种常用的分析法： 导入辅助变量，使变量组具有马尔可夫性。 寻找一些特殊的时刻，使其构成一个马尔可夫过程。然后，通过排队论的三个基本定理影射回任意时刻的状态概率。 直接对非马尔可夫变量进行积分处理。,104,(1)非马尔可夫排队系统的分析方法 -辅助函数法(supplementary variable method)： 通过导入一个或多个辅助变量使得排队系统的状态变量组具有马尔可夫性（例如，M/G/1中在Nt 的基础上导入辅助变量Y
27、t ，使得变量组Nt ,Yt 具有马尔可夫性）,105,例：M/Er/1排队模型,106,(2)非马尔可夫排队系统的分析方法 -Lindley 积分法 对状态变量强行建立积分方程式，即直接考虑微小时刻内的状态变化 适合于任意非马尔可夫排队系统,107,(3)非马尔可夫排队系统的分析方法 -隐含/嵌入马尔可夫链分析法(embedded Markov chain method) 寻找马尔可夫性成立的时间点序列，然后针对这些点序列建立马尔可夫平衡方程式求解这些特殊时刻的状态概率；然后在利用排队系统的三个基本定理求解任意时刻的状态概率 仅适合于顾客的到达或服务过程的其中之一具有马尔可夫性（无记忆性）的
28、排队系统,108,4.6.2通信业务源的相位建模与矩阵几何法 通过前面的分析可以看出：负指数分布的无记忆性给排队系统的分析带来了极大的便利 嵌入马尔可夫链法、辅助函数法以及Lindley积分法虽然能解决大部分非马尔可夫排队系统，但存在下列不足：需要找到合适的嵌入点、辅助函数或状态变量。需要引入z 变换、Laplace变换或积分方程式，不但计算 复杂，而且中间推导过程的物理意义不明确。只能求出状态变量的统计值，无法得到状态概率分布。,109,已经有了很多努力将负指数分布进行扩展，其中包括：Erlang分布； 超指数分布； Cox分布 实际上有定理证明：任意一个概率分布均可分解为一组负指数概率分布的组合,110,若能将服务过程内部的相位变化用矩阵形式加以描述（掩盖），则可以将多维马尔可夫过程转化为一维马尔可夫过程，求得状态概率分布矩阵。 相位解析矩阵几何法法的实质就是：将顾客的到达过程和服务过程用相位(PH)型概率分布描述；将排队系统用准生灭过程(QBD)描述；通过矩阵运算得出排队系统的矩阵几何解。,111,矩阵几何法更注重排队模型的共性（结构），并从此共同的结构出发求解出该类排队模型的一般解（unified solution）,112,113,114,115,116,117,118,119,120,
