1、1,数值分析,曹学年 数学与计算科学学院305室,2,第一章 引论,3,计算不仅仅只是作为验证理论模型的正确性 的手段，大量的事实表明它已成为重大科学发现 的一种重要手段所有这一切都充分说明, 科学计算与实验、理论三足鼎立，相辅相成， 成为当今科学活动的三大方法。石钟慈：第三种科学方法-计算机时代的科学计算（2000）,4,1 数值计算方法(数值分析）重要地位和作用,(1) 数学的一个分支、数学与其它应用学科的桥梁；,(2) 其它学科发展迫切需要进行数值计算与仿真; 科学计算已成为平行于理论分析和科学实验的第三种科学研究方法。,1 数值计算方法及其主要内容,5,数值计算与仿真新理论、新算法大量
2、涌现，其 应用范围越来越广：出现在计算物理、化学、生物， 逐渐成为理工科专业人才必备知识和工具.,6,特点：多学科性、大规模性、复杂性等,实际应用例子：,求薄膜材料的位移（应力）场，下图为薄膜 的电镜扫描图（在原子尺寸下）。,7,8,（理想）流体数值模拟图,9,算法选取原则：理论可靠、计算复杂性好和能在计算机上实现的求解数学模型方法。,理论可靠：稳定性、收敛性,计算复杂性好：时间、存储开销,计算机上可实现：有限（可操作）性,本书讨论的数值计算方法一般是近似方法。,10,3计算机软、硬件的发展为数值方法的实现提供环境，也促进它的快速发展。1946年第一台，目前，国际上每秒50万亿次 Flops运
3、算（峰值，Lipack峰值（矩阵乘向量的标准测试程序）达87%），国内10万亿(Tero-flops)次。世界前500台并行计算机(前10台中：8台在美国，1台在欧洲，1台在日本，在近8年半的总性能增加了190倍（年均1.82倍），超过了Moore定理的指标：18个月性能提高1倍。,11,一批新的计量单位应运而生：K: ；M: ；G: ；T: ；P: . 值得注意的是:cluster(微机机群)异军突起， 性能价格比与同性能并行机有数量级上的差别, 目前最快微机机群： 625GF/S(排名35名)。 中科院招标建LSSC(大规模科学计算)-II微机机群, 联想公司（国内名牌IT产业）中标。 为
4、此，需要更高性能的计算方法、软件提供支持。,12,1.2 数值分析的主要内容,函数的插值与逼近；,数值积分与数值微分；,非线性方程的数值解法；,矩阵的特征值问题的计算；,常微分方程数值解法.,线性代数方程组的解法；,13,目标：掌握设计数值算法的基本方法（或思想（路）、 原理）和技巧，并能在计算机上做解决某些科学 工程计算问题的数值试验。,14,数学院计算数学的主要研究方向：偏微分方程数值方法、多重网格与区域分解法、 刚性（常）微分方程算法理论及应用软件、计算流体力学，均与该课程的内容有关，科研课题（973、863、国家自科和九所项目，大都与此有关）。,15,仪器设备实验室拥有完善的计算机网络
5、，各类先进的设备、实验环境，包括SGI ORIGIN 3200 并行机、SGI服务器ORIGIN200、SGI服务器1400 FOR LINUX、2个SGI OCTANE工作站等。购置了SGI专用内存IBM 6G、SCSI 146G硬盘进行SGI Origin 3200并行计算机升级，并添置了Cisco交换机、理光高性能数码复印机、计算服务器、高性能计算PC机等，与学校相关学科共建高性能计算机集群。上述设备中，万元以上有近 40台（件）。这些仪器设备上网共享情况良好。它们全部共享到“湖南高校大型仪器设备共用网”，并行计算服务器等工作站也通过网络面向校内外单位开放。,16,2006年购置的曙光高
6、性能科学计算集群系统拥有64个计算结点，理论峰值运算能力达到1024 Gflops，Linpack效率可达70，实际运算能力可达716.8 Gflops，该系统已广泛应用于研究计算数学、材料、物理、化学、信息、生物等领域，更方便地解决图像分析与处理、海量数据挖掘、材料设计、材料结构与性能分析、并行算法研究等问题。,17,举例：,（1）求 的正实根；,（2）求一阶微分方程初值问题：,的解，其中：,18,（3）解线性代数方程组：,（4）求积分：,19,2.1 以 为基的数系（ 进制数）,以 为基的数可表示为,这里： 为正整数.,2 数的浮点表示,20,2.2 数的浮点表示,固定小数点位置的表示方法
7、，称为数的定点表示. 允许小数点位置浮动的表示方法称为数的浮点表示.,例如：0. 0050618， 0. 027612， 276.4608,分别表示成,21,进制下，规格化的浮点数可以表示成,其中：,22,2.3 计算机中数的浮点表示,例如：,机器数系用： 表示.,为字长， 为阶码， 为进制， 为阶码大小范围，,23,例如，机器数系： 表示该数系中绝 对值最大的数为：,绝对值最小的数为：,因此若 ，则有,24,机器浮点数小于 出现机器零.,绝对值大于 ，则溢出.,25,3.1 来源与分类 /* Source & Classification */,从实际问题中抽象出数学模型 模型误差 /* M
8、odeling Error */,通过测量得到模型中参数的值 观测误差 /* Measurement Error */,求近似解 方法误差 (截断误差 /* Truncation Error */ ),机器字长有限 舍入误差 /* Roundoff Error */,3 误差的基本概念,26,大家一起猜？,1,1 / e,解法之一：将 作Taylor展开后再积分,| 舍入误差 /* Roundoff Error */ |,= 0.743 ,由截去部分 /* excluded terms */ 引起,由留下部分 /* included terms */ 引起,27,3.2 误差与有效数字 /*
9、Error and Significant Digits */, 绝对误差 /* absolute error */,其中x为精确值，x*为x的近似值。,注：e* 理论上讲是唯一确定的，可能取正，也可能取负。e* 0 不唯一，当然 e* 越小越具有参考价值。,28, 相对误差 /* relative error */,x 的相对误差上限 /* relative accuracy */ 定义为,注：从 的定义可见， 实际上被偷换成了 ，而后才考察其上限。那么这样的偷换是否合法？严格的说法是， 与 是否反映了同一数量级的误差？关于此问题的详细讨论可见教材第8-9页。,29,有效数字 /* sign
10、ificant digits */,用科学计数法，记 （其中 ）。若 （即 的截取按四舍五入规则），则称为有n 位有效数字，精确到 。,4,3,注：0.2300有4位有效数字，而00023只有2位有效。12300如果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。数字末尾的0不可随意省去！,30,有效数字与相对误差的关系, 有效数字 相对误差限,已知 x* 有 n 位有效数字，则其相对误差限为, 相对误差限 有效数字,31,例：为使 的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？,解：假设 * 取到 n 位有效数字，则其相对误差上限为,要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足,已
11、知 a1 = 3，则从以上不等式可解得 n 6 log6，即 n 6，应取 * = 3.14159。,32,3.3 函数的误差估计 /*Error Estimation for Functions*/,问题：对于 y = f (x)，若用 x* 取代 x，将对y 产生什么影响？,分析：e*(y) = f (x*) f (x) e*(x) = x* x,Mean Value Theorem,= f ( )(x* x),x* 与 x 非常接近时，可认为 f ( ) f (x*) ，则有： |e*(y)| | f (x*)|e*(x)|,即：x*产生的误差经过 f 作用后被放大/缩小了| f (x*
12、)|倍。故称| f (x*)|为放大因子 /* amplification factor */ 或 绝对条件数 /* absolute condition number */.,33,相对误差条件数/* relative condition number*/,f 的条件数在某一点是小大，则称 f 在该点是好条件的 /* well-conditioned */ 坏条件的 /* ill-conditioned */。,34,例:计算 y = ln x。若 x 20，则取 x 的几位有效数字可保证 y 的相对误差 0.1% ?,解：设截取 n 位有效数字后得 x* x，则,估计 x 和 y 的相对误
13、差上限满足近似关系, n 4,例：计算 ，取 4 位有效，即 , 则相对误差,35,几点注意事项 /* Remarks */,1. 避免相近二数相减 (详细分析请参阅教材p.13),例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有5位有效数字。而 a2 a1 = 0.00001，只剩下1位有效数字。, 几种经验性避免方法：,当 | x | 1 时：,36,2. 避免小分母 : 分母小会造成浮点溢出 /* over flow */,3. 避免大数吃小数,例：用单精度计算 的根。,精确解为, 算法1：利用求根公式,在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时，两加
14、数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1 的指数部分须变为1010，则：1 = 0.0000000001 1010，取单精度时就成为： 109+1=0.100000001010+0.00000000 1010=0.10000000 1010,大数吃小数,37,算法2：先解出再利用,注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。,例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算 1 + 2 + 3 + + 40 + 109,4. 先化简再计算，减少步骤，避免误差积累。,一般来说，计算机处理下列运算的速度为,38,3.4 浮点运算的舍入误差,不一定属于,例如：,则：,因此 不属于 .,39,如果 用表
15、示一种四则运算,有:,例如：,那么,Th2,40,4 算法的数值稳定性,一个算法，如果在执行它的过程中舍入误差在 一定条件下可以得到控制（或者说初始误差和舍入 误差的增长不影响产生可靠的结果），则称它是数 值稳定的，否则称该算法数值不稳定.,41,传播与积累 /* Spread & Accumulation */,例：蝴蝶效应 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京就刮起台风来了？！,NY,BJ,以上是一个病态问题 /* ill-posed problem*/,42,例：计算, 公式一：,注意此公式精确成立,?,?,? !,! !,43,考察第n步的误差, 公式二：,注意此公式与公式一 在理论上等价。,方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n N )。,可取,44,取,45,考察反推一步的误差：,以此类推，对 n N 有：,误差逐步递减, 这样的算法称为稳定的算法 /* stable algorithm */,在我们今后的讨论中，误差将不可回避，算法的稳定性会是一个非常重要的话题。,作业: p.22 2题, 4题, 6题，9题,
