1、1,第4章 关系,2,第4章 关系,4.1 关系的定义及其表示 4.2 关系运算 4.3 关系的性质 4.4 等价关系与偏序关系,3,4.1 关系的定义及其表示,4.1.1 有序对与笛卡儿积 4.1.2 二元关系的定义 4.1.3 二元关系的表示,4,定义4.1 由两个元素，如x和y，按照一定的顺序 组成的二元组称为有序对，记作 实例：点的直角坐标 (3,4) 有序对的性质有序性 （当x y时） 与相等的充分必要条件是= x=u y=v 例1 =，求 x, y. 解 3y4=2, x+5=y y=2, x= 3,有序对,5,笛卡儿积,定义4.2 设A, B为集合，A与B 的笛卡儿积记作AB，A
2、B = | xA yB .例2 A=0, 1, B=a, b, cAB=, BA =, A = , B = P(A)A = , P(A)B = ,6,笛卡儿积的性质,对于并或交运算满足分配律A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA),若A或B中有一个为空集，则AB就是空集.A=B=,不适合交换律 ABBA (AB, A, B),不适合结合律(AB)CA(BC) (A, B, C),若|A|=m, |B|=n, 则 |AB|=mn,7,有序 n 元组和 n 阶笛卡尔积,定义4.3 (1) 由 n 个元素 x1, x2,
3、, xn按照一定的顺序排列构成有序 n 元组，记作 (2) 设A1, A2, , An为集合，称A1A2An= | xiAi, i=1,2, ,n 为 n 阶笛卡儿积. 实例(1,1,0)为空间直角坐标，(1,1,0)R R R,8,二元关系的定义,定义4.4 如果一个集合满足以下条件之一： （1）集合非空, 且它的元素都是有序对 （2）集合是空集 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R. 如R, 可记作 xRy；如果R, 则记作x y实例：R=, S=,a,b. R是二元关系, 当a, b不是有序对时，S不是二元关系 根据上面的记法，可以写1R2, aRb, a c等.,9,实例,例
4、3 (1) R= | x,yN, x+y, , , , , (2) C= | x,yR, x2+y2=1，其中R代表实数集合，C是直角坐标平面上点的横、纵坐标之间的关系，C中的所有的点恰好构成坐标平面上的单位圆. (3) R= | x,y,zR, x+2y+z=3，R代表了空间直角坐标系中的一个平面.,10,5元关系的实例数据库实体模型,5元组： ，,11,从A到B的关系与A上的关系,定义4.5 设A,B为集合, AB的任何子集所定义的二元关系叫做从 A 到 B 的二元关系, 当 A=B 时则叫做 A上的二元关系.例4 A=0,1, B=1,2,3, R1=, R2=AB, R3=, R4=,
5、 从A到B的关系: R1, R2, R3, R4, A上的关系R3和R4. 计数： |A|=n, |B|=m, |AB|=nm, AB 的子集有 个. 所以从A到B有 个不同的二元关系. |A|=n, A上有 不同的二元关系. 例如 |A|=3, 则 A上有512个不同的二元关系.,12,A上重要关系的实例,设A为任意集合， 是A上的关系，称为空关系 定义 4.6 EA, IA分别称为全域关系与恒等关系，其中 EA= | xA yA=AA IA= | xA 例如, A=1,2, 则 EA=, IA=,13,A上重要关系的实例（续）,小于等于关系LA, 整除关系DA, 包含关系R定义如下： 定义
6、4.7 LA=| x,yAxy, 这里AR，R为实数集合 DB=| x,yBx整除y, BZ*, Z*为非0整数集 R=| x,yAxy, 这里A是集合族. 例如 A=1,2,3, B=a,b, 则 LA=, DA=, A=P(B)=,a,b,a,b, 则A上的包含关系是 R=, , 类似的还可以定义大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等等.,14,关系的表示,表示方式：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图 定义4.8 关系矩阵 若A=x1, x2, , xm，B=y1, y2, , yn，R是从A到B的关系，R的关系矩阵是布尔矩阵MR = rij mn, 其中 rij = 1 R
7、. 定义4.9 关系图 若A= x1, x2, , xm，R是从A上的关系，R的关系图是GR=, 其中A为结点集，R为边集.如果属于关系R，在图中就有一条从 xi 到 xj 的有向边. 注意：设A, B为有穷集 关系矩阵适合于表示从A到B 的关系或者A上的关系 关系图适合于表示A上的关系,15,实例,例5 A=a, b, c, d, R=, R的关系矩阵 MR 和关系图 GR 如下：,16,4.2.1 关系的基本运算 定义域、值域、域、逆、合成 基本运算的性质 4.2.2 关系的幂运算 幂运算的定义 幂运算的方法 幂运算的性质,4.2 关系运算,17,关系的基本运算,定义4.10 定义域、值域
8、 和 域domR = x | y (R) ranR = y | x (R) fldR = domR ranR,例1 R=, 则domR =ranR =fldR =, a, c, a, d, b, d, a, c, a, d ,b, d, d,18,关系的基本运算（续）,定义4.11 R 的逆 R1 = | R 定义4.12 R与S的合成 RS = | | y (RS) ,例2 R=, , , S=, , , , R1 = RS = SR =, , , , , , , ,19,合成运算的图示方法,利用图示（不是关系图）方法求合成RS =, , SR =, , , ,20,基本运算的性质,定理4.
9、1 设F是任意的关系, 则 (1) (F1)1=F (2) domF1=ranF, ranF1=domF证 (1) 任取, 由逆的定义有 (F 1)1 F1 F 所以有 (F1)1=F(2) 任取x,xdomF1 y(F1) y(F) xranF 所以有domF1= ranF. 同理可证 ranF1 = domF.,21,定理4.2 设F, G, H是任意的关系, 则 (1) (FG)H=F(GH)(2) (FG)1= G1F1 证 (1) 任取, (FG)H t (FGH) t (s (FG)H) t s (FGH) s (Ft (GH) s (FGH) F(GH) 所以 (FG)H = F
10、(GH),基本运算的性质（续）,22,(2) 任取, (FG)1 FG t (F(t, x)G) t (G1(t, y)F1) G1F1 所以 (FG)1 = G1F1,基本运算的性质（续）,23,定理4.3 设 R 为 A上的关系, 则 RIA= IAR = R证明任取 RIA t (RIA) t (Rt=yyA) R 从而有RIA=R. 同理可证 IAR=R,基本运算的性质（续）,24,A上关系的幂运算定义,定义4.13 设R为A上的关系, n为自然数, 则 R 的 n次幂是(1) R0 = | xA = IA(2) Rn+1 = RnR 注意：对于A上的任何关系R1和R2都有 R10 =
11、 R20 = IA 对于A上的任何关系 R 都有 R1 = R,25,幂运算的方法,对于集合表示的关系R，计算Rn 就是 n 个 R 合成 . 矩阵表示的关系就是矩阵相乘, 其中相加采用逻辑加. 例3 设A = a, b, c, d, R = , 求R的各次幂, 分别用矩阵和关系图表示. 解 R与R2的关系矩阵分别为,26,同理R3和R4的矩阵是：因此M4 = M2, 即R4 = R2. 因此可以得到 R2 = R4 = R6 = , R3 = R5 = R7 = 而R0 = IA的关系矩阵,幂运算的方法（续）,27,用关系图的方法得到R0, R1, R2, R3,的关系图如下图所示,幂运算的
12、方法（续）,28,幂运算的性质,定理4.4 设 A 为 n 元集, R是A上的关系, 则存在自然数 s 和 t, 使得 Rs = Rt.证 R 为A上的关系, 由于|A| = n, A上的不同关系只有 个. 当列出 R 的各次幂R0, R1, R2, , , , 必存在自然数 s 和 t 使得 Rs = Rt.,29,定理4.5 设 R 是 A 上的关系, m, nN, 则 (1) RmRn = Rm+n (2) (Rm)n = Rmn 证 用归纳法 (1) 对于任意给定的 mN, 施归纳于 n. 若n=0, 则有 RmR0 = RmIA= Rm = Rm+0 假设 RmRn = Rm+n,
13、则有 RmRn+1 = Rm(RnR) = (RmRn)R = Rm+n+1 , 所以对一切 m, nN 有 RmRn = Rm+n.,幂运算的性质（续）,30,(2) 对于任意给定的 mN, 施归纳于 n.若 n = 0, 则有 (Rm)0 = IA = R0 = Rm0 假设 (Rm)n = Rmn, 则有 (Rm)n+1 = (Rm)nRm = (Rmn)Rm = Rmn+m = Rm(n+1) 所以对一切 m, nN 有 (Rm)n = Rmn.,幂运算的性质（续）,31,定理4.6 设R 是A上的关系, 若存在自然数 s, t (st) 使得Rs = Rt, 则(1) 对任何 kN
14、有 Rs+k = Rt+k (2) 对任何 k, iN 有Rs+kp+i = Rs+i, 其中p = ts(3) 令S=R0,R1, , Rt1, 则对于任意的 qN有 RqS 证明 (1) Rs+k = RsRk = RtRk = Rt+k （2）对 k 归纳. 若k=0, 则有Rs+0p+i = Rs+i 假设 Rs+kp+i = Rs+i, 其中p = ts, 则 Rs+(k+1)p+i = Rs+kp+i+p = Rs+kp+iRp= Rs+iRp = Rs+p+i = Rs+ts+i = Rt+i = Rs+i 由归纳法命题得证.,幂运算的性质（续）,32,(3) 任取 qN, 若qt, 显然有 RqS. 若 qt, 则存在自然数 k 和 i 使得q = s+kp+i，其中0ip1. 于是 Rq = Rs+kp+i = Rs+i 而 s+i s+p1 = s+ts1 = t1这就证明了 RqS.,幂运算的性质（续）,
